盖师贝格-撒克斯通（GS）算法及其改进算法

本文摘自李景镇《光学手册》

盖师贝格(R.W.Gerchberg)和撒克斯通(W.O.Saxton)首先提出了一种振幅相位恢复算法，即GS算法，利用输入输出间的正反傅里叶变换与输入输出面上的光场限制条件，反复迭代直至满足设计要求，如图 16-19所示，其中输入面的振幅分布为f(x，y)，焦平面上的理想振幅分布为g(x′，y′)，F、F-1分别为傅里叶变换与傅里叶反变换。

对于GS算法，已证明|U2.k(x′，y′)|与g(x′，y′)间的误差不会随着迭代次数的增加而增加，因此GS算法也被称为误差减少算法。GS算法在DOE的优化设计中得到了广泛的应用，但GS算法的收敛过程会出现停滞现象，即只是初始的几次迭代过程会使误差值显著减小，而后续的迭代过程不能使误差值显著减小。这意味着GS算法只能求得局部极小值。为了进一步提高收敛速度，并避免收敛停滞现象的发生，已有许多改进算法。下面以一个设计实例来介绍GS算法及几种改进算法。

设计参数：λ=1.053μm，f=600mm，D=100mm，均匀焦斑大小d=100μm。以随机相位分布作为初始迭代相位，GS算法优化得到的设计结果如图16-20所示，其光能利用率η与顶部不均匀性rms分别为 98.3%、14.5%。

图16-20 GS算法优化设计结果
从图16-20可知，GS算法优化得到的相位分布包含许多相位突变点，这些突变点的产生是由于在反复迭代过程中，经过多次逆变换所致。而在某些应用场合，却需要优化得到尽可能连续的相位分布。GS算法是一种局部优化算法，对初始值敏感，易陷入局部极值点，且优化得到的焦面光场分布易出现较大的Gibbs 振荡，顶部的均匀性不够好。

为了获得更佳的设计性能，对图16-19所示之GS算法中的焦面理想振幅分布进行如下调整：

U2.k+1(x′，y′)= | gk+1(x′，y′) | exp[ ia(x′，y′) ]

引入参数

则

式中，γ用来控制收敛速度和设计性能。
对GS算法进行如上改进，可提高收敛速度，并可基本克服GS算法易陷于局部极值点这一缺陷，获得更理想的顶部不均匀性。设计参数同前，设计结果如图16-21所示，其光能利用率η与顶部不均匀性rms分别为93.9%、1.1%。

(a)相位分布

(b)焦面光强分布
图16-21 GS算法的ST改进算法优化设计结果

为了减小相位突变点，相位混合算法(phase mixture algorithm，PMA)[34]利用每次迭代的相位与上一次相位的加权和作为下次迭代的相位值，即

K＝Αk-1+barg{F-1(g exp(iαk))}

式中，a、b为非负的常数因子，且a+b=1。
PMA能有效地抑制GS算法中出现的局部极值点和Gibbs振荡，设计的相位分布较之GS算法要平缓光滑得多，但仍然存在多个相位突变点，并未从根本上解决相位设计中相位突变点的存在问题。

通过选取随机连续相位分布作为初始相位，并选取连续替代函数缓慢逼近理想的输出面分布或引入局部替代函数，例如 r>gk+1(x′，y′)=(1-k)|U2，k(x′，y′)|+kg(x′，y′)

式中，k≤1，以保证迭代过程的绝热性，可大大减小相位突变点乃至获得连续相位分布，如图16-22所示，上图为未进行相位展开时的相位灰阶图，下图为相相位展开后的相位三维分布;左图为GS算法设计结果，右图为引入局部替代函数的设计结果。由于要保证过程的绝热性，采用局部替代函数的GS算法的计算效率要远远低于GS算法。
GS算法的改进算法还有许多，例如输入-输出算法等，均是调整输入面的限制条件和(或)输出面的限制条件来改善相位分布和(或)改善设计性能，在此不一一叙述。

图16-22 引入局部替代函数获得连续相位分布

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