计算机图形学完整笔记（五）：二维图形变换

前言

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文章目录

前言
- 第五章二维图形变换
- - 5.1 向量基础
  - 5.2 图形坐标系
  - 5.3 二维图形变换原理
  - - 5.3.1 图形变换概述
    - 5.3.2 仿射变换
    - 5.3.3 齐次坐标
  - 5.4 基本几何变换
  - - 5.4.1 平移变换
    - 5.4.2 比例变换
    - 5.4.3 对称变换
    - 5.4.4 旋转变换
    - 5.4.5 错切变换
    - 5.4.5 复合变换
    - 5.4.6 坐标系变换
    - 5.4.7 任意参考点的几何变换
  - 5.5 二维变换矩阵
  - - 5.5.1 二维变换矩阵概述
    - 5.5.2 二维图形几何变换的计算
  - 5.4 窗口、视图及变换
  - - 5.4.1 窗口和视区
    - 5.4.2 观察变换
    - 5.4.3 窗口到视区的变换

第五章二维图形变换

5.1 向量基础

向量功能
- 图形学中，处理三维物体，以及绘制对象的形状、位置、方向。有两大基本工具：向量分析、图形变换。
- 向量：点和方向的实体 (没有位置)
向量的表示
- 两点之差是一个向量，方向指向被减点。v=Q−Pv=Q-Pv=Q−P
- nnn 维向量就是一个 nnn 元组
  - w=(w1,w2,…,wn)w=(w_1,w_2,…,w_n)w=(w1,w2,…,wn)，w=[w1w2w3]w=\left[ \begin{matrix} w_1\\ w_2\\ w_3\end{matrix} \right]w=⎣⎡w1w2w3⎦⎤
向量基本运算
- 加减、数乘
- 归一化
  - 即将向量转变为单位向量，方向不变，长度 =1=1=1
- 点积
  - $a = (a_1, a_2)，b=(b_1,b_2) $
  - a⋅b=a1b1+a2b2=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩a · b = a_1b_1+a_2b_2 = |a||b|cos\langle a,b\ranglea⋅b=a1b1+a2b2=∣a∣∣b∣cos⟨a,b⟩，用向量描述新闻，新闻相似，则向量夹角余弦接近于 1
  - a⋅b>0,θ<90°a·b>0,\theta <90°a⋅b>0,θ<90° ; a⋅b=0,θ=90°a·b=0,\theta =90°a⋅b=0,θ=90° ; a⋅b<0,θ>90°a·b<0,\theta >90°a⋅b<0,θ>90° ;
- 叉积
  - a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣=∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩a=(a_x,a_y,a_z)，b=(b_x,b_y,b_z)，a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}=|a||b|sin\langle a,b\ranglea=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣=∣a∣∣b∣sin⟨a,b⟩
  - a×ba\times ba×b 和 aaa、bbb 两个向量都正交，因此可以利用叉积求平面的法向量
  - a×ba\times ba×b 的长度等于由 aaa 和 bbb 决定的平行四边形面积
向量线性组合
- 向量两种特殊线性组合（w=a1v1+a2v2+...+anvnw = a_1v_1 + a_2v_2+...+a_nv_nw=a1v1+a2v2+...+anvn）：
  - 仿射组合：线性组合的系数和等于 1，∑i=1nai=1\sum\limits_{i=1}^n a_i = 1i=1∑nai=1
  - 凸组合：线性组合的系数和等于 1，且各系数非负，∑i=1nai=1(ai≥0)\sum\limits_{i=1}^n a_i = 1\ (a_i \ge 0)i=1∑nai=1 (ai≥0)

