1. 回溯算法理论基础

什么是回溯法

回溯法也可以叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

在二叉树系列中，我们已经不止一次，提到了回溯，例如二叉树：以为使用了递归，其实还隐藏着回溯。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

所以回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。

回溯法的效率

回溯法的性能如何呢，必须强调的是，虽然回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不是什么高效的算法。

**因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，**如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。

回溯法模板

回溯三部曲

a. 回溯函数模板返回值以及参数

在回溯算法中，函数起名字为backtracking，这个起名大家随意。

回溯算法中函数返回值一般为void。

再来看一下参数，因为回溯算法需要的参数可不像二叉树递归的时候那么容易一次性确定下来，所以一般是先写逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

回溯函数伪代码如下：

void backtracking(参数)

b. 回溯函数终止条件

既然是树形结构，那么我们在讲解二叉树的递归 的时候，就知道遍历树形结构一定要有终止条件。

所以回溯也有要终止条件。

什么时候达到了终止条件，树中就可以看出，一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，并结束本层递归。

所以回溯函数终止条件伪代码如下：

if (终止条件){存放结果;return
}

c. 回溯搜索的遍历过程

在上面我们提到了，回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。

如图：

注意图中，特意举例集合大小和孩子的数量是相等的！

回溯函数遍历过程伪代码如下：

for (选择：本层集合中元素（树中结点孩子的数量就是集合的大小）){处理节点;backtracking（路径，选择列表）; //递归回溯，撤销处理结果;
}

for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

backtracking这里自己调用自己，实现递归。

大家可以从图中看出for循环可以理解是横向遍历，backtracking（递归）就是纵向遍历，这样就把这棵树全遍历完了，一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

分析完过程，回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

这份模板很重要，后面做回溯法的题目都靠它了！

2. 组合问题

题目链接

给定两个整数 n 和 k，返回 1 … n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

思路

本题这是回溯法的经典题目。

直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。

代码如下：

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {cout << i << " " << j << endl;}
}

输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：

int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = i + 1; j <= n; j++) {for (int u = j + 1; u <= n; n++) {cout << i << " " << j << " " << u << endl;}}
}

如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。

此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。

那么回溯法怎么暴力搜呢？

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

那么把组合问题抽象为如下树形结构：

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。
图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三部曲

• 递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果

其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,…,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

那么整体代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

• 回溯函数终止条件
  什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分：

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

所以终止条件代码如下：

if (path.size() == k) {result.push_back(path);return;
}

• 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int n, int k, int startIndex){if (k == path.size()){result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i <= n; i++){path.push_back(i);backtracking(n, k, i+1);path.pop_back();}}vector<vector<int>> combine(int n, int k) {backtracking(n, k, 1);return result;}
};

回溯模板：

void backtracking(参数) {if (终止条件) {存放结果;return;}for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {处理节点;backtracking(路径，选择列表); // 递归回溯，撤销处理结果}
}

剪枝优化

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int n, int k, int startIndex){if (k == path.size()){result.push_back(path);return;}//减少无效循环for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){path.push_back(i);backtracking(n, k, i+1);path.pop_back();}}vector<vector<int>> combine(int n, int k) {backtracking(n, k, 1);return result;}
};

3. 组合总和III

题目链接
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

• 所有数字都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

思路

本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。

相对于77. 组合，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,…,9]。

本题k相当于了树的深度，9（因为整个集合就是9个数）就是树的宽度。

例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k（个数） = 2, n（和） = 4的组合。

选取过程如图：

图中，可以看出，只有最后取到集合（1，3）和为4 符合条件。

最后，不难写出C++代码：

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int k, int n, int sum, int startIndex){if (k == path.size()){if (sum == n){result.push_back(path);}return;}for (int i = startIndex; i <= 9; i++){path.push_back(i);sum += i;backtracking(k, n, sum, i+1);path.pop_back();sum -= i;}}vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {backtracking(k, n, 0, 1);return result;}
};

同样，进行剪枝操作：

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(int k, int n, int sum, int startIndex){if (sum > n) return;if (k == path.size()){if (sum == n){result.push_back(path);}return;}for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++){path.push_back(i);sum += i;backtracking(k, n, sum, i+1);path.pop_back();sum -= i;}}vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {backtracking(k, n, 0, 1);return result;}
};

4. 电话号码的数字组合

题目链接

给定一个仅包含数字 2-9 的字符串，返回所有它能表示的字母组合。

给出数字到字母的映射如下（与电话按键相同）。注意 1 不对应任何字母。

示例: 输入：“23” 输出：[“ad”, “ae”, “af”, “bd”, “be”, “bf”, “cd”, “ce”, “cf”].

