本文收集了复旦大学数学学院从 08 级到 12 级的高等代数期中考试精选的大题, 其中有的大题由习题课老师或任课老师自编而来, 有的大题由其他大学的教材或学习指导书中的题目或考研试题改编而来, 也有相当部分的大题已经融入到复旦高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 这里我们将不会公布这些精选大题的解答, 但会根据情况附加一些注解, 以供读者参考.

本科 08 级高代 I 期中考试

五、(10分)  设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是数域 $K$ 中 $n$ 个不同的数, 整数 $k$ 满足 $1\leq k\leq n-1$. 设 $$\mathrm{I}\left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2+\cdots+x_n &=& 0, \\ \lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n &=& 0, \\ \cdots\cdots & & \\ \lambda_1^{k-1}x_1+\lambda_2^{k-1}x_2+\cdots+\lambda_n^{k-1}x_n &=& 0, \\ \end{array}\right.$$ $$\mathrm{II}\left\{\begin{array}{rcl} \lambda_1^kx_1+\lambda_2^kx_2+\cdots+\lambda_n^kx_n &=& 0, \\ \cdots\cdots & & \\ \lambda_1^{n-1}x_1+\lambda_2^{n-1}x_2+\cdots+\lambda_n^{n-1}x_n &=& 0, \\ \end{array}\right.$$ 并且线性方程组 I 的解空间为 $V_1$, 线性方程组 II 的解空间为 $V_2$, 证明: $K^n=V_1\oplus V_2$.

六、(10分)  设 $A=(a_{ij})$ 是 $n\,(n\geq 2)$ 阶非异整数方阵, 满足对任意的 $i,j$, $|A|$ 均可整除 $a_{ij}$, 证明: $|A|=\pm 1$.

七、(10分)  设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^m=A$, 其中 $m$ 为正偶数, 证明: $A+I_n$ 是非异阵.

本科 08 级高代 II 期中考试

二、(12分)  设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 为多项式 $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 的 $n$ 个根, 证明: $x_2,\cdots,x_n$ 的任一对称多项式均可表示为 $x_1$ 与 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的多项式.

三、(12分)  设 $A$ 为有理数域上的 $n$ 阶方阵, $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_r(\lambda)$, 其中 $P_1(\lambda),P_2(\lambda),\cdots,P_r(\lambda)$ 为互异的首一不可约有理系数多项式. 证明: $A$ 的极小多项式等于 $f(\lambda)$, 并且 $A$ 复相似于对角阵.

六、(10分)  设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 证明: 若 $A$ 的所有特征值都等于 1 或 $-1$, 则 $A$ 相似于 $A^{-1}$. 举例说明此命题的逆命题不成立.

七、(10分)  设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵, $B=\begin{pmatrix} A & -A^2 \\ A^2 & A \\ \end{pmatrix}$ 为 $2n$ 阶复方阵. 证明: 若 $A$ 可对角化, 则 $B$ 也可对角化.

注  第三大题已入选白皮书例 7.19; 第六大题已入选白皮书例 7.8; 第七大题与白皮书例 6.33 类似.

本科 09 级高代 I 期中考试

三、(12分)  令 $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$. 证明: 当 $n\geq 3$ 时, 下列 $n$ 阶行列式等于零:
$$\begin{vmatrix}\sinh(2\alpha_1) & \sinh(\alpha_1+\alpha_2) & \cdots & \sinh(\alpha_1+\alpha_n) \\ \sinh(\alpha_2+\alpha_1) & \sinh(2\alpha_2) & \cdots & \sinh(\alpha_2+\alpha_n) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sinh(\alpha_n+\alpha_1) & \sinh(\alpha_n+\alpha_2) & \cdots & \sinh(2\alpha_n) \end{vmatrix}=0.$$

五、(14分)  对于任意的实数 $a,b$，计算下列 $n$ 阶行列式的值:
$$D_n=\begin{vmatrix} ba+1& a & 0 & 0 & \cdots &  0 & 0 \\ b & ba+1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & b & ba+1 & a & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & ba+1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & ba+1 & a \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & b & ba+1 \\ \end{vmatrix}.$$

六、(10分)  我们称实数域上无穷次可微的函数为光滑函数. 实数域上光滑函数的全体构成的集合, 记为 $C^{\infty}(\mathbb{R})$. 对于任意的 $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, 定义 $f$  的支撑集为 $\mathrm{Supp\,}f =\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)\neq 0\}$. 集合 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 中, 支撑集为有界集的函数全体构成 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 的子集, 记这个子集为 $C^{\infty}_c(\mathbb{R})$.