5.2 图形坐标系

坐标系的基本概念
- 坐标系：建立图形和数之间对应联系的参考系
- 建模 (modeling)：程序中用于描述对象几何信息的数值
- 观察 (viewing)：表示对象中大小和位置的数值
  - 二维观察变换的一般方法是在世界坐标系中指定一个观察坐标系统，以该系统为参考通过选定方向和位置来指定矩形裁剪窗口。
坐标系分类
- 维度分类
  - 一维、二维、三维坐标系
- 坐标轴之间的空间关系分类
  - 直角坐标系、极坐标系、圆柱坐标系、球坐标系
- 计算机图形学坐标系分类
  - 世界坐标系：公共坐标系，现实中物体或场景的统一参照系。计算机图形系统中涉及的其它坐标系都是参照它进行定义的。
  - 建模坐标系：又称局部坐标系，每个物体(对象)有它自己的局部中心和坐标系，独立于世界坐标系来定义物体的几何特性。
  - 观察坐标系：依据观察窗口的方向和形状在世界坐标系中定义的坐标系。观察坐标系用于指定图形的输出范围。
  - 设备坐标系：适合特定输出设备输出对象的坐标系，比如屏幕坐标系。设备坐标是整数。
  - 规范化坐标系：规范化坐标系独立于设备，能容易地转变为设备坐标系，是一个中间坐标系。归一化后的坐标，坐标轴取值范围 0~1。

5.3 二维图形变换原理

5.3.1 图形变换概述

用途
- 各种变换：比例、旋转、镜像、错切、平移
- 由一个基本的图案，经过变换组合成另外一个复杂图形
- 用很少的物体组成一个场景
- 可以通过图形变换组合得到动画效果
基本原理
- 图形变化，但原图形的连边规则没有改变
- 图形变化，是因为顶点位置改变决定
- 变换几何关系，保持原拓扑关系。

5.3.2 仿射变换

仿射变换 (Affine Transformation / Affine Map)
- 基本功能
  - 平直性：直线变换后仍是直线
  - 平行性：平行线变换后仍平行，且直线上点的位置顺序不变
- 二维仿射变换
  - x′x'x′ 和 y′y'y′ 都是原始坐标 xxx 和 yyy 的线性函数
  - {x′=a1x+b1y+c1y′=a2x+b2y+c2\begin{cases} x' = a_1x+b_1y+c_1 \\ y'=a_2x+b_2y+c_2 \end{cases}{x′=a1x+b1y+c1y′=a2x+b2y+c2
  - 矩阵形式：[x∗y∗]=[xy1]⋅[a1a2b1b2c1c2]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* \end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{matrix} \right][x∗y∗]=[xy1]⋅⎣⎡a1b1c1a2b2c2⎦⎤

5.3.3 齐次坐标

二维平面中用 (x,y)(x, y)(x,y) 表示一个点，不妨说是一个向量 (x,y)(x, y)(x,y) 表示一个点。所以可以用第 333 维为常数的 (x,y,1)(x, y, 1)(x,y,1) 表示二维平面上的向量。
这种 n+1n+1n+1 维表示 nnn 维的方法称为——齐次坐标表示法，nnn 维向量 (p1,p2,⋯,pn)(p_1,p_2,\cdots,p_n)(p1,p2,⋯,pn) 表示为 (hp1,hp2,⋯,hpn,h)(hp_1,hp_2,\cdots,hp_n, h)(hp1,hp2,⋯,hpn,h)，其中 $h $ 称为哑坐标，特别的 h=1h=1h=1 时称齐次坐标为规格化坐标。
二维仿射变换，齐次坐标表示：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[a1a20b1b20c1c21]\left[ \begin{matrix} x^* & y^*&1 \end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 &0\\ b_1 & b_2&0 \\ c_1 & c_2 &1\end{matrix} \right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡a1b1c1a2b2c2001⎦⎤
不使用齐次坐标可以做比例、对称、旋转变换，但做不到平移变化，无法增加常数项。

5.4 基本几何变换

5.4.1 平移变换

不产生变形而移动物体的刚体变换，即物体上的每个点移动相同数量的坐标
坐标形式：{x∗=x+Txy∗=y+Ty\begin{cases} x^* = x+T_x \\ y^*=y + T_y \end{cases}{x∗=x+Txy∗=y+Ty
齐次坐标形式：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[100010TxTy1]=[x+Txy+Ty1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&1&0\\T_x&T_y&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} x+Tx & y+Ty &1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡10Tx01Ty001⎦⎤=[x+Txy+Ty1]

