【数学分析新讲笔记】第一章实数

有尽小数在实数系中处处稠密
上确界、下确界
实数系的基本性质综述
不等式

有尽小数在实数系中处处稠密

定理设 aaa 和 b" role="presentation">bbb 是实数，a<b.a<b.a 则存在有尽小数 ccc ，满足

a<c<b." role="presentation">a<c<b.a<c<b.

上确界、下确界

1、设 EEE 是实数的非空集合，即设 E⊂R" role="presentation">E⊂RE⊂RE \subset \mathbb{R} ，E≠∅.E≠∅.E \ne \emptyset . 如果存在一个实数 MMM ，满足下面的条件(i)和(ii)，那么我们就把 M" role="presentation">MMM 叫做集合 EEE 的上确界。条件(i)和(ii)是：
(i) M" role="presentation">MMM 是集合 EEE 的一个上界，即 x≤M,∀x∈E" role="presentation">x≤M,∀x∈Ex≤M,∀x∈Ex\le M, \forall x \in E ；
　　(ii) MMM 是集合 E" role="presentation">EEE 的最小的上界——任何小于 MMM 的实数 M′" role="presentation">M′M′M' 都不再是集合 EEE 的上界，即 (∀M′<M)(∃x′∈E)(x′>M′)" role="presentation">(∀M′<M)(∃x′∈E)(x′>M′)(∀M′<M)(∃x′∈E)(x′>M′)(\forall M' M')。

2、设 E⊂RE⊂RE\subset \mathbb{R}， E≠∅E≠∅E\ne \emptyset 。如果存在一个实数mmm，满足以下的条件(1)和(2)，那么我们就把 m" role="presentation">mmm 叫做集合 EEE 的下确界：
(1) m" role="presentation">mmm 是集合 EEE 的一个下界，即 x≥m,∀x∈E" role="presentation">x≥m,∀x∈Ex≥m,∀x∈Ex\ge m, \forall x \in E；
　　(2) mmm 是集合 E" role="presentation">EEE 的最大的下界——任何大于 mmm 的实数 m′" role="presentation">m′m′m' 都不再是集合 EEE 的下界，(∀m′>m)(∃x′∈E)(x′<m′)" role="presentation">(∀m′>m)(∃x′∈E)(x′<m′)(∀m′>m)(∃x′∈E)(x′<m′)(\forall m' > m) (\exists x' \in E)(x'

3、上确界记为 supEsupE\sup E ，下确界记为 infEinfE\inf E 。

实数系的基本性质综述

运算性质

(F1F1\mathit{F_1}) 加法是交换的，即

a+b=b+a，∀a,b∈Ra+b=b+a，∀a,b∈R

a+b=b+a，\forall a,b\in\mathbb{R}

(F2F2\mathit{F_2}) 加法是结合的，即

(a+b)+c=a+(b+c)，∀a,b,c∈R(a+b)+c=a+(b+c)，∀a,b,c∈R

(a+b)+c=a+(b+c)，\forall a,b,c\in\mathbb{R}

(F3F3\mathit{F_3}) 0∈R0∈R0\in\mathbb{R} 对于加法起着特定的作用

0+a=a+0=a，∀a∈R0+a=a+0=a，∀a∈R

0+a=a+0=a，\forall a\in\mathbb{R}

(F4F4\mathit{F_4}) 对每一个 a∈Ra∈Ra\in\mathbb{R} 都存在一个与它相反的数 −a∈R−a∈R-a\in\mathbb{R} ，使得

(−a)+a=a+(−a)=0(−a)+a=a+(−a)=0

(-a)+a=a+(-a)=0

(F5F5\mathit{F_5}) 乘法是交换的，即

a⋅b=b⋅a，∀a,b∈Ra⋅b=b⋅a，∀a,b∈R

a\cdot b=b\cdot a，\forall a,b\in \mathbb{R}

(F6F6\mathit{F_6}) 乘法是结合的，即

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)，∀a,b,c∈R(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)，∀a,b,c∈R

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot ( b\cdot c)，\forall a,b,c\in \mathbb{R}