说明：尽管上面的答案是按字典序排列的，但是你可以任意选择答案输出的顺序。

思路

从示例上来说，输入"23"，最直接的想法就是两层for循环遍历了吧，正好把组合的情况都输出了。

如果输入"233"呢，那么就三层for循环，如果"2333"呢，就四层for循环…

理解本题后，要解决如下三个问题：

1. 数字和字母如何映射
2. 两个字母就两个for循环，三个字符我就三个for循环，以此类推，然后发现代码根本写不出来
3. 输入1 * #按键等等异常情况

数字和字母如何映射

可以使用map或者定义一个二位数组，例如：string letterMap[10]，来做映射，我这里定义一个二维数组，代码如下：

const string letterMap[10] = {"", // 0"", // 1"abc", // 2"def", // 3"ghi", // 4"jkl", // 5"mno", // 6"pqrs", // 7"tuv", // 8"wxyz", // 9
};

回溯法来解决n个for循环的问题

例如：输入：“23”，抽象为树形结构，如图所示：

图中可以看出遍历的深度，就是输入"23"的长度，而叶子节点就是我们要收集的结果，输出[“ad”, “ae”, “af”, “bd”, “be”, “bf”, “cd”, “ce”, “cf”]。

C++代码

class Solution {private:const string letterMap[10] = {"", // 0"", // 1"abc", // 2"def", // 3"ghi", // 4"jkl", // 5"mno", // 6"pqrs", // 7"tuv", // 8"wxyz", // 9};
public:vector<string> result;string s;void backtracking(const string& digits, int index) {if (index == digits.size()) {result.push_back(s);return;}int digit = digits[index] - '0';        // 将index指向的数字转为intstring letters = letterMap[digit];      // 取数字对应的字符集for (int i = 0; i < letters.size(); i++) {s.push_back(letters[i]);            // 处理backtracking(digits, index + 1);    // 递归，注意index+1，一下层要处理下一个数字了s.pop_back();                       // 回溯}}vector<string> letterCombinations(string digits) {s.clear();result.clear();if (digits.size() == 0) {return result;}backtracking(digits, 0);return result;}
};

5. 组合总和

题目链接

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
说明：

• 所有数字（包括 target）都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。

示例 1： 输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7, 所求解集为： [ [7], [2,2,3] ]

示例 2： 输入：candidates = [2,3,5], target = 8, 所求解集为： [ [2,2,2,2], [2,3,3], [3,5] ]

思路

**题目中的无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办，**然后看到下面提示：1 <= candidates[i] <= 200，我就放心了。

本题和77.组合，216.组合总和II和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。

本题搜索的过程抽象成树形结构如下：

注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！

而在77.组合和216.组合总和II中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。

本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？

我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：77.组合 (opens new window)，216.组合总和III (opens new window)。

如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：17.电话号码的字母组合

C++代码

class Solution {private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {if (sum > target) {return;}if (sum == target) {result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {sum += candidates[i];path.push_back(candidates[i]);backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数sum -= candidates[i];path.pop_back();}}
public:vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {result.clear();path.clear();backtracking(candidates, target, 0, 0);return result;}
};

剪枝优化
如果sum+candidates[i] > sum就直接不去进行纵向遍历

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex){if (sum == target){result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++){path.push_back(candidates[i]);sum += candidates[i];backtracking(candidates, target, sum, i);sum -= candidates[i];path.pop_back();}}// 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {sort(candidates.begin(), candidates.end());backtracking(candidates, target, 0, 0);return result;}
};

6. 组合总和Ⅱ

题目链接

给定一个数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。

说明： 所有数字（包括目标数）都是正整数。 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8, 所求解集为: [ [1, 7], [1, 2, 5], [2, 6], [1, 1, 6] ]

示例 2: 输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5, 所求解集为: [ [1,2,2], [5] ]

思路

这道题目和39.组合总和如下区别：

• 本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次。
• 本题数组candidates的元素是有重复的，而39.组合总和是无重复元素的数组candidates
• 最后本题和39.组合总和 要求一样，解集不能包含重复的组合。

本题的难点在于区别2中：集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。

方法：
将数组排序，通过对比前后的数值是否相同，如果相同，跳过，进一步解释

这个去重为什么很难理解呢，所谓去重，其实就是使用过的元素不能重复选取。 这么一说好像很简单！

都知道组合问题可以抽象为树形结构，那么“使用过”在这个树形结构上是有两个维度的，一个维度是同一树枝上使用过，一个维度是同一树层上使用过。没有理解这两个层面上的“使用过” 是造成大家没有彻底理解去重的根本原因。

