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人口模型;微分方程模型;求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件(如Matlab)求近似解不必求出方程的解 ——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势; 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。

本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。 ;美丽的大自然;模型1 马尔萨斯(Malthus)模型 ; 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。;模型检验;Matlab计算示范;模型预测;;模型2 Logistic模型 ;图4-1;练习二： (1)用Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化的函数关系式，并估计出各个时刻的人口，制出书上表格4-1； (2)对计算出来的结果和原始数据进行比较(可通过画图等方式)，并予以解释。;模型检验;Malthus模型和Logistic模型的总结;历史背景:; 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦(Carnegie-Mellon)大学的科学家们基本上解决。 ; 为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料(色粉)，检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。 ;原理;半衰期;油画中的放射性物质;;假设;建模;求解;测定结果与分析;若第一幅画是真品，;同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，

而后两幅画为真品。; 利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物(动、植物)遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳14测定法，这种方法具有较高的精确度，其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性碳14(C14)。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的C14处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurabi王朝字样的木炭，经测定，其C14衰减数为4.09个/每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中C14衰减数为6.68个/每克每分钟，C14的半衰期为5568???，由此可以推算出该王朝约存在于3900-4000年前。 ; 新产品的推广;容易看出，x’(t)>0，即x(t)单调增加。

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