5.4.2 比例变换

相对于坐标原点沿 xxx 方向放缩 SxS_xSx 倍，沿 yyy 方向放缩 SyS_ySy 倍。S>1S > 1S>1 放大，S<1S < 1S<1 缩小。
坐标形式：{x∗=x⋅Sxy∗=y⋅Sy\begin{cases} x^* = x·S_x \\ y^*=y·S_y \end{cases}{x∗=x⋅Sxy∗=y⋅Sy
齐次坐标形式：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[Sx000Sy0001]=[x⋅Sxy⋅Sy1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} S_x & 0 &0 \\0&S_y&0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} x·S_x & y·S_y &1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡Sx000Sy0001⎦⎤=[x⋅Sxy⋅Sy1]
当 Sx=SyS_x =S_ySx=Sy 时，为整体比例变换，[x∗y∗1]=[xy1]⋅[10001000S]=[xyS]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&1&0\\0&0&S \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} x & y &S\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡10001000S⎦⎤=[xyS]，S>1S>1S>1 放大，0<S<10<S<10<S<1 缩小，S<0S<0S<0 发生关于原点的对称等比变换。

5.4.3 对称变换

也称镜像变换或反射变换。有关于x轴、y轴、原点、某条直线的对称变换。
关于 xxx 轴对称：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[1000−10001]=[x−y1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&-1&0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} x&-y&1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡1000−10001⎦⎤=[x−y1]
关于 yyy 轴对称：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[−100010001]=[−xy1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} -1 & 0 &0 \\0&1&0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -x&y&1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡−100010001⎦⎤=[−xy1]
关于原点对称：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[−1000−10001]=[−x−y1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} -1 & 0 &0 \\0&-1&0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -x&-y&1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡−1000−10001⎦⎤=[−x−y1]

5.4.4 旋转变换

将点绕原点旋转角度 θ\thetaθ ，逆时针为正，顺时针为负
坐标形式（逆时针）：{x∗=r⋅cos(α+θ)=r⋅cosα⋅cosθ−r⋅sinα⋅sinθy∗=r⋅sin(α+θ)=r⋅cosα⋅sinθ+r⋅sinα⋅cosθ⇒{x∗=x⋅cosθ−y⋅sinθy∗=x⋅sinθ+y⋅cosθ\begin{cases} x^* =r·cos(\alpha+\theta)=r·cos\alpha ·cos\theta-r·sin\alpha ·sin\theta \\ y^* =r·sin(\alpha+\theta)=r·cos\alpha ·sin\theta + r·sin\alpha ·cos\theta\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^* =x ·cos\theta-y ·sin\theta \\ y^* =x ·sin\theta + y ·cos\theta\end{cases}{x∗=r⋅cos(α+θ)=r⋅cosα⋅cosθ−r⋅sinα⋅sinθy∗=r⋅sin(α+θ)=r⋅cosα⋅sinθ+r⋅sinα⋅cosθ⇒{x∗=x⋅cosθ−y⋅sinθy∗=x⋅sinθ+y⋅cosθ
齐次坐标形式（逆时针）：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[cosθsinθ0−sinθcosθ0001]=[x⋅cosθ−y⋅sinθx⋅sinθ+y⋅cosθ1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta &0\\-sin\theta&cos\theta & 0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} x ·cos\theta-y ·sin\theta & x ·sin\theta + y ·cos\theta &1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡cosθ−sinθ0sinθcosθ0001⎦⎤=[x⋅cosθ−y⋅sinθx⋅sinθ+y⋅cosθ1]
顺时针只要将 θ=−θ\theta = -\thetaθ=−θ 即可。

