P2123 皇后游戏 (贪心+公式推导)

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2123

题目背景

还记得 NOIP 2012 提高组 Day1 的国王游戏吗？时光飞逝，光阴荏苒，两年过去了。国王游戏早已过时，如今已被皇后游戏取代，请你来解决类似于国王游戏的另一个问题。

题目描述

皇后有 n 位大臣，每位大臣的左右手上面分别写上了一个正整数。恰逢国庆节来临，皇后决定为 n 位大臣颁发奖金，其中第 i 位大臣所获得的奖金数目为第i－1 位大臣所获得奖金数目与前 i 位大臣左手上的数的和的较大值再加上第 i 位大臣右手上的数。

形式化地讲：我们设第 i 位大臣左手上的正整数为 ai，右手上的正整数为 bi，则第 i 位大臣获得的奖金数目为 ci可以表达为：

正在上传…重新上传取消

当然，吝啬的皇后并不希望太多的奖金被发给大臣，所以她想请你来重新安排一下队伍的顺序，使得获得奖金最多的大臣，所获奖金数目尽可能的少。

注意：重新安排队伍并不意味着一定要打乱顺序，我们允许不改变任何一位大臣的位置。

输入格式

第一行包含一个正整数 T，表示测试数据的组数。

接下来 T 个部分，每个部分的第一行包含一个正整数 n，表示大臣的数目。

每个部分接下来 n 行中，每行两个正整数，分别为 ai和 bi，含义如上文所述。

输出格式

共 T 行，每行包含一个整数，表示获得奖金最多的大臣所获得的奖金数目。

输入输出样例

输入 #1复制
1
3
4 1
2 2
1 2
输出 #1复制
8
输入 #2复制
2
5
85 100
95 99
76 87
60 97
79 85
12
9 68
18 45
52 61
39 83
63 67
45 99
52 54
82 100
23 54
99 94
63 100
52 68
输出 #2复制
528
902
说明/提示

按照 1、2、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 10；

按照 1、3、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 2、1、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 2、3、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8；

按照 3、1、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 3、2、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8。

当按照 3、2、1 这样排列队伍时，三位大臣左右手的数分别为：

(1, 2)、(2, 2)、(4, 1)

第 1 位大臣获得的奖金为 1 + 2 = 3；

第 2 位大臣获得的奖金为 max{3, 3} + 2 = 5；

第 3 为大臣获得的奖金为 max{5, 7} + 1 = 8。

对于全部测试数据满足：

解题思路：乍一看，这题和NOIP 2012 提高组 Day1 的国王游戏很像，做题方法应该也差不多，找出一个排序方法，使得以这样排序得到的序列会使最大的cic_ici最小。

附上国王游戏的题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1080

观察可知，ci是逐渐递增的。我们用相邻交换法考虑。设某个位置上的大臣编号为i，后面一位大臣的编号为j。设i前面所有大臣的a值之和为x，i前面那一位大臣的c值为y。若不交换，则c值较大的大臣的c值（cj）为

化简后为

同理，这两位大臣交换后，c值较大的大臣的c值（ci）为

假设不交换更优，则有

注意：进行排序时，不能直接用下面这个式子

因为既然要使排序能满足传递性，就应该想出一个对所有数普遍适用的一个排序条件，而不只针对于相邻的两个数。上面得到的⑤式肯定要被用起来。再仔细观察一下这个式子。

拆解成逻辑表达式：

可以发现，大概应该和a与b的大小关系有关（ai和bi哪个大）。还有，要使一个数排在前面，那么a越小越好，b越大越好。我们先按a与b的大小关系把所有数据分为三大组，然后开始讨论：

至此，我们只需要(∗) 式成立即可

注意：洛谷上这个题的数据有点水，不用最终的方法，而是借助中间步骤的一些式子进行排序，也能AC.

提供一组数据：

输入：

2

7

6 3

1 1

7 3

1 1

1 6

1 1

6 10

7

6 10

1 1

6 3

1 1

7 3

1 1

1 6

输出：

26

26

附上正解代码：

一篇正解的dalao博客：https://www.luogu.com.cn/blog/namasikanam/solution-p2123

这篇博客也能说明最后的条件是普遍适用的一个排序条件。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<string>
#define cla(a, sum) memset(a, sum, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e4+5;ll T,n;
struct node{ll l,r;ll d;
}f[maxn];
ll sum[maxn],sn[maxn];bool cmp(node u,node v)
{if(u.d !=v.d ){return u.d <v.d ;}if(u.d<=0)return u.l <v.l ;else return u.r >v.r ;
}int main()
{cin>>T;while(T--){scanf("%lld",&n);ll i,j;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&f[i].l ,&f[i].r );f[i].d =f[i].l -f[i].r ;if(f[i].d)f[i].d =f[i].d /abs(f[i].d );}sort(f+1,f+n+1,cmp);ll ans=f[1].l +f[1].r ;sn[1]=ans;sum[1]=f[1].l ;for(i=2;i<=n;i++){sum[i]=sum[i-1]+f[i].l ;sn[i]=max(sn[i-1],sum[i])+f[i].r ;ans=max(ans,sn[i]);}printf("%lld\n",ans);}return 0;}

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