那么问题来了，我们是要同一树层上使用过，还是同一树枝上使用过呢？

回看一下题目，元素在同一个组合内是可以重复的，怎么重复都没事，但两个组合不能相同。

所以我们要去重的是同一树层上的“使用过”，同一树枝上的都是一个组合里的元素，不用去重。

强调一下，树层去重的话，需要对数组排序！

选择过程树形结构如图所示：

从图中我们可以看出如果有重复数字，前面的重复数字会包含后面重复数字内容，也就造成了重复，只要跳过后面重复数字的遍历过程即可。

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex){if (sum == target){result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++){if (i > startIndex && candidates[i-1] == candidates[i]) continue; // 上图中跳过过程path.push_back(candidates[i]);//下面三行可以替换为backtracking(candidates, target, sum + candidates[i], i+1);减少了sum+和-的过程sum += candidates[i];backtracking(candidates, target, sum, i+1);sum -= candidates[i];path.pop_back();}}vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {sort(candidates.begin(), candidates.end());backtracking(candidates, target, 0, 0);return result;}
};

used方法

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex, vector<bool> used){if (sum == target){result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++){if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i-1] && used[i-1] == false) continue;path.push_back(candidates[i]);sum += candidates[i];used[i] = true;backtrack(candidates, target, sum, i+1, used);used[i] = false;sum -= candidates[i];path.pop_back();}}vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {sort(candidates.begin(), candidates.end());vector<bool> used(candidates.size(), false);backtrack(candidates, target, 0, 0, used);return result;}
};

7.分割回文串

题目链接

给定一个字符串 s，将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。

返回 s 所有可能的分割方案。

示例: 输入: “aab” 输出: [ [“aa”,“b”], [“a”,“a”,“b”] ]

思路

本题这涉及到两个关键问题：

1. 切割问题，有不同的切割方式
2. 判断回文

其实切割问题类似组合问题。

例如对于字符串abcdef：

组合问题：选取一个a之后，在bcdef中再去选取第二个，选取b之后在cdef中在选组第三个…。
切割问题：切割一个a之后，在bcdef中再去切割第二段，切割b之后在cdef中在切割第三段…。

所以切割问题，也可以抽象为一颗树形结构，如图：

递归用来纵向遍历，for循环用来横向遍历，切割线（就是图中的红线）切割到字符串的结尾位置，说明找到了一个切割方法。

C++：

class Solution {public:vector<vector<string>> result;vector<string> path;void backtracking(const string& s, int startIndex){if (startIndex >= s.size()){result.push_back(path);return;}for (int i = startIndex; i < s.size(); i++){if (isPalindrome(s, startIndex, i)){string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);path.push_back(str);}else continue;backtracking(s, i+1);path.pop_back();}}bool isPalindrome(const string& s, int start, int end){for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--){if (s[i] != s[j]) return false;}return true;}vector<vector<string>> partition(string s) {backtracking(s, 0);return result;}
};

难点：

1. 能否想到回溯？
2. 能否将回溯组合问题应用到切割上？
3. 整个逻辑是否能搞清楚?

8. 复原IP地址

题目链接

给定一个只包含数字的字符串，复原它并返回所有可能的 IP 地址格式。

有效的 IP 地址 正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 ‘.’ 分隔。

例如：“0.1.2.201” 和 “192.168.1.1” 是 有效的 IP 地址，但是 “0.011.255.245”、“192.168.1.312” 和 “192.168@1.1” 是 无效的 IP 地址。

示例 1：

输入：s = “25525511135”
输出：[“255.255.11.135”,“255.255.111.35”]

示例 2：

输入：s = “0000”
输出：[“0.0.0.0”]

示例 3：

输入：s = “1111”
输出：[“1.1.1.1”]

示例 4：

输入：s = “010010”
输出：[“0.10.0.10”,“0.100.1.0”]

示例 5：

输入：s = “101023”
输出：[“1.0.10.23”,“1.0.102.3”,“10.1.0.23”,“10.10.2.3”,“101.0.2.3”]