5.4.5 错切变换

弹性物体的变形处理

变换矩阵中的非对角线元素大都为零，若变换矩阵中的非对角元素不为 000，则意味着 xxx、yyy 同时对图形的变换起作用。也就是说，变换矩阵中非对角线元素起着把图形沿 xxx 或 yyy 方向错切的作用。
xxx 值或 yyy 值越小，错切量越小；xxx 值或 yyy 值越大，错切量越大。
齐次坐标形式：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[1b0c10001]=[c+cybx+y1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} 1 & b & 0\\ c &1 &0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix}c+cy&bx+y &1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡1c0b10001⎦⎤=[c+cybx+y1]
沿 xxx 方向错切，即 b=0b=0b=0 ：[x∗y∗1]=[xy1]⋅[100c10001]=[c+cyy1]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ c &1 &0\\0&0&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix}c+cy&y &1\end{matrix}\right][x∗y∗1]=[xy1]⋅⎣⎡1c0010001⎦⎤=[c+cyy1]

5.4.5 复合变换

图形作大于一次的变换，P∗=P⋅T=P⋅(T1⋅T2⋅⋯⋅Tn)，n>1P^* = P · T = P·(T_1·T_2·\cdots ·T_n) ，n\gt 1P∗=P⋅T=P⋅(T1⋅T2⋅⋯⋅Tn)，n>1，矩阵相乘不可交换！任何一个复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。
二维复合平移：T=Tt1⋅Tt2=[100010Tx1Ty11]⋅[100010Tx1Ty11]=[100010Tx1+Tx2Ty1+Ty21]T = T_{t1}·T_{t2} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&1&0\\T_{x1}&T_{y1}&1 \end{matrix} \right] · \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&1&0\\T_{x1}&T_{y1}&1 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&1&0\\T_{x1}+T_{x2}&T_{y1}+T_{y2}&1 \end{matrix} \right]T=Tt1⋅Tt2=⎣⎡10Tx101Ty1001⎦⎤⋅⎣⎡10Tx101Ty1001⎦⎤=⎣⎡10Tx1+Tx201Ty1+Ty2001⎦⎤
二维复合比例：T=Ts1⋅Ts2=[Sx1000Sy10001]⋅[Sx2000Sy20001]=[Sx1⋅Sx2000Sy1⋅Sy20001]T = T_{s1}·T_{s2} = \left[ \begin{matrix} S_{x1} & 0 &0 \\0&S_{y1}&0\\0&0&1 \end{matrix} \right] · \left[ \begin{matrix} S_{x2} & 0 &0 \\0&S_{y2}&0\\0&0&1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} S_{x1}·S_{x2} & 0 &0 \\0&S_{y1}·S_{y2}&0\\0&0&1 \end{matrix} \right]T=Ts1⋅Ts2=⎣⎡Sx1000Sy10001⎦⎤⋅⎣⎡Sx2000Sy20001⎦⎤=⎣⎡Sx1⋅Sx2000Sy1⋅Sy20001⎦⎤
二维复合旋转：T=Tr1⋅Tr2=[cosθ1sinθ10−sinθ1cosθ10001]⋅[cosθ2sinθ20−sinθ2cosθ20001]=[cos(θ1+θ2)sin(θ1+θ2)0−sin(θ1+θ2)cos(θ1+θ2)0001]T = T_{r1}·T_{r2} = \left[ \begin{matrix} cos\theta_1 & sin\theta_1 &0\\-sin\theta_1&cos\theta_1 & 0\\0&0&1 \end{matrix} \right] · \left[ \begin{matrix} cos\theta_2 & sin\theta_2 &0\\-sin\theta_2&cos\theta_2 & 0\\0&0&1 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} cos(\theta_1+\theta_2) & sin(\theta_1+\theta_2) &0\\-sin(\theta_1+\theta_2)&cos(\theta_1+\theta_2) & 0\\0&0&1 \end{matrix} \right]T=Tr1⋅Tr2=⎣⎡cosθ1−sinθ10sinθ1cosθ10001⎦⎤⋅⎣⎡cosθ2−sinθ20sinθ2cosθ20001⎦⎤=⎣⎡cos(θ1+θ2)−sin(θ1+θ2)0sin(θ1+θ2)cos(θ1+θ2)0001⎦⎤