(F7F7\mathit{F_7}) 1∈R1∈R1\in \mathbb{R} 对于乘法起着特定的作用

1⋅a=a⋅1=a，∀a∈R1⋅a=a⋅1=a，∀a∈R

1\cdot a=a\cdot 1=a，\forall a\in \mathbb{R}

(F8F8\mathit{F_8}) 对每一个 a∈Ra∈Ra\in \mathbb{R} ， a≠0a≠0a\ne 0，都存在一个倒数 a−1∈Ra−1∈Ra^{-1}\in \mathbb{R} ，使得

a−1⋅a=a⋅a−1=1a−1⋅a=a⋅a−1=1

a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1

(F9F9\mathit{F_9}) 乘法对于加法是分配的，即

a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c，∀a,b,c∈Ra⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c，∀a,b,c∈R

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c，\forall a,b,c\in \mathbb{R}

顺序性质

(O1O1\mathit{O_1}) 对任意的 a∈Ra∈Ra\in \mathbb{R}，必有并且只有以下三种情形之一出现：

a<b，a=b　或者　a>ba<b，a=b或者a>b

（这一性质通常叫做``三岐性''）（这一性质通常叫做``三岐性''）

\text{（这一性质通常叫做``三岐性''）}

(O2O2\mathit{O_2}) 关系“<<<script type="math/tex" id="MathJax-Element-80"><</script>”具有传递性

a<b，b<c⇒a<ca<b，b<c⇒a<c

(O3O3\mathit{O_3}) 加以实数的运算保持顺序关系

a<b⇒a+c<b+ca<b⇒a+c<b+c

(O4O4\mathit{O_4}) 乘以正实数的运算保持顺序关系

a<b，c>0⇒a⋅c>b⋅ca<b，c>0⇒a⋅c>b⋅c

a0\Rightarrow a\cdot c > b \cdot c

连续性质

(CC\mathit{C}) (确界原理) RR\mathbb{R} 的任何一个非空而有上界的子集合在RR\mathbb{R} 中有上确界。

1、定义有加法与乘法运算并且符合运算律 (F1F1\mathit{F_1}) – (F9F9\mathit{F_9}) 的集合通常称为域。实数系是一个域，有理数系和复数系也都是域。

2、定义有顺序关系“<<<script type="math/tex" id="MathJax-Element-91"><</script>”并且符合 (O1O1\mathit{O_1}) – (O4O4\mathit{O_4}) 的要求的一个域被称为有序域。实数系是一个有序域。有理数系也是一个有序域。但复数系不是有序域。

3、确界原理 (CC\mathit{C}) 说明了实数系的连续性。因此我们说：实数系RR\mathbb{R}是一个连续的有序域。

不等式

涉及绝对值的不等式

|x|<α⇔−α<x<α|x|<α⇔−α<x<α|x|

|y|≤β⇔−β≤y≤β|y|≤β⇔−β≤y≤β|y|\le \beta \Leftrightarrow -\beta \le y \le \beta

|a+b|≤|a|+|b||a+b|≤|a|+|b||a+b|\le |a| + |b|

||a|−|b||≤|a−b|||a|−|b||≤|a−b|\left| |a|-|b| \right| \le |a-b|

伯努里 (Bernoulli) 不等式

(1+x)n≥1+nx，∀x≥−1(1+x)n≥1+nx，∀x≥−1(1+x)^n \ge 1+nx，\forall x\ge -1

算术平均数与几何平均数不等式

设x0,x1,⋯xn≥0x0,x1,⋯xn≥0x_0,x_1,\cdots x_n \ge 0，则AM-GM不等式成立

x1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xn−−−−−−−−−√nx1+x2+⋯+xnn≥x1x2⋯xnn

\dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}

涉及三角函数的不等式

对于用弧度表示的角 xxx ，有以下不等式成立

sin⁡x<x<tan⁡x，∀x∈(0,π2)" role="presentation">sinx<x<tanx，∀x∈(0,π2)sin⁡x<x<tan⁡x，∀x∈(0,π2)

\sin x

|sinx|≤x，∀x∈R|sin⁡x|≤x，∀x∈R|\sin x|\le x，\forall x\in \mathbb{R}