提示：

0 <= s.length <= 3000
s 仅由数字组成

思路

这道题目相信大家刚看的时候，应该会一脸茫然。

其实只要意识到这是切割问题，切割问题就可以使用回溯搜索法把所有可能性搜出来，和刚做过的131.分割回文串 (opens new window)就十分类似了。

切割问题可以抽象为树型结构，如图：

c++代码

class Solution {public:vector<string> result;void backtrack(string& s, int startIndex, int pointNum){if (pointNum == 3){if (isValid(s, startIndex, s.size()-1)){result.push_back(s);}return;}for (int i = startIndex; i < s.size(); i++){if (isValid(s, startIndex, i)){s.insert(s.begin()+i+1, '.');pointNum++;backtrack(s, i+2, pointNum);pointNum--;s.erase(s.begin()+i+1);}}}bool isValid(const string& s, int start, int end){if (start > end) return false;if (s[start] == '0' && start != end) return false;int sum = 0;for (int i = start; i <= end; i++){if (s[i] < '0' || s[i] > '9') return false;sum = sum*10 + (s[i] - '0');if (sum > 255) return false;}return true;}vector<string> restoreIpAddresses(string s) {if (s.size() > 12) return result;backtrack(s, 0, 0);return result;}
};

9. 子集

题目链接

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]

思路

如果把 子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！

其实子集也是一种组合问题，因为它的集合是无序的，子集{1,2} 和 子集{2,1}是一样的。

那么既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！

有同学问了，什么时候for可以从0开始呢？

求排列问题的时候，就要从0开始，因为集合是有序的，{1, 2} 和{2, 1}是两个集合，排列问题我们后续的文章就会讲到的。

以示例中nums = [1,2,3]为例把求子集抽象为树型结构，如下：

从图中红线部分，可以看出遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合。

c++代码

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& nums, int startIndex){result.push_back(path);for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++){path.push_back(nums[i]);backtrack(nums, i+1);path.pop_back();}}vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {backtrack(nums, 0);return result;}
};

10. 子集II

题目链接

给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: [1,2,2]
输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]

思路

这道题目和78.子集 (opens new window)区别就是集合里有重复元素了，而且求取的子集要去重。

那么关于回溯算法中的去重问题，在40.组合总和II (opens new window)中已经详细讲解过了，和本题是一个套路。

剧透一下，后期要讲解的排列问题里去重也是这个套路，所以理解“树层去重”和“树枝去重”非常重要。

用示例中的[1, 2, 2] 来举例，如图所示： （注意去重需要先对集合排序）

从图中可以看出，同一树层上重复取2 就要过滤掉，同一树枝上就可以重复取2，因为同一树枝上元素的集合才是唯一子集！

C++代码

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& nums, int startIndex){result.push_back(path);for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++){if (i > startIndex && nums[i] == nums[i-1]) continue;path.push_back(nums[i]);backtrack(nums, i+1);path.pop_back();}}vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());backtrack(nums, 0);return result;}
};

used代码

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& nums, int startIndex, vector<bool>& used){result.push_back(path);for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++){if (i > 0 && nums[i] == nums[i-1] && used[i-1] == false) continue;path.push_back(nums[i]);used[i] = true;backtrack(nums, i+1, used);used[i] = false;path.pop_back();}}vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {sort(nums.begin(), nums.end());vector<bool> used(nums.size(), false);backtrack(nums, 0, used);return result;}
};

11. 全排列

题目链接

给定一个 没有重复 数字的序列，返回其所有可能的全排列。

示例:

输入: [1,2,3]
输出: [ [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], [3,2,1] ]

思路

以[1,2,3]为例，抽象成树形结构如下：

C++代码

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& nums, vector<bool> used){if (nums.size() == path.size()){result.push_back(path);return;}for (int i = 0; i < nums.size(); i++){if (used[i] == true) continue;path.push_back(nums[i]);used[i] = true;backtrack(nums, used);used[i] = false;path.pop_back();}}vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {vector<bool> used(nums.size(), false);backtrack(nums, used);return result;}
};

另外一种思路：交换位置，不用使用used数组

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& nums, int index){if (path.size() == nums.size()){result.push_back(path);return;}for (int i = index; i < nums.size(); i++){path.push_back(nums[i]);swap(nums[i], nums[index]);backtrack(nums, index+1);path.pop_back();swap(nums[i], nums[index]);}}vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {backtrack(nums, 0);return result;}
};

拓展

大家发现，去重最为关键的代码为：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {continue;
}

如果改成 used[i - 1] == true， 也是正确的!，去重代码如下：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == true) {continue;
}

这是为什么呢，就是上面我刚说的，如果要对树层中前一位去重，就用used[i - 1] == false，如果要对树枝前一位去重用used[i - 1] == true。

对于排列问题，树层上去重和树枝上去重，都是可以的，但是树层上去重效率更高！

输入: [1,1,1] 来举一个例子。

树层上去重(used[i - 1] == false)，的树形结构如下：

树枝上去重（used[i - 1] == true）的树型结构如下：

大家应该很清晰的看到，树层上对前一位去重非常彻底，效率很高，树枝上对前一位去重虽然最后可以得到答案，但是做了很多无用搜索。

12. 全排列Ⅱ

题目链接

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
示例 2：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
提示：

