台湾大学林轩田机器学习技法课程学习笔记5 -- Kernel Logistic Regression

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上节课我们主要介绍了Soft-Margin SVM，即如果允许有分类错误的点存在，那么在原来的Hard-Margin SVM中添加新的惩罚因子C，修正原来的公式，得到新的αnαn\alpha_n值。最终的到的αnαn\alpha_n有个上界，上界就是C。Soft-Margin SVM权衡了large-margin和error point之前的关系，目的是在尽可能犯更少错误的前提下，得到最大分类边界。本节课将把Soft-Margin SVM和我们之前介绍的Logistic Regression联系起来，研究如何使用kernel技巧来解决更多的问题。

Soft-Margin SVM as Regularized Model

先复习一下我们已经介绍过的内容，我们最早开始讲了Hard-Margin Primal的数学表达式，然后推导了Hard-Margin Dual形式。后来，为了允许有错误点的存在（或者noise），也为了避免模型过于复杂化，造成过拟合，我们建立了Soft-Margin Primal的数学表达式，并引入了新的参数C作为权衡因子，然后也推导了其Soft-Margin Dual形式。因为Soft-Margin Dual SVM更加灵活、便于调整参数，所以在实际应用中，使用Soft-Margin Dual SVM来解决分类问题的情况更多一些。

Soft-Margin Dual SVM有两个应用非常广泛的工具包，分别是Libsvm和Liblinear。 Libsvm和Liblinear都是国立台湾大学的Chih-Jen Lin博士开发的，Chih-Jen Lin的个人网站为：Welcome to Chih-Jen Lin’s Home Page

下面我们再来回顾一下Soft-Margin SVM的主要内容。我们的出发点是用ξnξn\xi_n来表示margin violation，即犯错值的大小，没有犯错对应的ξn=0ξn=0\xi_n=0。然后将有条件问题转化为对偶dual形式，使用QP来得到最佳化的解。

从另外一个角度来看，ξnξn\xi_n描述的是点(xn,yn)(xn,yn)(x_n,y_n) 距离yn(wTzn+b)=1yn(wTzn+b)=1y_n(w^Tz_n+b)=1的边界有多远。第一种情况是violating margin，即不满足yn(wTzn+b)≥1yn(wTzn+b)≥1y_n(w^Tz_n+b)\geq1。那么ξnξn\xi_n可表示为：ξn=1−yn(wTzn+b)>0ξn=1−yn(wTzn+b)>0\xi_n=1-y_n(w^Tz_n+b)>0。第二种情况是not violating margin，即点(xn,yn)(xn,yn)(x_n,y_n) 在边界之外，满足yn(wTzn+b)≥1yn(wTzn+b)≥1y_n(w^Tz_n+b)\geq1的条件，此时ξn=0ξn=0\xi_n=0。我们可以将两种情况整合到一个表达式中，对任意点：

ξn=max(1−yn(wTzn+b),0)ξn=max(1−yn(wTzn+b),0)

\xi_n=max(1-y_n(w^Tz_n+b),0)

上式表明，如果有voilating margin，则1−yn(wTzn+b)>01−yn(wTzn+b)>01-y_n(w^Tz_n+b)>0，ξn=1−yn(wTzn+b)ξn=1−yn(wTzn+b)\xi_n=1-y_n(w^Tz_n+b)；如果not violating margin，则1−yn(wTzn+b)<01−yn(wTzn+b)<01-y_n(w^Tz_n+b)，ξn=0ξn=0\xi_n=0。整合之后，我们可以把Soft-Margin SVM的最小化问题写成如下形式：

12wTw+C∑n=1Nmax(1−yn(wTzn+b),0)12wTw+C∑n=1Nmax(1−yn(wTzn+b),0)

\frac12w^Tw+C\sum_{n=1}^Nmax(1-y_n(w^Tz_n+b),0)

经过这种转换之后，表征犯错误值大小的变量ξnξn\xi_n就被消去了，转而由一个max操作代替。

为什么要将把Soft-Margin SVM转换为这种unconstrained form呢？我们再来看一下转换后的形式，其中包含两项，第一项是w的内积，第二项关于y和w，b，z的表达式，似乎有点像一种错误估计err^err^\hat{err}，则类似这样的形式：

min 12wTw+C∑err^min12wTw+C∑err^

min\ \frac12w^Tw+C\sum\hat{err}

看到这样的形式我们应该很熟悉，因为之前介绍的L2 Regularization中最优化问题的表达式跟这个是类似的：

min λNwTw+1N∑errminλNwTw+1N∑err

min\ \frac{\lambda}{N}w^Tw+\frac1N\sum err

这里提一下，既然unconstrained form SVM与L2 Regularization的形式是一致的，而且L2 Regularization的解法我们之前也介绍过，那么为什么不直接利用这种方法来解决unconstrained form SVM的问题呢？有两个原因。一个是这种无条件的最优化问题无法通过QP解决，即对偶推导和kernel都无法使用；另一个是这种形式中包含的max()项可能造成函数并不是处处可导，这种情况难以用微分方法解决。