(1) 证明: 集合 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 和集合 $C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ 都是线性空间.

(2) 对于任意的正整数 $n$, 设 $f_n\in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ 并且有 $B_n\subset\mathrm{Supp\,}f_n \subset B_{n+1}$, 这里 $B_n=\{x\in\mathbb{R}||x|\leq n\}$. 求证: 集合 $\{f_n\}^{\infty}_{n=1}$ 中, 任意有限个元素都线性无关.

七、(10分)  设矩阵 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶矩阵, $A$ 的 $n$ 个子式:

$$A_k=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix},\,\,k=1,2,\cdots,n,$$ 称为 $A$ 的顺序主子式. 如果 $A$ 的顺序主子式都不为零, 证明:

(1) 下三角矩阵乘下三角矩阵是下三角矩阵, 可逆下三角矩阵的逆矩阵是下三角矩阵.

(2) 存在可逆下三角矩阵 $B$ 和可逆上三角矩阵 $C$, 使得 $A=BC$.

注  第三大题用 Cauchy-Binet 公式来做; 第五大题是白皮书例 1.23 的特例; 第七大题称为矩阵的 LU 分解.

本科 09 级高代 II 期中考试

二、(12分)  设 $f(x)=x^{n+1}-(x+1)^{2n+1}$. 证明: 对任意的非负整数 $n$, 结式 $R(x^2+x+1,f(x))\neq 0$.

五、(12分)  试求方阵 $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ a+2&1&0&0\\ 5&3&1&0\\ 7&6&b+4&1 \end{pmatrix}$ 的 Jordan 标准型, 其中 $a,b$ 为常数.

六、(10分)  设 $A$ 为有理数域上的 $n$ 阶方阵, 其特征多项式为$P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_k(\lambda)$, 其中 $P_i(\lambda)\,(1\leq i\leq
k)$ 是有理数域上互异的首一不可约多项式. 证明: $A$ 的有理标准型只有一个 Frobenius 块, 并且 $A$ 复相似于对角阵.

七、(10分)  设 $N$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵, 满足 $N^n=0$ 但 $N^{n-1}\neq 0$. 问: 是否存在正整数 $k>1$ 以及矩阵 $A$, 满足 $A^k = N$? 若存在, 请给出例子. 若不存在, 请给出证明.

注  第五大题入选白皮书例 7.30; 第六大题入选白皮书例 7.19; 第七大题请参考白皮书例 7.44 的注.

本科 10 级高代 I 期中考试

三、(10分)  设 $A$ 与 $B$ 都是实对称阵, $C$ 是实反对称阵, 满足 $A^2+B^2=C^2$. 证明: $A=B=C=0$.

四、(12分)  设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 个互不相同的实数. 证明: $e^{a_1x},e^{a_2x},\cdots,e^{a_nx}$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上线性无关.

五、(12分)  下列矩阵称为 $n$ 阶循环矩阵 $$A=\begin{pmatrix} a_0& a_1 & a_2 & \cdots & \cdots &  a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_0 & a_1 & \cdots & \cdots & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_0 & \cdots & \cdots &a_{n-3} \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \\ a_2& a_3 & a_4 & \cdots & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1} & a_0 \\ \end{pmatrix}.$$
证明: 由数域 $K$ 上全体 $n$ 阶循环矩阵构成的集合 $W$ 是 $M_n(K)$ 的线性子空间, 并求 $W$ 的维数.

七、(12分)  设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 证明: $A^3=I_n$ 当且仅当 $r(I_n-A)+r(I_n+A+A^2)=n$.

注  第三大题和白皮书例 2.43 类似, 都是矩阵迹的应用; 第四大题已入选白皮书第三章解答题第 3 题; 第五大题由白皮书例 2.12 即得; 第七大题是白皮书例 5.73 的特例.

本科 10 级高代 II 期中考试

四、(12分)  设 $A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 &-1\\ -3 & 4& 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, 其中 $a$ 为参数, 试求 $A$ 的 Jordan 标准型.

五、(12分)  设 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值全为 $1$ 或 $-1$, 证明: $A^{-1}$ 与 $A$ 相似.

