《每日一题》842. Split Array into Fibonacci Sequence 将数组拆分成斐波那契序列

给定一个数字字符串 S，比如 S = "123456579"，我们可以将它分成斐波那契式的序列 [123, 456, 579]。

形式上，斐波那契式序列是一个非负整数列表 F，且满足：

0 <= F[i] <= 2^31 - 1，（也就是说，每个整数都符合 32 位有符号整数类型）；
F.length >= 3；
对于所有的0 <= i < F.length - 2，都有 F[i] + F[i+1] = F[i+2] 成立。

另外，请注意，将字符串拆分成小块时，每个块的数字一定不要以零开头，除非这个块是数字 0 本身。

返回从 S 拆分出来的任意一组斐波那契式的序列块，如果不能拆分则返回 []。

示例 1：

输入："123456579"
输出：[123,456,579]

示例 2：

输入: "11235813"
输出: [1,1,2,3,5,8,13]

示例 3：

输入: "112358130"
输出: []
解释: 这项任务无法完成。

示例 4：

输入："0123"
输出：[]
解释：每个块的数字不能以零开头，因此 "01"，"2"，"3" 不是有效答案。

示例 5：

输入: "1101111"
输出: [110, 1, 111]
解释: 输出 [11,0,11,11] 也同样被接受。

提示：

1 <= S.length <= 200
字符串 S 中只含有数字。

回溯+剪枝

使用列表存储拆分出的数，回溯过程中维护该列表的元素，列表初始为空。遍历字符串的所有可能的前缀，作为当前被拆分出的数，然后对剩余部分继续拆分，直到整个字符串拆分完毕。

根据斐波那契式序列的要求，从第 333 个数开始，每个数都等于前 222 个数的和，因此从第 333 个数开始，需要判断拆分出的数是否等于前 222 个数的和，只有满足要求时才进行拆分，否则不进行拆分。

回溯过程中，还有三处可以进行剪枝操作。

拆分出的数如果不是 000，则不能以 000 开头，因此如果字符串剩下的部分以 000 开头，就不需要考虑拆分出长度大于 111 的数，因为长度大于 111 的数以 000 开头是不符合要求的，不可能继续拆分得到斐波那契式序列；
拆分出的数必须符合 323232 位有符号整数类型，即每个数必须在 [0,231−1][0,2^{31}-1][0,231−1] 的范围内，如果拆分出的数大于 231−12^{31}-1231−1，则不符合要求，长度更大的数的数值也一定更大，一定也大于 231−12^{31}-1231−1，因此不可能继续拆分得到斐波那契式序列；
如果列表中至少有 222 个数，并且拆分出的数已经大于最后 222 个数的和，就不需要继续尝试拆分了。

当整个字符串拆分完毕时，如果列表中至少有 333 个数，则得到一个符合要求的斐波那契式序列，返回列表。如果没有找到符合要求的斐波那契式序列，则返回空列表。

Python

class Solution:def splitIntoFibonacci(self, S: str) -> List[int]:def backtrack(index: int):if index == len(S):return len(ans) >= 3curr = 0for i in range(index, len(S)):if i > index and S[index] == "0":breakcurr = curr * 10 + ord(S[i]) - ord("0")if curr > 2 ** 31 - 1:breakif len(ans) < 2 or curr == ans[-2] + ans[-1]:ans.append(curr)if backtrack(i + 1):return Trueans.pop()elif len(ans) > 2 and curr > ans[-2] + ans[-1]:breakreturn Falseans = list()backtrack(0)return ans

复杂度分析

时间复杂度：O(nlog⁡2C)O(n \log^2 C)O(nlog2C)，其中 nnn 是字符串的长度，CCC 是题目规定的整数范围 231−12^{31}-1231−1。在回溯的过程中，实际上真正进行「回溯」的只有前 222 个数，而从第 333 个数开始，整个斐波那契数列是可以被唯一确定的，整个回溯过程只起到验证（而不是枚举）的作用。对于前 222 个数，它们的位数不能超过 ⌊log⁡10C⌋\lfloor \log_{10} C \rfloor⌊log10C⌋，那么枚举的空间为 O(log⁡2C)O(\log^2 C)O(log2C)；对于后面的所有数，回溯的过程是没有「分支」的，因此时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)，相乘即可得到总时间复杂度 O(nlog⁡2C)O(n \log^2 C)O(nlog2C)。
空间复杂度：O(n)O(n)O(n)，其中 nnn 是字符串的长度。除了返回值以外，空间复杂度主要取决于回溯过程中的递归调用层数，最大为 nnn。