1 <= nums.length <= 8
-10 <= nums[i] <= 10

思路

还要强调的是去重一定要对元素经行排序，这样我们才方便通过相邻的节点来判断是否重复使用了。

以示例中的 [1,1,2]为例 （为了方便举例，已经排序）抽象为一棵树，去重过程如图：

图中我们对同一树层，前一位（也就是nums[i-1]）如果使用过，那么就进行去重。

一般来说：组合问题和排列问题是在树形结构的叶子节点上收集结果，而子集问题就是取树上所有节点的结果。

class Solution {private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking (vector<int>& nums, vector<bool>& used) {// 此时说明找到了一组if (path.size() == nums.size()) {result.push_back(path);return;}for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {// used[i - 1] == true，说明同一树支nums[i - 1]使用过// used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过// 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {continue;}if (used[i] == false) {used[i] = true;path.push_back(nums[i]);backtracking(nums, used);path.pop_back();used[i] = false;}}}
public:vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {result.clear();path.clear();sort(nums.begin(), nums.end()); // 排序vector<bool> used(nums.size(), false);backtracking(nums, used);return result;}
};

强调一点：

看之前的去重代码，我的思路都是if (i>startIndex && nums[i] == nums[i-1])，但在该题中，存在以下难以适用性的问题：

1. 全排列问题：（1，2）（2，1）不相同
2. 如果按全排列中交换方法的话，会把排序好的数组重新打乱。(1,1,2,3),在3中交换后(3,1,2,1)无序，没办法进行识别。

13. 递增子序列

题目链接

给定一个整型数组, 你的任务是找到所有该数组的递增子序列，递增子序列的长度至少是2。

示例:

输入: [4, 6, 7, 7] 输出: [[4, 6], [4, 7], [4, 6, 7], [4, 6, 7, 7], [6, 7], [6, 7, 7], [7,7], [4,7,7]]

说明:

给定数组的长度不会超过15。
数组中的整数范围是 [-100,100]。
给定数组中可能包含重复数字，相等的数字应该被视为递增的一种情况。

思路

这个递增子序列比较像是取有序的子集。而且本题也要求不能有相同的递增子序列。

这又是子集，又是去重，是不是不由自主的想起了刚刚讲过的回溯算法：求子集问题（二）。

就是因为太像了，更要注意差别所在，要不就掉坑里了！

在回溯算法：求子集问题（二）中我们是通过排序，再加一个标记数组来达到去重的目的。

而本题求自增子序列，是不能对原数组经行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。

所以不能使用之前的去重逻辑！

本题给出的示例，还是一个有序数组 [4, 6, 7, 7]，这更容易误导大家按照排序的思路去做了。

为了有鲜明的对比，我用[4, 7, 6, 7]这个数组来举例，抽象为树形结构如图：

C++代码实现:

// 版本一
class Solution {private:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {if (path.size() > 1) {result.push_back(path);// 注意这里不要加return，要取树上的节点}unordered_set<int> uset; // 使用set对本层元素进行去重for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {if ((!path.empty() && nums[i] < path.back())|| uset.find(nums[i]) != uset.end()) {continue;}uset.insert(nums[i]); // 记录这个元素在本层用过了，本层后面不能再用了path.push_back(nums[i]);backtracking(nums, i + 1);path.pop_back();}}
public:vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {result.clear();path.clear();backtracking(nums, 0);return result;}
};

对于已经习惯写回溯的同学，看到递归函数上面的uset.insert(nums[i]);，下面却没有对应的pop之类的操作，应该很不习惯吧，哈哈

这也是需要注意的点，unordered_set uset; 是记录本层元素是否重复使用，新的一层uset都会重新定义（清空），所以要知道uset只负责本层！

优化

以上代码用我用了unordered_set来记录本层元素是否重复使用。

其实用数组来做哈希，效率就高了很多。

注意题目中说了，数值范围[-100,100]，所以完全可以用数组来做哈希。

程序运行的时候对unordered_set 频繁的insert，unordered_set需要做哈希映射（也就是把key通过hash function映射为唯一的哈希值）相对费时间，而且每次重新定义set，insert的时候其底层的符号表也要做相应的扩充，也是费事的。

那么优化后的代码如下：

class Solution {public:vector<vector<int>> result;vector<int> path;void backtrack(vector<int>& nums, int startIndex){if (path.size() > 1){result.push_back(path);}int arr[201] = {0};for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++){if ((!path.empty() && nums[i] < path.back()) || arr[nums[i]+100] == 1) continue;arr[nums[i]+100] = 1;path.push_back(nums[i]);backtrack(nums, i+1);path.pop_back();}}vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {backtrack(nums, 0);return result;}
};

