PBRT-V3体渲染笔记

一基本原理整理

影响radiance在参与介质分布的三个过程：

Absortion，Emission，Scattering（分为out-scattering和in-scattering）。

Absortion

吸收系数为σa，入射radiance Li经过距离dt，吸收后的出射radiance Lo的关系如下：

$L_o(p,\omega) - Li(p, -\omega) = dL_o(p,\omega) = -\sigma _a L_i(p, -\omega)\mathrm{d}t$ (1)

对上式解微分方程得到一个值，表示经过d距离后的剩余比例：

$e^{-\int _0 ^d \sigma_a(p + t\omega, \omega)\mathrm{d}t}$ (2)

Emission

这个没什么好说的，直接上公式：

$dL_o(p, \omega) = L_e(p, \omega)dt$

Out-Scattering

out-scattering也是radiance衰减的一个表现，散射系数为σt，方程如下：

$dL_o = -\sigma _s(p, \omega)L_i(p, -\omega)\mathrm{d}t$ (3)

该方程和方程(1)完全一样，除了系数σ，因此Absortion和Out-Scattering合并可以得到一个衰减系数σt。

$\sigma _t = \sigma _a + \sigma _s$

所以整体的transmittance的微分方程解为：

$T_r(\mathrm{p}\rightarrow \mathrm{p}') = e^{-\int _0 ^d \sigma _t(\mathrm{p} + t\omega, \omega)\mathrm{d}t}$ (4)

其中d = |p - p'|。

Transmittance的意义是：radiance经过距离d后，得到的fraction。

公式(4)中的指数部分的负数，叫两点之间的optical thickness：

$\tau(\mathrm{p}\rightarrow \mathrm{p}') = \int _0 ^d \sigma _t(\mathrm{p} + t\omega, -\omega)\mathrm{d} t$

In-scattering

In-scattering能增加出射的radiance，那么在确定一个出射方向时，有多少radiance能散射到出射方向呢？

这里引入一个phase function，描述一个点在某个方向的出射分布，可以理解成是每个出射方向的概率密度函数，假设出射方向是ω，入射方向是ω'，那么有如下的公式：

$\int _{S^2}p(\omega, \omega ')\mathrm{d} \omega ' = 1$

in-scattering得到的radiance是：

$L_{is} = \sigma _s(\mathrm{p}, \omega)\int _{S^2}p(\mathrm{p}, \omega _i, \omega)L_i(\mathrm{p}, \omega_i)\mathrm{d} t$ （5）

假设p点上的自发光是Le，那么p点增加的radiance可以表示如下：

(6)

传输方程

传输方程描述的某个点延某条路径的radiance。

现在只考虑从一个surface的p0点反射出来的radiance的某一点p的传输方程：

公式如下：

$L_i(\mathrm{p}, \omega) = T_r(\mathrm{p_0 \rightarrow p})L_o(\mathrm{p_0}, -\omega) + \int _0 ^t T_r(\mathrm{p' \rightarrow p})L_s(\mathrm{p'}, -\omega)\mathrm{d}t$ (7)

公式(7)的第二项表示路径里所有点的In-Scattering贡献。

回顾LTE方程，需要把bsdf函数，积分域，几何函数全部做一个针对参与介质的修改。

二实现

采样t

提到采样，那就要问，到底我们要采样什么？

和普通的LTE不一样，LTE采样的是BSDF的方向，而带参与介质的渲染，还需要采样路径方向上的点，用于估计该路径的radiance贡献。

这里有个先决条件，就是射线是一定会和surface相交的，即射线的tMax一定不是无穷大，该射线会经过参与介质medium。

假设surface的点是p，射线方向是-ω，那么射线方向的点的概率是pt(t)，改点的位置是p + tω。

那么取得surface上的顶点的概率是：

$p_{surf} = 1 - \int _0 ^{t_{max}}p_t(t)\mathrm{d}t$ (8)

有了概率，就可以对贡献做估计，β是估计出来的throughput。

surface上一点的throughput估计：

$\beta _{surf} = \frac{T_r(p \rightarrow p + t\omega)}{p_{surf}}$

medium上一点的throughput估计：

$\beta _{med} = \frac{\sigma_s(p + t\omega) T_r(p \rightarrow p + t\omega)}{p_t(t)}$

这里为什么要加上σs？Out-Scattering的衰减要考虑在内。

到目前为止，我们已经根据采样点和该点的概率密度估计出Throughput，接下来我们还需要估计光照的radiance。

也是分两种情况：

如果采样点是surface，直接采样bsdf进行估计。

如果采样点是medium，那么我们要估计的是公式(7)的第二项的积分（自发光忽略）：

$\int _0 ^t T_r(\mathrm{p' \rightarrow p})L_s(\mathrm{p'}, -\omega)\mathrm{d}t$

根据重要性采样，取一个pdf形状接近Tr或Ls的，pbrt中用Tr作为pdf的分布。

$T_r = e^{-\sigma _t t}$

反函数法求t：

$\\t = -\frac{ln(1 - \xi )}{\sigma _t} \\ \\ 1 - \xi = T_r$

当t < tMax的时候，那么pdf函数是：

$p_t(t) = \frac{\mathrm{d} T_r}{\mathrm{d} t} = \sigma _t e^{-\sigma _t t} = \sigma _t T_r$

当t > tMax时，说明采样到的点是surface上的交点，这时的pdf是：

$\\p_{surf} = 1 - \int _0 ^{t_{max}}p_t(t)\mathrm{d}t = 1 - \int_0 ^{t_{max}}\sigma _t e^{-\sigma _tt}\mathrm{d}t = 1 + (e^{-\sigma _t x})|_0 ^{t_{max}} \\ \\ \\= e^{-\sigma _t t_{max}}$

由于pdf是一个float值，而σt，Tr都是Spetrum，所以需要随机采样一个Spetrum的channel，然后按上述反函数法求t，

然后在把channel的pdf加取来取平均值。

接下来就是要采样Li了，类似bsdf，如果是介质中一点，通过phase函数采样入射光。

采样Phase function

均匀介质的phase函数用的是Henyey–Greenstein，公式如下：

对phase function做积分：

$\int _S p_{HG}(\cos \theta) \mathrm{d}\omega = 1$

所以概率密度函数是：

$p(\omega) = p_{HG}(\cos \theta)$

根据概率密度函数的转换：p(θ, φ) = sinθp(ω)

边际概率密度函数求p(θ)

条件概率公式：

p(φ | θ) = p(θ, φ) / p(θ) = 1 / 2π

反函数求φ：φ = 2πξ1。

下面求p(θ)的CDF，过程很复杂，需要借工具来求，https://www.symbolab.com/solver/calculus-calculator

最后可以得到pbrt的结论（g ≠ 0）：

g = 0时，pHG = 1/4π，概率密度按如下算：

$p(\theta) = \int _0 ^{2\pi} \frac{1}{4\pi}\sin\theta \mathrm{d}\phi = \frac{\sin\theta}{2}$

θ的CDF如下：

$\int _0 ^{\theta}p(\theta)\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \xi$

所以这个时候有：

$\cos\theta = 1 - 2\xi$

整个采样过程完毕。