北信科1011 K. paulzhou和方程 [组合数学+差分序列]【数学】

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/diy/contest_showproblem.php?cid=31989&pid=1011
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K. paulzhou和方程

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Problem Description
众所周知，paulzhou的数学不太好。现在他有一个问题，希望你帮他解答：
给定一元n次方程 fx=c0+c1∗x+c2˙x2+...+cn˙xn f_x=c_0+c_1*x+c_2\dot{}{}x^2+...+c_n\dot{}{}x^n
定义 fi f_i的前k项和

sk∑i=0k−1fi

s_k\sum_{i=0}^{k-1}f_i
现给出n、n+1个各项的系数 ci c_i以及k，求 sk%10007 s_k\%10007

其中
Input
第1行输入T(1≤T≤10)，代表有T组数据。
紧接着每3行分别为n，各项系数，k，输入数据均为正整数。
Output
每组测试数据输出一行，输出 fx f_x的前k-1项和

sk∑i=0k−1fi

s_k\sum_{i=0}^{k-1}f_i 并对10007取模。
Sample Input
1
4
1 -2 3 1 0
3
Sample Output
21
Author
Kirai
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这题用到了差分序列详情见《组合数学(原书第5版)》翻译版 P169

查分序列:
设有一个序列 h0,h1,h2,,,,hn h_0,h_1,h_2,,,,h_n
它的一阶差分序列是

△hi=hi+1−hi

△h_i=h_{i+1}-h_i
对应二阶差分序列为

△2hi=△hi+1−△hi

△^2h_i=△h_{i+1}-△h_i

由此得到差分表(看起来很难看啊意思意思就行了)

h0 h1 h2 h3.....△h0 △h1 △h2........

h_0\ \ \ \ h_1\ \ \ \ h_2\ \ \ \ h_3 .....\\△h_0\ \ \ \ △h_1\ \ \ \ △h_2.....\\...
根据性质能够得到(证明看书吧..)

hx=∑i=0nC(x,i)∗△ihi

h_x=\sum_{i=0}^{n}C(x,i)*△^ih_i

∑i=0n∑j=0k−1C(j,i)∗△ih0

\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{k-1}C(j,i)*△^ih_0
由

∑i=0nC(m,i)=C(n+1,m+1)

\sum_{i=0}^{n}C(m,i) = C(n+1,m+1)

故

∑i=0n∑j=0k−1C(j,i)∗△ih0=∑i=0nC(k,i+1)∗△ih0

\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{k-1}C(j,i)*△^ih_0\\ =\sum_{i=0}^{n}C(k,i+1)*△^ih_0
注：取模的时候最好都（x%MOD+MOD）%MOD

附本题代码
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#include <bits/stdc++.h>
typedef long long int LL;
using namespace std;#define abs(x) (((x)>0)?(x):-(x))const LL N = 1e5+10;
const LL M = 10007;/******************************************/
LL n,a[N],h[N],b[N];
LL k;LL fac[M],inv[M];LL qmod(LL a,LL b){LL res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%M;b>>=1,a=a*a%M;}return res;
}void init(){fac[0]=1;for(LL i=1;i<M;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%M;inv[M-1]=qmod(fac[M-1],M-2);for(LL i=M-2;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%M;
}LL C(LL n,LL m){return fac[n]*inv[m]%M*inv[n-m]%M;
}LL Combination(LL n, LL m){if(n<m) return 0;if(n<M&&m<M) return C(n,m);return Combination(n/M,m/M)*Combination(n%M,m%M)%M;
}int main(){init();LL _;scanf("%lld",&_);while(_--){scanf("%lld",&n);for(LL i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),a[i]=a[i]%M;scanf("%lld",&k);for(LL i=0,j,x;i<=n;i++){for(h[i]=j=0,x=1;j<=n;j++){h[i]=(h[i]+a[j]*x%M)%M;h[i]=(h[i]%M+M)%M;x=x*i%M;}}b[0]=h[0];for(LL i=1;i<=n;i++){for(LL j=0;j<=n-i;j++)h[j]=(h[j+1]-h[j]+M)%M;b[i]=h[0];}LL ans = 0;for(LL i=0;i<=n;i++){ans = ans + b[i]*Combination(k,i+1)%M;ans = (ans%M+M)%M;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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