粒子群算法总结+背包问题

【粒子群算法】（Particle Swarm Opitimization, PSO）在1995年由Dr.Eberhart和Dr.Kennedy提出，源于对鸟群捕食行为的研究。

好比说，一群鸟在一个区域内寻找食物，这个区域只有一条虫子（最优解），所有的鸟都不知道食物在哪。假设，他们知道自己的当前位置距离食物有多远，也知道自己距离食物最近的鸟的位置。

鸟A：哈哈哈原来虫子离我最近！
鸟B,C,D：我得赶紧往 A 那里过去看看！

同时各只鸟（粒子）飞行时，位置不停变化，距离食物的距离也不断变化，所以一定有过离食物最近的位置，这也是它们的一个参考（粒子飞行的历史）。

鸟某某：我刚刚的位置好像靠近了食物，我得往那里靠近！

综上，影响鸟的运动状态变化有下面两个因素：

离食物最近的鸟的位置（全局最优）
自己之前达到过的离食物最近的位置（个体最优）
自身惯性

三个因素综合为速度公式：

经过不断的调整，鸟群会向食物方向聚集，达到目标。

以上内容参考知乎@草稿纸反面，稍作修改，侵删。

PSO Step：

1：初始种群，计算个体的适应度值，设置各个体最优，全局最优；

2：迭代 i=0:MAX_GEN

3：粒子飞行：速度更新、位置更新、计算个体适应度值；

4：更新个体最优、全局最优；

5：i= MAX_GEN时，迭代结束

【背包问题】

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。

问题描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量weight和价格value，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

【0-1背包问题】

对每个物品i 只有装入/不装入背包两种情况。

我们有n种物品，物品j的重量为wj，价格为pj。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：
最大化

受限于

令V（i，j）表示前i个物品中能够装入容量为j的背包中的物品价值最大值，则可得到动态规划函数：

V(i,0) = V(0,j)=0; //把前i个物品装入容量为0的背包和把0个物品装入容量为j的背包，价值均为0

V(i,j) = V(i-1,j) j<wi //如果第i个物品的重量大于背包容量wi>j，则装入前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价值相同，即物品i不装入背包

V(i,j) = max{ V(i-1,j)，V(i-1,j-wi)+vi } j>wi // 1.如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值=把前i-1个物品装入容量为j-wi背包中的价值加上第i个物品的价值vi； 2. 如果第i个物品没有装入背包，则背包中价值=前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。取二者中价值较大者。

step 1：只装入前1个物品，确定各种情况下的背包能够得到的最大价值；

step 2：只装人前2个物品，确定各种情况下的背包能够得到的最大价值；

step n：...

最后V(n,C)便是容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。

为了得到V(n,C) 需想前推到V(n-1,C)。如果V(n,C)>V(n-1,C),则第n个物品装入背包，前n-1个物品装入容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C的背包中。

直到确定第一个物品是否被装入背包中。

得到：

当 V(i,j)= V(i-1,j)， xi = 0；

当 V(i,j) > V(i-1,j)， xi = 1，j = j-wi；

【动态规划】

#include "stdafx.h"
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <iostream>#define C 17  //背包容量
#define N 5  //物品个数int W[] = {3,4,7,8,9};
int V[] = {4,5,10,11,13};int Value[N+1][C+1];
int X[N+1];using namespace std;int KnapSack(int n,int c,int w[],int v[],int x[])
{
//int i,j;
for (int i=0;i<=n;i++)
Value[i][0]=0;
for (int j=0;j<=c;j++)
Value[0][j]=0;for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=c;j++)
{
if (j < w[i])
Value[i][j]=Value[i-1][j];else
Value[i][j]=max(Value[i-1][j],v[i]+Value[i-1][j-w[i]]);cout<<Value[i][j]<<"  ";
}
cout<<endl;
}int j=C;
for (int i=n;i>0;i--)
{
if (Value[i][j]>Value[i-1][j])
{
x[i] = 1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
return Value[n][C];
}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{cout<<KnapSack(N,C,W,V,X)<<endl;for (int i=1;i<=N;i++)
{
cout<<X[i]<<"  ";
}
system("pause");
return 0;
}

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