5.4.6 坐标系变换

图形变换经常需要从一个坐标系变换到另一个坐标系，如下图从 x0yx0yx0y 变换到 x′0′y′x'0'y'x′0′y′

上图变换分两步完成，x′0′y′→平移x′0y′→旋转x0yx'0'y' \xrightarrow{平移} x'0y' \xrightarrow{旋转} x0yx′0′y′平移x′0y′旋转x0y，注意是从目标到源
- 平移变换 —— 将 x′0′y′x'0'y'x′0′y′ 坐标系的原点平移至 x0yx0yx0y 坐标系的原点
- 旋转变换 —— 将 x′x'x′ 轴旋转到 xxx 轴上
T=Tt⋅Tr=[100010−x0−y01]⋅[cos(−θ)sin(−θ)0−sin(−θ)cos(−θ)0001]T = T_{t}·T_{r} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0 \\0&1&0\\-x_0&-y_0&1 \end{matrix} \right] · \left[ \begin{matrix} cos(-\theta) & sin(-\theta) &0\\-sin(-\theta)&cos(-\theta) & 0\\0&0&1 \end{matrix} \right]T=Tt⋅Tr=⎣⎡10−x001−y0001⎦⎤⋅⎣⎡cos(−θ)−sin(−θ)0sin(−θ)cos(−θ)0001⎦⎤

5.4.7 任意参考点的几何变换

在以往的变换中，以 (0, 0) 为参考点，倘若以任意点为参考点，则：
- 将参考点移到原点（平移）
- 针对原点进行二维几何变换（变换）
- 将原点移到参考点（反平移）

5.5 二维变换矩阵

5.5.1 二维变换矩阵概述

二维空间中某点的变化可以表示成点的齐次坐标与 3 阶的二维变换矩阵 T2dT_{2d}T2d 相乘

[x∗y∗1]=[xy1]⋅T2d=[xy1]⋅[abpcdqlms]\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]·T_{2d}=\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· \left[ \begin{matrix} a&b&p\\c&d&q\\l&m&s \end{matrix} \right][x∗y∗1]=[xy1]⋅T2d=[xy1]⋅⎣⎡aclbdmpqs⎦⎤

5.5.2 二维图形几何变换的计算

点的变换：[x∗y∗1]=[xy1]⋅T\left[ \begin{matrix} x^* & y^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}\right]· T[x∗y∗1]=[xy1]⋅T
直线的变换（两端点的变换）：[x1∗y1∗1x2∗y2∗1]=[x1y11x2y21]⋅T\left[ \begin{matrix} x_1^* & y_1^* &1\\ x_2^* & y_2^* &1\end{matrix}\right] =\left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 &1\\ x_2 & y_2 &1\end{matrix}\right] ·T[x1∗x2∗y1∗y2∗11]=[x1x2y1y211]⋅T
多边形的变换（每个顶点的变换）：p=[x1∗y1∗1x2∗y2∗1⋯⋯⋯xn∗yn∗1]p =\left[ \begin{matrix} x_1^* & y_1^* &1\\ x_2^* & y_2^* &1 \\ \cdots&\cdots&\cdots\\x_n^* &y_n^*&1\end{matrix}\right]p=⎣⎢⎢⎡x1∗x2∗⋯xn∗y1∗y2∗⋯yn∗11⋯1⎦⎥⎥⎤

5.4 窗口、视图及变换

5.4.1 窗口和视区

窗口：世界坐标系中要显示的区域
视区：窗口映射到显示器上的区域
窗口定义显示什么；视区定义在何处显示；二者需要进行坐标变换
世界坐标系中的一个窗口可以对应于多个视区