这份代码在leetcode上提交，要比版本一耗时要好的多。

所以正如在哈希表：总结篇！（每逢总结必经典）中说的那样，数组，set，map都可以做哈希表，而且数组干的活，map和set都能干，但如果数值范围小的话能用数组尽量用数组。

14. 重新安排行程

题目链接

给定一个机票的字符串二维数组 [from, to]，子数组中的两个成员分别表示飞机出发和降落的机场地点，对该行程进行重新规划排序。所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。

提示：

如果存在多种有效的行程，请你按字符自然排序返回最小的行程组合。例如，行程 [“JFK”, “LGA”] 与 [“JFK”, “LGB”] 相比就更小，排序更靠前
所有的机场都用三个大写字母表示（机场代码）。
假定所有机票至少存在一种合理的行程。
所有的机票必须都用一次 且 只能用一次。

示例 1：

输入：[[“MUC”, “LHR”], [“JFK”, “MUC”], [“SFO”, “SJC”], [“LHR”, “SFO”]]
输出：[“JFK”, “MUC”, “LHR”, “SFO”, “SJC”]

示例 2：

输入：[[“JFK”,“SFO”],[“JFK”,“ATL”],[“SFO”,“ATL”],[“ATL”,“JFK”],[“ATL”,“SFO”]]
输出：[“JFK”,“ATL”,“JFK”,“SFO”,“ATL”,“SFO”]
解释：另一种有效的行程是 [“JFK”,“SFO”,“ATL”,“JFK”,“ATL”,“SFO”]。但是它自然排序更大更靠后。

思路

直觉上来看 这道题和回溯法没有什么关系，更像是图论中的深度优先搜索。

实际上确实是深搜，但这是深搜中使用了回溯的例子，在查找路径的时候，如果不回溯，怎么能查到目标路径呢。

所以我倾向于说本题应该使用回溯法，那么我也用回溯法的思路来讲解本题，其实深搜一般都使用了回溯法的思路，在图论系列中我会再详细讲解深搜。

这道题目有几个难点：

1. 一个行程中，如果航班处理不好容易变成一个圈，成为死循环
2. 有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢 ？
3. 使用回溯法（也可以说深搜） 的话，那么终止条件是什么呢？
4. 搜索的过程中，如何遍历一个机场所对应的所有机场。

如何理解死循环

对于死循环，我来举一个有重复机场的例子：

为什么要举这个例子呢，就是告诉大家，出发机场和到达机场也会重复的，如果在解题的过程中没有对集合元素处理好，就会死循环。

该记录映射关系

有多种解法，字母序靠前排在前面，让很多同学望而退步，如何该记录映射关系呢 ？

一个机场映射多个机场，机场之间要靠字母序排列，一个机场映射多个机场，可以使用std::unordered_map，如果让多个机场之间再有顺序的话，就是用std::map 或者std::multimap 或者 std::multiset。

这样存放映射关系可以定义为 unordered_map<string, multiset> targets 或者 unordered_map<string, map<string, int>> targets。

含义如下：

unordered_map<string, multiset> targets：unordered_map<出发机场, 到达机场的集合> targets

unordered_map<string, map<string, int>> targets：unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets

这两个结构，我选择了后者，因为如果使用unordered_map<string, multiset> targets 遍历multiset的时候，不能删除元素，一旦删除元素，迭代器就失效了。

再说一下为什么一定要增删元素呢，正如开篇我给出的图中所示，出发机场和到达机场是会重复的，搜索的过程没及时删除目的机场就会死循环。

所以搜索的过程中就是要不断的删multiset里的元素，那么推荐使用unordered_map<string, map<string, int>> targets。

在遍历 unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets的过程中，可以使用"航班次数"这个字段的数字做相应的增减，来标记到达机场是否使用过了。

如果“航班次数”大于零，说明目的地还可以飞，如果如果“航班次数”等于零说明目的地不能飞了，而不用对集合做删除元素或者增加元素的操作。

相当于说我不删，我就做一个标记！

回溯法

本题以输入：[[“JFK”, “KUL”], [“JFK”, “NRT”], [“NRT”, “JFK”]为例，抽象为树形结构如下：

注意函数返回值我用的是bool！

我们之前讲解回溯算法的时候，一般函数返回值都是void，这次为什么是bool呢？

因为我们只需要找到一个行程，就是在树形结构中唯一的一条通向叶子节点的路线，如图：

class Solution {private:
// unordered_map<出发机场, map<到达机场, 航班次数>> targets
unordered_map<string, map<string, int>> targets;
bool backtracking(int ticketNum, vector<string>& result) {if (result.size() == ticketNum + 1) {return true;}for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]]) {if (target.second > 0 ) { // 记录到达机场是否飞过了result.push_back(target.first);target.second--;if (backtracking(ticketNum, result)) return true;result.pop_back();target.second++;}}return false;
}
public:vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {targets.clear();vector<string> result;for (const vector<string>& vec : tickets) {targets[vec[0]][vec[1]]++; // 记录映射关系}result.push_back("JFK"); // 起始机场backtracking(tickets.size(), result);return result;}
};