六、(10分)  设 $A$ 和 $B$ 分别为 $m\times n$ 和 $n\times m$ 阶矩阵, 其中 $m\leq n$. 若 $AB$ 可对角化且 $|AB|\neq 0$, 证明: $BA$ 也可对角化.

七、(10分)  设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 若 $A$ 相似于 $K$ 上的分块对角矩阵, 其中每个分块的阶数都小于 $n$, 则称 $A$ 是 $K$ 上的可约矩阵; 反之, 则称 $A$ 是 $K$ 上的不可约矩阵. 证明: $A$ 在数域 $K$ 上不可约当且仅当 $A$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 等于 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)$, 并且存在数域 $K$ 上的不可约多项式 $p(\lambda)$ 和正整数 $k$, 使得 $m(\lambda)=p(\lambda)^k$.

注  第五大题已入选白皮书例 7.8; 第六大题已入选白皮书例 6.46; 第七大题请参考教学论文《线性变换的特征多项式诱导的直和分解》的例 2.

本科 11 级高代 I 期中考试

二、(12分)  求 $n\,(n\geq 3)$ 阶行列式 $|A|$ 的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & \cos(\theta_1-\theta_2) & \cos(\theta_1-\theta_3) & \cdots & \cos(\theta_1-\theta_n) \\ \cos(\theta_2-\theta_1) & 1 & \cos(\theta_2-\theta_3) & \cdots & \cos(\theta_2-\theta_n) \\ \cos(\theta_3-\theta_1) & \cos(\theta_3-\theta_2) & 1 & \cdots & \cos(\theta_3-\theta_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \cos(\theta_n-\theta_1) & \cos(\theta_n-\theta_2) & \cos(\theta_n-\theta_3) & \cdots & 1 \\ \end{vmatrix}.$$

五、(12分)  设 $n$ 阶实方阵 $A$ 满足 $A^{2m}+I_n=0$, 其中 $m$ 为正整数. 证明: 对任意的实数 $a$, $A+aI_n$ 都是非异阵.

六、(10分)  设 $1\leq k\leq n-1$, 在下面两个数域 $K$ 上的线性方程组中, $\hat{x}_i$ 表示 $x_i$ 不出现在方程中.

$$I \left\{\begin{array}{c} \hat{x}_1+\cdots+x_k+x_{k+1}+\cdots+x_n=0, \\ \vdots \\ x_1+\cdots+\hat{x}_k+x_{k+1}+\cdots+x_n=0, \end{array}\right.$$
$$II \left\{\begin{array}{c} x_1+\cdots+x_k+\hat{x}_{k+1}+\cdots+x_n=0, \\ \vdots \\ x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}+\cdots+\hat{x}_n=0. \end{array}\right.$$

设方程组 I 的解空间为 $V_1$, 方程组 II 的解空间为 $V_2$. 求证: $K^n=V_1\oplus V_2$.

七、(10分)  设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 证明: $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})=\cdots$.

注  第二大题利用 Cauchy-Binet 公式来做; 第七大题已入选白皮书例 4.32.

本科 11 级高代 II 期中考试

四、(12分)  设 $B$ 是复数域上的 $n$ 阶幂零矩阵, 其幂零指数为 $\ell\geq 1$, 即 $B^{\ell}=0$, 但 $B^{\ell-1}\neq 0$. 证明: $\ell\leq 1+r(B)$, 并求出等号成立的充分必要条件.

五、(12分)  如果 $n$ 阶方阵 $R$ 相似于分块对角阵 $\mathrm{diag}\left\{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix},1,\cdots,1\right\}$, 则称方阵 $R$ 为反射阵. 证明: 任一对合方阵 $A$ (即满足 $A^2=I_n$) 都可分解为有限个反射阵的乘积.

六、(10分)  设 $n$ 阶可逆复方阵 $A$ 的极小多项式的次数为 $s$, $B=(b_{ij})$ 是 $s$ 阶方阵, 其中 $b_{ij}=\mathrm{tr}(A^{i+j})$, $1\leq i,j\leq s$. 证明: 方阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $B$ 为非异阵.

七、(10分)  设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 若存在非零向量 $\alpha_0 \in V$, 使得由向量 $\alpha_0,\varphi(\alpha_0),\varphi^2(\alpha_0),\cdots,\varphi^n(\alpha_0),\cdots$ 张成的子空间等于 $V$, 则称向量 $\alpha_0$ 为 $\varphi$ 的循环向量. 证明: $V$ 的每个非零向量都是 $\varphi$ 的循环向量的充分必要条件为 $\varphi$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 是 $K$ 上的不可约多项式.