我们在第一节课中就介绍过Hard-Margin SVM与Regularization Model是有关系的。Regularization的目标是最小化EinEinE_{in}，条件是wTw≤CwTw≤Cw^Tw\leq C，而Hard-Margin SVM的目标是最小化wTwwTww^Tw，条件是Ein=0Ein=0E_{in}=0，即它们的最小化目标和限制条件是相互对调的。对于L2 Regularization来说，条件和最优化问题结合起来，整体形式写成：

λNwTw+EinλNwTw+Ein

\frac{\lambda}{N}w^Tw+E_{in}

而对于Soft-Margin SVM来说，条件和最优化问题结合起来，整体形式写成：

12wTw+CNEin^12wTw+CNEin^

\frac12w^Tw+CN\hat{E_{in}}

通过对比，我们发现L2 Regularization和Soft-Margin SVM的形式是相同的，两个式子分别包含了参数λλ\lambda和C。Soft-Margin SVM中的large margin对应着L2 Regularization中的short w，也就是都让hyperplanes更简单一些。我们使用特别的err^err^\hat{err}来代表可以容忍犯错误的程度，即soft margin。L2 Regularization中的λλ\lambda和Soft-Margin SVM中的C也是相互对应的，λλ\lambda越大，w会越小，Regularization的程度就越大；C越小，Ein^Ein^\hat{E_{in}}会越大，相应的margin就越大。所以说增大C，或者减小λλ\lambda，效果是一致的，Large-Margin等同于Regularization，都起到了防止过拟合的作用。

建立了Regularization和Soft-Margin SVM的关系，接下来我们将尝试看看是否能把SVM作为一个regularized的模型进行扩展，来解决其它一些问题。

SVM versus Logistic Regression

上一小节，我们已经把Soft-Margin SVM转换成无条件的形式：

上式中第二项的max(1−yn(wTzn+b),0)max(1−yn(wTzn+b),0)max(1-y_n(w^Tz_n+b),0)倍设置为err^err^\hat{err}。下面我们来看看err^err^\hat{err}与之前再二元分类中介绍过的err0/1err0/1err_{0/1}有什么关系。

对于err0/1err0/1err_{0/1}，它的linear score s=wTzn+bs=wTzn+bs=w^Tz_n+b，当ys≥0ys≥0ys\geq0时，err0/1=0err0/1=0err_{0/1}=0；当ys<0ys<0ys时，err0/1=1err0/1=1err_{0/1}=1，呈阶梯状，如下图所示。而对于err^err^\hat{err}，当ys≥0ys≥0ys\geq0时，err0/1=0err0/1=0err_{0/1}=0；当ys<0ys<0ys时，err0/1=1−yserr0/1=1−yserr_{0/1}=1-ys，呈折线状，如下图所示，通常把err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}称为hinge error measure。比较两条error曲线，我们发现err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}始终在err0/1err0/1err_{0/1}的上面，则err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}可作为err0/1err0/1err_{0/1}的上界。所以，可以使用err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}来代替err0/1err0/1err_{0/1}，解决二元线性分类问题，而且err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}是一个凸函数，使它在最佳化问题中有更好的性质。

紧接着，我们再来看一下logistic regression中的error function。逻辑回归中，errsce=log2(1+exp(−ys))errsce=log2(1+exp(−ys))err_{sce}=log_2(1+exp(-ys))，当ys=0时，errsce=1errsce=1err_{sce}=1。它的err曲线如下所示。

很明显，errsceerrsceerr_{sce}也是err0/1err0/1err_{0/1}的上界，而errsceerrsceerr_{sce}与err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}也是比较相近的。因为当ys趋向正无穷大的时候，errsceerrsceerr_{sce}和err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}都趋向于零；当ys趋向负无穷大的时候，errsceerrsceerr_{sce}和err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}都趋向于正无穷大。正因为二者的这种相似性，我们可以把SVM看成是L2-regularized logistic regression。

