Delaunay优化算法

在任一三角形网中,若某结点位于以某约束边界线段为直径的圆内或圆上,而且该点对该约束边可见,就称该点侵入(encroach)了该约束边,该约束边称为被侵入边(encroached segment)[3]。

Delaunay优化算法是通过不断插入结点,使所有三角形都满足用户指定的形状或尺寸要求。在插入结点时根据以下两点进行:

1) 如果一条约束边被侵入,就在其中点处插入一个结点,将该约束边分割为两条较小的约束边,并通过对角线交换恢复Delaunay三角化(如图3,其中粗实线代表约束边);

2) 如果某三角形形状或尺寸不满足要求,称该三角形为坏三角形,在其外接圆圆心处插入结点,并恢复Delaunay三角化,如图4。由Delaunay三角形空外接圆性质,该操作必然使得该三角形被删除;但如果插入点侵入某约束边,就不插入该点,而是分割所有被该点侵入的约束边。

图3 分割被侵入约束边

图4 去除坏三角形

可以证明[5],如果T是所有边界由约束边组成的某平面区域的Delaunay三角剖分,且T没有被侵入约束边,则T中任意三角形的外接圆圆心必然位于T 内。因此,分割被侵入约束边实质是清除了外接圆圆心在剖分域外的三角形,使得随后处理坏三角形

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