注  第五大题已入选白皮书例 7.16; 第六大题已入选白皮书例 7.12; 第七大题请参考教学论文《线性变换的特征多项式诱导的直和分解》的例 3 或《循环子空间的若干应用》的命题 1.

本科 12 级高代 I 期中考试

三、(10分)  设 $n$ 阶行列式

$$D_k=\begin{vmatrix} 1          &1          &\cdots  &1              &0               &1             &\cdots    &1\\ x_1        &x_2        &\cdots  &x_{k-1}        &1               &x_{k+1}       &\cdots    &x_n\\ x_1^2      &x_2^2      &\cdots  &x_{k-1}^2      &2x_k            &x_{k+1}^2     &\cdots    &x_n^2\\ x_1^3      &x_2^3      &\cdots  &x_{k-1}^3      &3x_k^2          &x_{k+1}^3     &\cdots    &x_n^3\\ \vdots     &\vdots     & \vdots  & \vdots         &\vdots          &\vdots        &\vdots    & \vdots\\ x_1^{n-1}  &x_2^{n-1}  &\cdots  &x_{k-1}^{n-1}  &(n-1)x_k^{n-2}  &x_{k+1}^{n-1} & \cdots &x_n^{n-1}
\end{vmatrix},\,\,1\leq k\leq n.$$
试求 $\sum\limits^{n}_{k=1}D_k$ 的值.

五、(15分)  设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶上三角阵, 其主对角线上元素 $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ 互不相同.

(1) 设 $n$ 阶方阵 $B$ 与 $A$ 可交换, 即满足 $AB=BA$, 证明 $B$ 也是上三角阵.

(2) 设 $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 0 &0 &1\\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix}$, $V=\{B\in M_3(\mathbb{R})\,|\,AB=BA\}$. 证明 $V$ 是 $M_3(\mathbb{R})$ 的子空间, 并求 $V$ 的维数.

六、(15分)  设 $A=(a_{ij})$ 为 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵, $A^*$ 为 $A$ 的伴随阵, 试证明以下结论.

(1) 若 $r(A)=n$, 则 $r(A^*)=n$.

(2) 若 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^*)=1$, 且存在 $n$ 维列向量 $\alpha$, $\beta$, 使得 $A^*=\alpha\beta'$.

(3) 若 $r(A)\leq n-2$, 则 $r(A^*)=0$, 即 $A^*=0$.

七、(10分)  设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间, $U$ 是 $V$ 的子空间. 若 $W$ 是 $V$ 的子空间且满足 $V=U\oplus W$, 则称 $W$ 为 $U$ 在 $V$ 中的补空间. 证明: 若 $U$ 是 $V$ 的非平凡子空间, 则 $U$ 在 $V$ 中的补空间有无限多个.

注  第三大题利用 Vander Monde 行列式的求导来做.

本科 12 级高代 II 期中考试

四、(12分)  设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $A$ 的一个特征值, $\mathrm{diag}\{d_1(\lambda),d_2(\lambda)$,$\cdots,d_n(\lambda)\}$ 为 $\lambda I_n-A$ 的法式. 证明: $r(\lambda_0I_n-A)=r$ 当且仅当 $(\lambda-\lambda_0)\nmid d_r(\lambda)$ 但 $(\lambda-\lambda_0)|d_{r+1}(\lambda)$.

五、(12分)  设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, $f(\lambda)=|\lambda I_n-A|$ 是 $A$ 的特征多项式,  $g(\lambda)=\dfrac{f(\lambda)}{(f(\lambda),f'(\lambda))}$. 证明: $A$ 在复数域上可对角化的充分必要条件是 $g(A)=0$.

六、(10分)  设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 证明: 存在空间的直和分解 $V=V_1\oplus V_2$, 使得 $V_1,V_2$ 都是 $\varphi$ 的不变子空间, 且$\varphi|_{V_1}$ 是幂零线性变换, $\varphi|_{V_2}$ 是可逆线性变换.

七、(10分)  设 $A$ 为 $n$ 阶非异复方阵, 证明: 对任意的正整数 $m$, 存在 $n$ 阶复方阵 $B$, 使得 $A=B^m$.

注  第五大题请参考白皮书例 7.12 前的一段话; 第六大题已入选白皮书例 7.65; 第七大题已入选白皮书例 7.44.