总结一下，我们已经介绍过几种Binary Classification的Linear Models，包括PLA，Logistic Regression和Soft-Margin SVM。PLA是相对简单的一个模型，对应的是err0/1err0/1err_{0/1}，通过不断修正错误的点来获得最佳分类线。它的优点是简单快速，缺点是只对线性可分的情况有用，线性不可分的情况需要用到pocket算法。Logistic Regression对应的是errsceerrsceerr_{sce}，通常使用GD/SGD算法求解最佳分类线。它的优点是凸函数errsceerrsceerr_{sce}便于最优化求解，而且有regularization作为避免过拟合的保证；缺点是errsceerrsceerr_{sce}作为err0/1err0/1err_{0/1}的上界，当ys很小（负值）时，上界变得更宽松，不利于最优化求解。Soft-Margin SVM对应的是err^svmerr^svm\hat{err}_{svm}，通常使用QP求解最佳分类线。它的优点和Logistic Regression一样，凸优化问题计算简单而且分类线比较“粗壮”一些；缺点也和Logistic Regression一样，当ys很小（负值）时，上界变得过于宽松。其实，Logistic Regression和Soft-Margin SVM都是在最佳化err0/1err0/1err_{0/1}的上界而已。

至此，可以看出，求解regularized logistic regression的问题等同于求解soft-margin SVM的问题。反过来，如果我们求解了一个soft-margin SVM的问题，那这个解能否直接为regularized logistic regression所用？来预测结果是正类的几率是多少，就像regularized logistic regression做的一样。我们下一小节将来解答这个问题。

SVM for Soft Binary Classification

接下来，我们探讨如何将SVM的结果应用在Soft Binary Classification中，得到是正类的概率值。

第一种简单的方法是先得到SVM的解(bsvm,wsvm)(bsvm,wsvm)(b_{svm},w_{svm})，然后直接代入到logistic regression中，得到g(x)=θ(wTsvmx+bsvm)g(x)=θ(wsvmTx+bsvm)g(x)=\theta(w_{svm}^Tx+b_{svm})。这种方法直接使用了SVM和logistic regression的相似性，一般情况下表现还不错。但是，这种形式过于简单，与logistic regression的关联不大，没有使用到logistic regression中好的性质和方法。

第二种简单的方法是同样先得到SVM的解(bsvm,wsvm)(bsvm,wsvm)(b_{svm},w_{svm})，然后把(bsvm,wsvm)(bsvm,wsvm)(b_{svm},w_{svm})作为logistic regression的初始值，再进行迭代训练修正，速度比较快，最后，将得到的b和w代入到g(x)中。这种做法有点显得多此一举，因为并没有比直接使用logistic regression快捷多少。

这两种方法都没有融合SVM和logistic regression各自的优势，下面构造一个模型，融合了二者的优势。构造的模型g(x)表达式为：

g(x)=θ(A⋅(wTsvmΦ(x)+bsvm)+B)g(x)=θ(A⋅(wsvmTΦ(x)+bsvm)+B)

g(x)=\theta(A\cdot(w_{svm}^T\Phi(x)+b_{svm})+B)

与上述第一种简单方法不同，我们额外增加了放缩因子A和平移因子B。首先利用SVM的解(bsvm,wsvm)(bsvm,wsvm)(b_{svm},w_{svm})来构造这个模型，放缩因子A和平移因子B是待定系数。然后再用通用的logistic regression优化算法，通过迭代优化，得到最终的A和B。一般来说，如果(bsvm,wsvm)(bsvm,wsvm)(b_{svm},w_{svm})较为合理的话，满足A>0且B≈0B≈0B\approx0。

那么，新的logistic regression表达式为：

这个表达式看上去很复杂，其实其中的(bsvm,wsvm)(bsvm,wsvm)(b_{svm},w_{svm})已经在SVM中解出来了，实际上的未知参数只有A和B两个。归纳一下，这种Probabilistic SVM的做法分为三个步骤：

这种soft binary classifier方法得到的结果跟直接使用SVM classifier得到的结果可能不一样，这是因为我们引入了系数A和B。一般来说，soft binary classifier效果更好。至于logistic regression的解法，可以选择GD、SGD等等。

Kernel Logistic Regression

上一小节我们介绍的是通过kernel SVM在z空间中求得logistic regression的近似解。如果我们希望直接在z空间中直接求解logistic regression，通过引入kernel，来解决最优化问题，又该怎么做呢？SVM中使用kernel，转化为QP问题，进行求解，但是logistic regression却不是个QP问题，看似好像没有办法利用kernel来解决。

我们先来看看之前介绍的kernel trick为什么会work，kernel trick就是把z空间的内积转换到x空间中比较容易计算的函数。如果w可以表示为z的线性组合，即w∗=∑Nn=1βnznw∗=∑n=1Nβnznw_*=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n的形式，那么乘积项wT∗z=∑Nn=1βnzTnz=∑Nn=1βnK(xn,x)w∗Tz=∑n=1NβnznTz=∑n=1NβnK(xn,x)w_*^Tz=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n^Tz=\sum_{n=1}^N\beta_nK(x_n,x)，即其中包含了z的内积。也就是w可以表示为z的线性组合是kernel trick可以work的关键。