代码中

for (pair<const string, int>& target : targets[result[result.size() - 1]])

pair里要有const，因为map中的key是不可修改的，所以是pair<const string, int>。

如果不加const，也可以复制一份pair，例如这么写：

for (pair<string, int>target : targets[result[result.size() - 1]])

15. N皇后

题目链接

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4

输出：[[".Q…","…Q",“Q…”,"…Q."],["…Q.",“Q…”,"…Q",".Q…"]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[[“Q”]]

思路

都知道n皇后问题是回溯算法解决的经典问题，但是用回溯解决多了组合、切割、子集、排列问题之后，遇到这种二位矩阵还会有点不知所措。

首先来看一下皇后们的约束条件：

1. 不能同行
2. 不能同列
3. 不能同斜线

确定完约束条件，来看看究竟要怎么去搜索皇后们的位置，其实搜索皇后的位置，可以抽象为一棵树。

下面我用一个3 * 3 的棋牌，将搜索过程抽象为一颗树，如图：

从图中，可以看出，二维矩阵中矩阵的高就是这颗树的高度，矩阵的宽就是树形结构中每一个节点的宽度。

那么我们用皇后们的约束条件，来回溯搜索这颗树，只要搜索到了树的叶子节点，说明就找到了皇后们的合理位置了。

c++代码实现：

class Solution {private:
vector<vector<string>> result;
// n 为输入的棋盘大小
// row 是当前递归到棋牌的第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard) {if (row == n) {result.push_back(chessboard);return;}for (int col = 0; col < n; col++) {if (isValid(row, col, chessboard, n)) { // 验证合法就可以放chessboard[row][col] = 'Q'; // 放置皇后backtracking(n, row + 1, chessboard);chessboard[row][col] = '.'; // 回溯，撤销皇后}}
}
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n) {// 检查列for (int i = 0; i < row; i++) { // 这是一个剪枝if (chessboard[i][col] == 'Q') {return false;}}// 检查 45度角是否有皇后for (int i = row - 1, j = col - 1; i >=0 && j >= 0; i--, j--) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}// 检查 135度角是否有皇后for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {if (chessboard[i][j] == 'Q') {return false;}}return true;
}
public:vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {result.clear();std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));backtracking(n, 0, chessboard);return result;}
};

16. 解数独

题目链接

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

一个数独的解法需遵循如下规则： 数字 1-9 在每一行只能出现一次。 数字 1-9 在每一列只能出现一次。 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。 空白格用 ‘.’ 表示。

一个数独。

答案被标成红色。

提示：

• 给定的数独序列只包含数字 1-9 和字符 ‘.’ 。
• 你可以假设给定的数独只有唯一解。
• 给定数独永远是 9x9 形式的。

思路

棋盘搜索问题可以使用回溯法暴力搜索，只不过这次我们要做的是二维递归。

怎么做二维递归呢？

N皇后问题是因为每一行每一列只放一个皇后，只需要一层for循环遍历一行，递归来来遍历列，然后一行一列确定皇后的唯一位置。

本题就不一样了，本题中棋盘的每一个位置都要放一个数字，并检查数字是否合法，解数独的树形结构要比N皇后更宽更深。

因为这个树形结构太大了，我抽取一部分，如图所示：

c++代码实现：

class Solution {private:
bool backtracking(vector<vector<char>>& board) {for (int i = 0; i < board.size(); i++) {        // 遍历行for (int j = 0; j < board[0].size(); j++) { // 遍历列if (board[i][j] != '.') continue;for (char k = '1'; k <= '9'; k++) {     // (i, j) 这个位置放k是否合适if (isValid(i, j, k, board)) {board[i][j] = k;                // 放置kif (backtracking(board)) return true; // 如果找到合适一组立刻返回board[i][j] = '.';              // 回溯，撤销k}}return false;                           // 9个数都试完了，都不行，那么就返回false}}return true; // 遍历完没有返回false，说明找到了合适棋盘位置了
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board) {for (int i = 0; i < 9; i++) { // 判断行里是否重复if (board[row][i] == val) {return false;}}for (int j = 0; j < 9; j++) { // 判断列里是否重复if (board[j][col] == val) {return false;}}int startRow = (row / 3) * 3;int startCol = (col / 3) * 3;for (int i = startRow; i < startRow + 3; i++) { // 判断9方格里是否重复for (int j = startCol; j < startCol + 3; j++) {if (board[i][j] == val ) {return false;}}}return true;
}
public:void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {backtracking(board);}
};