窗口→观察变换视区窗口\xrightarrow{观察变换} 视区窗口观察变换视区

5.4.2 观察变换

观察变换 (Viewing Transformation)
变焦距效果
- 窗口放大/缩小，视区不变，图形缩小/放大
整体缩放效果
- 窗口不变，视区放大/缩小，图形放大/缩小
漫游效果
- 把一个固定大小的窗口在一幅大图形上移动，视区不变。

5.4.3 窗口到视区的变换

窗口的点 →\rightarrow→ 视区的点

保持比例的映射
- 保持比例：映射之后，中心点仍然在中心，边界点仍然在边界
- {sx=A×x+Csy=B×y+D\begin{cases} sx = A\times x+C \\ sy = B\times y+D\end{cases}{sx=A×x+Csy=B×y+D
- 比例保持：x−wxlwxr−wxl=sx−vxlvxr−vxl⇒sx=x−wxlwxr−wxl(vxr−vxl)+vxl\Large \frac{x-w_{xl}}{w_{xr}-w_{xl}} = \frac{sx-v_{xl}}{v_{xr}-v_{xl}} \Rightarrow sx = \frac{x-w_{xl}}{w_{xr}-w_{xl}}(v_{xr}-v_{xl})+v_{xl}wxr−wxlx−wxl=vxr−vxlsx−vxl⇒sx=wxr−wxlx−wxl(vxr−vxl)+vxl
- 根据倍数关系：sx=vxr−vxlwxr−wxlx+(vxl−vxr−vxlwxr−wxlwxl)=Ax+C，A=vxr−vxlwxr−wxl，C=vxl−A×wxl\large sx = \frac{v_{xr}-v_{xl}}{w_{xr}-w_{xl}} x + (v_{xl}-\frac{v_{xr}-v_{xl}}{w_{xr}-w_{xl}} w_{xl}) = Ax + C，\\ A = \frac{v_{xr}-v_{xl}}{w_{xr}-w_{xl}}，C=v_{xl}-A\times w_{xl}sx=wxr−wxlvxr−vxlx+(vxl−wxr−wxlvxr−vxlwxl)=Ax+C，A=wxr−wxlvxr−vxl，C=vxl−A×wxl
- 同理，B=vyt−vybwyt−wyb，D=vyb−B×wyb\large B= \frac{v_{yt}-v_{yb}}{w_{yt}-w_{yb}}，D=v_{yb}-B\times w_{yb}B=wyt−wybvyt−vyb，D=vyb−B×wyb

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计算机图形学完整笔记（五）：二维图形变换

前言

文章目录

第五章二维图形变换

5.1 向量基础

5.2 图形坐标系

5.3 二维图形变换原理

5.3.1 图形变换概述

5.3.2 仿射变换

5.3.3 齐次坐标

5.4 基本几何变换

5.4.1 平移变换

5.4.2 比例变换

5.4.3 对称变换

5.4.4 旋转变换

5.4.5 错切变换

5.4.5 复合变换

5.4.6 坐标系变换

5.4.7 任意参考点的几何变换

5.5 二维变换矩阵

5.5.1 二维变换矩阵概述

5.5.2 二维图形几何变换的计算

5.4 窗口、视图及变换

5.4.1 窗口和视区

5.4.2 观察变换

5.4.3 窗口到视区的变换

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前言

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第五章 二维图形变换

5.1 向量基础

5.2 图形坐标系

5.3 二维图形变换原理

5.3.1 图形变换概述

5.3.2 仿射变换

5.3.3 齐次坐标

5.4 基本几何变换

5.4.1 平移变换

5.4.2 比例变换

5.4.3 对称变换

5.4.4 旋转变换

5.4.5 错切变换

5.4.5 复合变换

5.4.6 坐标系变换

5.4.7 任意参考点的几何变换

5.5 二维变换矩阵

5.5.1 二维变换矩阵概述

5.5.2 二维图形几何变换的计算

5.4 窗口、视图及变换

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