我们之前介绍过SVM、PLA包扩logistic regression都可以表示成z的线性组合，这也提供了一种可能，就是将kernel应用到这些问题中去，简化z空间的计算难度。

有这样一个理论，对于L2-regularized linear model，如果它的最小化问题形式为如下的话，那么最优解w∗=∑Nn=1βnznw∗=∑n=1Nβnznw_*=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n。

下面给出简单的证明，假如最优解w∗=w||+w⊥w∗=w||+w⊥w_*=w_{||}+w_{\bot}。其中，w||w||w_{||}和w⊥w⊥w_{\bot}分别是平行z空间和垂直z空间的部分。我们需要证明的是w⊥=0w⊥=0w_{\bot}=0。利用反证法，假如w⊥≠0w⊥≠0w_{\bot}\neq0，考虑w∗w∗w_*与w||w||w_{||}的比较。第一步先比较最小化问题的第二项：err(y,wT∗zn)=err(yn,(w||+w⊥)Tzn=err(yn,wT||zn)err(y,w∗Tzn)=err(yn,(w||+w⊥)Tzn=err(yn,w||Tzn)err(y,w_*^Tz_n)=err(y_n,(w_{||}+w_{\bot})^Tz_n=err(y_n,w_{||}^Tz_n)，即第二项是相等的。然后第二步比较第一项：wT∗w∗=wT||w||+2wT||w⊥+wT⊥w⊥>wT||w||w∗Tw∗=w||Tw||+2w||Tw⊥+w⊥Tw⊥>w||Tw||w_*^Tw_*=w_{||}^Tw_{||}+2w_{||}^Tw_{\bot}+w_{\bot}^Tw_{\bot}>w_{||}^Tw_{||}，即w∗w∗w_*对应的L2-regularized linear model值要比w||w||w_{||}大，这就说明w∗w∗w_*并不是最优解，从而证明w⊥w⊥w_{\bot}必然等于零，即w∗=∑Nn=1βnznw∗=∑n=1Nβnznw_*=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n一定成立，w∗w∗w_*一定可以写成z的线性组合形式。

经过证明和分析，我们得到了结论是任何L2-regularized linear model都可以使用kernel来解决。

现在，我们来看看如何把kernel应用在L2-regularized logistic regression上。上面我们已经证明了w∗w∗w_*一定可以写成z的线性组合形式，即w∗=∑Nn=1βnznw∗=∑n=1Nβnznw_*=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n。那么我们就无需一定求出w∗w∗w_*，而只要求出其中的βnβn\beta_n就行了。怎么求呢？直接将w∗=∑Nn=1βnznw∗=∑n=1Nβnznw_*=\sum_{n=1}^N\beta_nz_n代入到L2-regularized logistic regression最小化问题中，得到：

上式中，所有的w项都换成βnβn\beta_n来表示了，变成了没有条件限制的最优化问题。我们把这种问题称为kernel logistic regression，即引入kernel，将求w的问题转换为求βnβn\beta_n的问题。

从另外一个角度来看Kernel Logistic Regression（KLR）：

上式中log项里的∑Nm=1βmK(xm,xn)∑m=1NβmK(xm,xn)\sum_{m=1}^N\beta_mK(x_m,x_n)可以看成是变量ββ\beta和K(xm,xn)K(xm,xn)K(x_m,x_n)的内积。上式第一项中的∑Nn=1∑Nm=1βnβmK(xn,xm)∑n=1N∑m=1NβnβmK(xn,xm)\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^N\beta_n\beta_mK(x_n,x_m)可以看成是关于ββ\beta的正则化项βTKββTKβ\beta^TK\beta。所以，KLR是ββ\beta的线性组合，其中包含了kernel内积项和kernel regularizer。这与SVM是相似的形式。

但值得一提的是，KLR中的βnβn\beta_n与SVM中的αnαn\alpha_n是有区别的。SVM中的αnαn\alpha_n大部分为零，SV的个数通常是比较少的；而KLR中的βnβn\beta_n通常都是非零值。

总结

本节课主要介绍了Kernel Logistic Regression。首先把Soft-Margin SVM解释成Regularized Model，建立二者之间的联系，其实Soft-Margin SVM就是一个L2-regularization，对应着hinge error messure。然后利用它们之间的相似性，讨论了如何利用SVM的解来得到Soft Binary Classification。方法是先得到SVM的解，再在logistic regression中引入参数A和B，迭代训练，得到最佳解。最后介绍了Kernel Logistic Regression，证明L2-regularized logistic regression中，最佳解w∗w∗w_*一定可以写成z的线性组合形式，从而可以将kernel引入logistic regression中，使用kernel思想在z空间直接求解L2-regularized logistic regression问题。

注明：

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程

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