Leetcode学习之回溯算法相关推荐

1. [学习记录]回溯算法及其应用

   目录 一.简介 二.回溯算法的应用 三.回溯算法的模板 四.回溯算法解决子集问题 (一)子集问题描述 (二)问题解决 (三)代码实现 (四)剪枝操作 五.回溯算法解决分割问题 一.简介 回溯与递归是相 ...

2. C#LeetCode刷题-回溯算法

   回溯算法篇 # 题名 刷题 通过率 难度 10 正则表达式匹配 18.8% 困难 17 电话号码的字母组合 43.8% 中等 22 括号生成 64.9% 中等 37 解数独 45.8% 困难 39 组 ...

3. Leetcode学习之贪心算法

   贪心算法理论基础 题目分类大纲如下: 什么是贪心 贪心的本质是选择每一阶段的局部最优,从而达到全局最优. 这么说有点抽象,来举一个例子: 例如,有一堆钞票,你可以拿走十张,如果想达到最大的金额,你要怎 ...

4. 137. Leetcode 77. 组合 (回溯算法-组合问题)

   class Solution:def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:res = []def backtrack(n, k, s ...

5. 135. Leetcode 46. 全排列 (回溯算法-排列问题)

   class Solution:def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:# 方法一# res = [] # 存放符合条件结果的集 ...

6. 学习笔记-回溯算法(八皇后问题)暴力法

   八皇后问题暴力解决法(介绍代码有说明) 先展示结果: 我这里用的是一维数组来展示的结果 array={7,3,0,2,5,1,6,4} 7的下标为0, 在这里下标+1表示的是第几个皇后也是行的位置,a ...

7. 143. Leetcode 78. 子集 (回溯算法-子集问题)

   class Solution:def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:res = []def dfs(nums, start_ ...

8. LeetCode面试刷题技巧-二分查找算法（下）：通过 LeetCode 学习二分查找算法-销售价值减少的颜色球

   前言 以下是我为大家准备的几个精品专栏,喜欢的小伙伴可自行订阅,你的支持就是我不断更新的动力哟! MATLAB-30天带你从入门到精通 MATLAB深入理解高级教程(附源码) tableau可视化数据 ...

9. 从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的核心思想

   点击上方"视学算法",选择加"星标"或"置顶" 重磅干货,第一时间送达 关注我们丨文末赠书 深度优先搜索算法利用的是回溯算法思想.这个算法思 ...

最新文章

1. beatsx三闪红灯是什么意思_周迅感情亮红灯？真离了！？亮红灯英文是red light ？red 对了，但不用 light！...
2. 码云创建maven工程
3. 基于内容的图像检索CBIR部分数据库和源代码资料
4. textarea 通过 json在各浏览器的显示回车换行的问题
5. 苹果cms后台微信小程序影视源码-带视频教程
6. 可以用img做参数的成功例子
7. 查询错误_三菱PLC快捷查询错误代码（全）
8. 无法解析的外部符号：GetWindowThreadProcessId/EnumWindow
9. php vue是什么,vue.js是什么软件
10. 51单片机小车的立项书_基于51单片机的寻迹小车设计报告.doc
11. linux查看设备网卡型号,linux查看网卡型号
12. Android实现滑块拼图验证码功能
13. 【BZOJ3162】独钓寒江雪 树同构+DP
14. Hackthebox入门
15. 第五章 执行计划详解
16. Linux root密码修改
17. MPLS LDP的原理与配置
18. 前端后台管理系统————01版权限开发（附带教程及代码）
19. __name__的用法
20. Kubernetes资源调度之污点与Pod容忍度

热门文章

1. 域名重定向的解决方案（2）
2. 干货分享：PCB防静电设计的必要性
3. 7-3 java高级 22_19寻找最大块的问题 (20 分)
4. 会声会影2020 2021 2022 基础操作和参数设置图文教程
5. 计算机知识在小学教学中的应用ppt,浅谈PPT课件在小学数学课堂教学中的应用
6. 深信服防火墙SNMP开启步骤
7. 网络安全有哪些种类？
8. Laravel框架实战Web框架教程
9. Titanic(泰坦尼克号)
10. 全球及中国智能建筑行业十四五规模预测与发展格局分析报告2021版