【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 N,M,SN,M,SN,M,S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 N−1N-1N−1 行每行包含两个正整数 x,yx, yx,y，表示 xxx 结点和 yyy 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 MMM 行每行包含两个正整数 a,ba, ba,b，表示询问 aaa 结点和 bbb 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 MMM 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

对于 30%30\%30% 的数据，N≤10N\leq 10N≤10，M≤10M\leq 10M≤10。

对于 70%70\%70% 的数据，N≤10000N\leq 10000N≤10000，M≤10000M\leq 10000M≤10000。

对于 100%100\%100% 的数据，N≤500000N\leq 500000N≤500000，M≤500000M\leq 500000M≤500000。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：2,42, 42,4 的最近公共祖先，故为 444。

第二次询问：3,23, 23,2 的最近公共祖先，故为 444。

第三次询问：3,53, 53,5 的最近公共祖先，故为 111。

第四次询问：1,21, 21,2 的最近公共祖先，故为 444。

第五次询问：4,54, 54,5 的最近公共祖先，故为 444。

故输出依次为 4,4,1,4,44, 4, 1, 4, 44,4,1,4,4。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

浅浅分析一下？

首先，知道最近公共祖先是什么意思
这个节点的父节点，父节点的父节点都是祖先……，甚至自己都是祖先
去看看这个题的样例解释，明白了这个概念后，再看后面。

暴力做法？

不要把算法想的太复杂，说到底，就是暴力的思路，然后想尽办法优化，什么常数优化啊一大堆乱七八糟的。
这道题也是一样，我们来考虑暴力做法
记录一个点的所有祖先，枚举另一个点的祖先，相同输出。
如果出题人故意卡你，给你出一个两条互不相同的链，然后头结点拼起来，然后给你一个查询：两条链的尾结点，你肯定会超时。

倍增

预处理
我们需要知道每个点的祖先，但不需要全部，毕竟空间存不下（具体思路见我RMQ的思路）
f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示iii的2j2^j2j级祖先是谁
f[i][0]f[i][0]f[i][0]表示iii的父亲…………
状态转移方程:f[i][j]=f[f[i][j−1]][j−1]f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]f[i][j]=f[f[i][j−1]][j−1]
这个怎么记呢？
“爸爸的爸爸叫爷爷”
查询
第一步：对齐
若x，yx，yx，y深度不一样,不妨设xxx的深度>y>y>y的深度
首先令xxx爬到xxx的某个深度与yyy相等的祖先
如果y==xy==xy==x那yyy就是xxx的祖先，输出yyy即可，否则进入下一步
第二步：爬树
x,yx,yx,y以倍增的形式向上爬树，单次查询:O(log2n)O({log_{2}}^{n})O(log2n)
dfsdfsdfs查询每个节点的2j2^j2j级祖先（这里用的是链式前向星存储）（不会的去查吧）

void dfs(int x,int fat)
{fa[x][0]=fat;deep[x]=deep[fat]+1;//深度等于他爸的深度+1for(int i=1;i<=lg[deep[x]];++i)fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];//爸爸的爸爸叫爷爷for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)if(edge[i].to!=fat)//不是父亲dfs(edge[i].to,x);//遍历}

开始爬树（同一高度）

int LCA(int x,int y)
{if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);//不妨设x深度大于ywhile(deep[x]>deep[y])x=fa[x][lg[deep[x]-deep[y]]-1];//RMQ讲过的，log值要减一if(x==y)return x;//y是x的祖先
//现在x和y在同一深度上

继续爬树

for(int k=lg[deep[x]]-1;k>=0;k--)//注意遍历顺序if(fa[x][k]!=fa[y][k]){//没爬到x=fa[x][k];      y=fa[y][k];                }//也许超了，不往上爬                      return fa[x][0];//爬完之后，它肯定在最近公共祖先的儿子，返回他爸                   }

Code:Code:Code:

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
struct node{int to,nxt;}edge[1000005];
int n,m,s,head[1000005],cnt;
int fa[1000005][25],r[1000005],lg[1000005];
void log_2(int k){for(int i=1;i<=k;i++)lg[i]=lg[i-1]+((1<<lg[i-1])==i);
}
void add(int from,int to){edge[++cnt].to=to,edge[cnt].nxt=head[from],head[from]=cnt;
}
void dfs(int u,int fat){//dfs初始化fa数组fa[u][0]=fat,r[u]=r[fat]+1;for(int i=1;i<lg[r[u]];/*注意-1*/i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];//爸爸的爸爸叫爷爷for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)if(edge[i].to!=fat)dfs(edge[i].to,u);
}
int LCA(int x,int y){if(r[x]<r[y])swap(x,y);//不妨设x比y深 while(r[x]>r[y])x=fa[x][lg[r[x]-r[y]]-1];//注意减一 if(x==y) return y;//y是x的祖先for(int i=lg[r[x]]-1;i>=0;i--){//预好跳完整个数的准备，从大到小，注意减一 if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];//跳//不然什么都不干 }return fa[x][0];//返回他的父亲，自行模拟
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d %d",&u,&v);add(u,v),add(v,u);}log_2(n);dfs(s,0);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d %d",&x,&y);printf("%d\n",LCA(x,y));}return 0;
}

