数值计算方法课后习题答案(李庆扬等).

第一章 绪论(12)

1、设，x的相对误差为，求的误差。

[解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，

相对误差为。

2、设x的相对误差为2%，求的相对误差。

[解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，

相对误差为。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

，，，，。

[解]有5位有效数字；有2位有效数字；有4位有效数字；有5位有效数字；有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限，其中均为第3题所给的数。

(1)；

[解]；

(2)；

[解]；

(3)。

[解]。

5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？

[解]由可知，

，

从而，故。

6、设，按递推公式计算到，若取(五位有效数字，)试问计算将有多大误差？

[解]令表示的近似值，，则，并且由

，可知，

，即

，从而，

而，所以。

7、求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字()

[解]由与(五位有效数字)可知，

(五位有效数字)。

而，只有两位有效数字，不符合题意。

但是。

8、当N充分大时，怎样求？

[解]因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，，则，，从而

，

因此。

9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1?

[解]由可知，若要求，则，即边长应满足。

10、设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

[证明]因为，

，所以得证。

11、序列满足递推关系，若(三位有效数字)，计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

[解]设为的近似值，，则由与

可知，，，即

，

从而，因此计算过程不稳定。

12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，，，。

[解]因为，所以对于，

，有一位有效数字；

对于，

，没有有效数字；

对于，

，有一位有效数字；

对于，，没有有效数字。

13、，求的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？

[解]因为(六位有效数字)，，所以

，

。

14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？

[解]精确解为。当使用三位数运算时，得到，结果可靠。

15、已知三角形面积，其中c为弧度，，且测量a，b，c的误差分别为，证明面积的误差满足。

[解]因为，

所以。

第二章 插值法(40-42)

1、根据(2.2)定义的范德蒙行列式，令

，证明是n次多项式，它的根是，且。

[证明]由可得求证。

2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取，，

则，，则

，

从而。

若取，，，则，

，，则

，

从而。

4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，，，近似线性插值多项式为，所以总误差为

，从而

。

5、设，求。

[解]。

令，则

，从而极值点可能为

，又因为

，

，

显然，所以

。

6、设为互异节点，求证：

1)；

2)；

[解]1)因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2)设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。

7、设且，求证。

[解]见补充题3，其中取即得。

8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？

[解]由题意可知，设x使用节点，，进行二次插值，则插值余项为，

令，则，从而的极值点为，故，而

，要使其不超过，则有

，即。

9、若，求及。

[解]。

。

10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且(l为正整数)。

[证明]对k使用数学归纳法可证。

11、证明。

[证明]。

12、证明。

[证明]因为

，故得证。

13、证明：。

[证明]。

14、若有n个不同实根，证明

。

[证明]由题意可设，故

，再由差商的性质1和3可知：

，从而得证。

15、证明n阶均差有下列性质：

1)若，则；

2)若，则。

[证明]1)。

2)。

16、，求，。

[解]，。

17、证明两点三次埃尔米特插值余项是

，

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

[解]见P30与P33，误差限为。

18、XXXXXXXXXX．

19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

[解]设，则，再由，，可得：

解得。从而

。

20、设，把分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函数，并