齐次除法（透视除法）的意义

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齐次除法（透视除法）的意义

我们首先要搞清楚，如何将一个三维坐标点(x, y, z)表示成一个等价的四维齐次坐标
(x, y, z, w)。
根据下列的矩阵变换：

可知，只有当W为1的时候，这个三维坐标转换是等价的，因为这个时候我们才能保证位移的量是正确的，所以（x, y, z, 1）可以等价表示三维的坐标点。如果当W为0时，则没有位移（位移和0相乘得0），所以（x, y, z, 0）可以等价表示三维的向量。因为坐标点和向量井水不犯河水，所以这里也同时排除了坐标点除0的情况。
结论：只有当W=1时，三维坐标点转换成四维齐次坐标点才是等价的，所以一旦发现W不等于1时，就要让W等于1！
<注：此处的概念可以扩展到N维，如二维齐次坐标(x, y, w)中的W的表示，所影响的二维坐标的性质>

那如果W != 1,要如何才能让W=1呢？接下来请看下图。下图中，是一个2D齐次坐标系（即X轴Y轴W轴所构成的三维空间），假设有一平面平行于X和Y轴，且W坐标为1，我们暂且把这个平面叫做W=1平面。在W=1平面上有一点（x,y），二维坐标表示为（1， 1），将其用齐次坐标表示即为（1，1，1）。平行于W=1平面，且W=2，有且只有一个平面，我们暂且把这个平面叫做W=2平面，在W=2平面上有一个点齐次坐标表示为（2，2，2）。而此时我们能将W=2平面上的（2，2，2）映射到W=1平面上的（1，1，1），操作即是每个分量都除以2（这个2即为W值）。所以理论上，在（1，1，1）和（2，2，2）的连线上（包括其两端无穷远的延长线上）的所有点都可以映射到W=1的平面点（1，1，1）上。

我们将上面的例子概念化。有一个2D齐次坐标，它的形式是(x, y, w)，它在3D中w=1处的标准2D平面上，实际的2D点可以用齐次坐标表示为（x, y, 1）,对于那些不在w=1平面处的点，则将其投影到w=1平面上（即让w=1），所以齐次坐标(x, y, w)映射的实际2D点坐标为(x/w, y/w)。

接下来我们将2D上的点转换到3D点。实际的3D点被认为是在4D中w=1的“平面”上，表示形式为（x, y, z, w），将4D点投影到这个“平面”上（即让W = 1）得到的实际3D点即为（x/w, y/w, z/w）。
<注：为了让大家更好的理解4D空间，我们这里不妨把这个4D空间想象成W=1空间的平行空间，为了把平行空间映射到W=1空间，我们就需要做齐次除法。此处的解释并无科学依据，仅供大家参考记忆用>

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