RMQ

这东西没想出来正常（因为我没有想出来），非常神奇
我们先来了解各个需要用到的数组含义
ver[i]ver[i]ver[i]表示dfsdfsdfs第iii个访问的节点
R[i]R[i]R[i]表示ver[i]ver[i]ver[i]所在的层数，也就是深度
first[i]first[i]first[i]表示iii个节点在ver[i]ver[i]ver[i]的最小编号，也就是第一个出现的编号
如果我们要求ddd和fff的LCALCALCA，我们发现ddd第一次出现在444，fff第一次出现在999，由dfsdfsdfs的性质可以知道，在494~94 9之间深度最小的点就是LCALCALCA
这不就是区间查询问题吗？
于是我们就想到了RMQRMQRMQ,预处理O(nlog2n)O(n{log_{2}}^n)O(nlog2n),查询:O(1)O(1)O(1)非常之快
直接上代码，都讲过（三个数组的预处理都会吧）
Code:Code:Code:

//LCA（RMQ方法）
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
struct node{int value,nxt,to;}edge[2000005];
int n,m,s,head[1000005],cnt,tot;
int fir[1000005];//每个点第一次出现的时间
int ver[1000005];//时间戳
int r[1000005];//时间戳每个点的深度
int f[20][1000005];//RMQ数组（记录深度）
int rec[20][1000005];//记录标号
int lg[1000005];//log2数组
void tiao_shi(){for(int i=1;i<=tot;i++) cout<<ver[i]<<' ';cout<<endl;for(int i=1;i<=tot;i++) cout<<r[i]<<' ';cout<<endl;for(int i=1;i<=n;i++) cout<<fir[i]<<' ';cout<<endl;
}
void add(int from,int to){//链式前向星 edge[++cnt].to=to,edge[cnt].nxt=head[from],head[from]=cnt;
}
void log_2(int k){for(int i=1;i<=k;i++)lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
}
void dfs(int u,int dep){fir[u]=++tot,ver[tot]=u,r[tot]=dep;for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt){int v=edge[i].to;if(!fir[v])dfs(v,dep+1),ver[++tot]=u,r[tot]=dep;//去了又,回来 }
}
void RMQ_init(){//RMQ初始化,详见RMP模板 log_2(tot);//求log2 1~tot比cmath库的函数快很多for(int i=1;i<lg[tot];i++)for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tot;j++)f[i][j]=1e9; for(int i=1;i<=tot;i++)//数组初始化 f[0][i]=r[i],rec[0][i]=ver[i];for(int i=1;i<lg[tot];i++)for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tot;j++){if(f[i-1][j]<f[i-1][j+(1<<i-1)])f[i][j]=f[i-1][j],rec[i][j]=rec[i-1][j];else f[i][j]=f[i-1][j+(1<<i-1)],rec[i][j]=rec[i-1][j+(1<<i-1)];//聚合 }
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d %d",&u,&v);add(u,v),add(v,u);}dfs(s,1);RMQ_init();for(int i=1;i<=m;i++){int l,r;scanf("%d %d",&l,&r);l=fir[l],r=fir[r];if(l>r)swap(l,r);int k=lg[r-l+1]-1;//注意减一  if(f[k][l]<f[k][r-(1<<k)+1]) printf("%d\n",rec[k][l]);else printf("%d\n",rec[k][r-(1<<k)+1]);}//详细见RMQ,这里只提供思路
//  tiao_shi();return 0;
}

tarjan

自认为讲不清楚
推荐一个详解博客：tarjan——LCA
这里说一下简略思路
第一步遍历，DFSDFSDFS遍历，如果走不下去了，就把那个点用并查集并起来
然后用一个visvisvis数组标记，如果遍历到一个点，寻找和他有关系的点，如果那个点被标记过了，他们的最近公共祖先就是find(那个点)find(那个点)find(那个点)
详细请见那个博客，这里给出这个博客给的思路写出来的代码
Code:Code:Code:

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
struct node{int to,nxt,id;}edge[1000005],deg[1000005];
int n,m,s,cnt,dcnt,head[1000005],dhd[1000005],ict;
int fa[1000005],rak[1000005];//并查集
int vis[1000005];//标记数组
int ans[1000005];//答案数组
void add(int from,int to){edge[++cnt].to=to,edge[cnt].nxt=head[from],head[from]=cnt;
}
void dadd(int from,int to){deg[++dcnt].to=to,deg[dcnt].nxt=dhd[from],dhd[from]=dcnt,deg[dcnt].id=++ict;deg[++dcnt].to=from,deg[dcnt].nxt=dhd[to],dhd[to]=dcnt,deg[dcnt].id=ict;
}
void init(){for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
}
int find(int x){if(x==fa[x]) return x;return fa[x]=find(fa[x]);//小优化
}
void marge(int u,int v){//不能用按秩合并，有顺序的限定！ int f1=find(u),f2=find(v);fa[f2]=f1;
}
void tarjan(int u,int fat){vis[u]=1;for(int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)if(!vis[edge[i].to]&&edge[i].to!=fat)//并查集挺高查找速度 tarjan(edge[i].to,u),marge(u,edge[i].to);for(int i=dhd[u];i;i=deg[i].nxt)if(vis[deg[i].to]&&!ans[deg[i].id])ans[deg[i].id]=find(deg[i].to);
}
int main()
{cin>>n>>m>>s;for(int i=1;i<n;i++){int u,v;cin>>u>>v;add(u,v),add(v,u);}for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;cin>>x>>y;dadd(x,y);}init();tarjan(s,0);for(int i=1;i<=ict;i++) cout<<ans[i]<<endl;return 0;
}

大家可以用这道题练练手。
熟能生巧，NOINOINOI路上也是如此，加油啊！童鞋们

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倍增

预处理

查询

dfsdfsdfs查询每个节点的2j2^j2j级祖先（这里用的是链式前向星存储）（不会的去查吧）

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继续爬树

Code:Code:Code:

RMQ

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Code:Code:Code:

tarjan

Code:Code:Code:

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