前：

1. 什么是拓扑排序——（完）
2. 如何判断图是否满足拓扑排序（环的判断）——（完）
3. 拓扑排序的作用——（完）
4. 什么是AOV图——（完）
5. 拓扑算法讲解（完）
6. 拓扑排序算法实现（完）

什么是拓扑排序？

1、对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序
——————来自百度百科

简单的说：
①拓扑排序就是 一种排序。
②是一种 按照制约关系的排序， （制约的一定在被制约的前面）
③ 拓扑完后，原来的偏序，排列成线性序列。
/*******拓扑排序 的结果不是唯一的/
图片：
/用有向图表示制约关系/

拓扑后：（1 3 2 4）

如何判断图是否满足拓扑排序（环的判断）

对于图中的情况， 我们排好1， 但2 制约 3， 3制约 4 ， 4 制约 2， 所以就无法进行拓扑排序。

拓扑排序是针对有向无环图， 而中有环路， 所以就不能拓扑排序。
判断图是否符合拓扑排序， 拓扑完 判断 拓扑好的节点个数 是否等于总结点个数就行。
等于表示能拓扑排序， 无环路。
否则有环路， 不能满足拓扑排序。

拓扑排序的作用？

现实生活中一个活动， 都要分好几个步骤完成， 有些步骤y, 必须在完成步骤x后才能进行
。所以我们需要拓扑排序， 来知道那一步要先做， 哪一步要后做。下面是一个例子：

（图片引自百度百科）

例如，假定一个计算机专业的学生必须完成图3-4所列出的全部课程。在这里，课程代表活动，学习一门课程就表示进行一项活动，学习每门课程的先决条件是学完它的全部先修课程。如学习《数据结构》课程就必须安排在学完它的两门先修课程《离散数学》和《算法语言》之后。学习《高等数学》课程则可以随时安排，因为它是基础课程，没有先修课。若用AOV网来表示这种课程安排的先后关系，则如图3-5所示。图中的每个顶点代表一门课程，每条有向边代表起点对应的课程是终点对应课程的先修课。从图中可以清楚地看出各课程之间的先修和后续的关系。如课程C5的先修课为C2，后续课程为C4和C6。

（图片引自百度百科）

AOV 网

AOV网， 全名（Activity On Vertex Network）。
看了全称， 想必你对AOV也了解的差不多了。
AOV 说白了， 就是用 节点（Vertex） 表示活动， 有向边（ Directed Edge）表示制约关系的 有向无环图。

因为AOV网属于有向无环图，所以可以用来进行拓扑排序。

拓扑排序算法

#include<bits/stdc++.h>
#define Max 20
using namespace std;
int  n, m; // n表示 结点数
struct VNode// 表头
{int f;int in;// 入度struct ENode *first;}V[Max];struct ENode//表边
{int w;// 权值int to;// 终点struct ENode *next;// 下一个边
};typedef struct ENode *Enode;int TopologicalSort()// 拓扑排序
{stack<int> Stack;// 栈int cou = 0; // 用于统计 拓扑完的个数for(int i = 1;i <= n;i++)// 将入度为 0 的 压入 因为入度为零 表示没有制约条件{if(V[i].in == 0){Stack.push(i);}}while(!Stack.empty())//每次{int gettop = Stack.top();//选出入度为 0Stack.pop(); //出栈cou++;// 出栈的元素已经拓扑完ENode *e;for(e = V[gettop].first;e!= NULL;e = e->next)// 除去gettop这个制约条件{int to = e->to;if(!(--V[to].in))// 如果{Stack.push(to);}}}if(cou < n)// 如果 拓扑完的个数 少于结点数 就表示 有环路{return 0;}else return 1;}void Init(struct VNode  v[], int N)//初始化表头
{for(int i = 1;i <= N;i++){v[i].in = 0;v[i].first = NULL;}}void Create(int u, int v)
{Enode temp = new(ENode);temp->next = NULL;temp->to = v;Enode e = V[u].first;if(e == NULL){V[u].first = temp;}else{while(e->next!= NULL){e = e->next;}e->next = temp;}V[v].in++;}void Build( int M)
{for(int i = 0;i < M;i++){int u, v;scanf("%d %d", &u,  &v);Create(u, v);}
}int main(void)
{while(~scanf("%d %d", &n, &m)){Init( V, n);Build(m);int flag = TopologicalSort();if(flag == 1)printf("YES\n");else printf("NO\n");}return 0;
}/***************************************************
User name: rj180510陶军辉
Result: Accepted
Take time: 0ms
Take Memory: 192KB
Submit time: 2019-05-14 11:33:19
****************************************************/

算法讲解

拓扑排序。

①、首先将入度为0 的入栈。
②然后栈顶出栈， （表示该点拓扑完， cou++， cou 是统计拓扑完的节点数）

③ 将栈顶的出边去掉， 对应的终点入度 -1；
④判断入度 -1 后的节点是否变为入度0，如果为0 入栈。
⑤ 如果栈为空 结束，
否则重复②到④；

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