【HNOI2013】切糕

Sample Input

2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6

Sample Output

6

\(P,Q,R≤40，0≤D≤R\)

参考：https://blog.csdn.net/zarxdy34/article/details/45272055

经典的有距离限制的网络流模型。

首先我们不考虑高度限制。我们直接将图建\(r+1\)层，就是每个格子\((x,y)\)拆成\(r+1\)个点。将它们串成一串，第\(i\)层的向\(i+1\)层连边，第\(i\)条边的容量就是\(v_{x,y,i}\)。然后源点向第\(1\)层的连边，第\(r+1\)层的向汇点连边。最小割就是答案。

考虑怎么将距离限制表示出来。对于所有的格子\((x,y)\)，假设是第\(k\)层的图，那么我们向第\(k-d\)层的\((x,y)\)周围的点连\(\infty\)的边。

考虑这么做的合法性。两个相邻的格子\((x,y),(x',y')\)，如果我们选了\(v_{x,y,k}\)，也就是割断了第\(k\)层\((x,y)\)连出去的边，那么\((x',y')\)选的高度\(k'\)要\(\geq k-D\)。如果\((x',y')\)割断了\(k-D\)以下的边，那么\((x,y)\)和\((x',y')\)之间\(\infty\)的边就会实源点和汇点连通。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 45using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}const int V=N*N*N;
int n,m,r;
int D;
int v[N][N][N];
int id[N][N];
struct road {int to,next;int flow;
}s[V<<3];
int h[V],cnt=1;
void add(int i,int j,int f) {s[++cnt]=(road) {j,h[i],f};h[i]=cnt;s[++cnt]=(road) {i,h[j],0};h[j]=cnt;
}
int dx[]={-1,1,0,0},dy[]={0,0,-1,1};int S,T;
int dis[V];
queue<int>q;
bool bfs() {memset(dis,0x3f,sizeof(dis));q.push(S);dis[S]=0;while(!q.empty()) {int v=q.front();q.pop();for(int i=h[v];i;i=s[i].next) {int to=s[i].to;if(s[i].flow&&dis[to]>dis[v]+1) {dis[to]=dis[v]+1;q.push(to);}}}return dis[T]<1e9;
}int dfs(int v,int maxf) {if(v==T) return maxf;int ret=0;for(int i=h[v];i;i=s[i].next) {int to=s[i].to;if(s[i].flow&&dis[to]==dis[v]+1) {int dlt=dfs(to,min(maxf,s[i].flow));s[i].flow-=dlt;s[i^1].flow+=dlt;ret+=dlt;maxf-=dlt;if(!maxf) return ret;}}return ret;
}int dinic() {int ans=0;while(bfs()) {while(1) {int tem=dfs(S,1e9);if(!tem) break;ans+=tem;}}return ans;
}int main() {n=Get(),m=Get(),r=Get();D=Get();for(int k=1;k<=r;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)v[i][j][k]=Get();int tot=n*m;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)id[i][j]=(i-1)*m+j;T=(r+1)*tot+1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)add(S,id[i][j],1e9),add(id[i][j]+r*tot,T,1e9);for(int k=1;k<=r;k++) {for(int i=1;i<=n;i++) {for(int j=1;j<=m;j++) {add((k-1)*tot+id[i][j],k*tot+id[i][j],v[i][j][k]);if(k>D) {int nxt=k-D;for(int d=0;d<4;d++) {int a=i+dx[d],b=j+dy[d];if(a<1||a>n||b<1||b>m) continue ;add((k-1)*tot+id[i][j],(nxt-1)*tot+id[a][b],1e9);}}}}}cout<<dinic();return 0;
}