Matlab建模教程-变分法简介

§1 变分法简介

作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：

约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748)　　这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem)Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)Isaac Newton1642—1727)Euler Lonhard，1707～1783)Lagrange, Joseph Louis，1736-1813约翰·伯努利(The Hanging Chain Problem)向界求答案固定的端，在重力中它自然垂下，的曲方程是什在大自然中，除了的外，我們可以察到吊上方的索，水珠以及根之所架的，些都是(catenary)。

伽利略(Galileo, 1564～1643)惠更斯(Huygens, 1629～1695)在1646年(17岁)，物理的，得知伽利略的猜不，但他求不出答案。约翰·伯努利

解此方程并适当选取参数，得

(1)

即为悬链线。

悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！

现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。

变分法的基本概念

泛函的概念

设为一函数集合，若对于每一个函数有一个实数与之对应，则称是定义在上的泛函，记作。称为的容许函数集。

例如，在上光滑曲线y(x)的长度可定义为

(2)

考虑几个具体曲线，取，

若，则

若y(x)为悬链线，则

对应中不同的函数y(x)，有不同曲线长度值J，即J依赖于y(x)，是定义在函数集合上的一个泛函，此时我们可以写成

我们称如下形式的泛函为最简泛函

(3)

被积函数包含自变量，未知函数(t)及导数(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。

泛函极值问题

考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：

在所有连接定点的平面曲线中，试求长度最小的曲线。

即，求，使

取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，

称泛函在取得极小值，如果对于任意一个与接近的，都有。所谓接近，可以用距离来度量，而距离可以定义为

泛函的极大值可以类似地定义。其中称为泛函的极值函数或极值曲线。

泛函的变分

如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数在的增量记为

也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作

如果可以表为

其中为的线性项，而是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作

。用变动的代替，就有。

泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数：

(4)

这是因为当变分存在时，增量

根据和的性质有

所以

泛函极值的相关结论

泛函极值的变分表示

利用变分的表达式(4)，可以得到有关泛函极值的重要结论。

泛函极值的变分表示：若在达到极值(极大或极小)，则

(5)

证明：对任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值。根据函数极值的必要条件知

再由(4)式，便可得到(5)式。

变分法的基本引理：，，，有

，

则。

证明略。

泛函极值的必要条件

考虑最简泛函(3)，其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点(6)的二阶可微函数。

， (6)

泛函极值的必要条件：设泛函(3)在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程