整数的故事

整数，大家再熟悉不过的东西。可是，一旦考虑上面的运算，事情就没有单纯了。整数的运算性质一直是数论的核心兴趣所在。素数，不定方程都是在运算的基础上进行考虑的。高斯的时代，人们考虑用多项式表达整数，比如x2+y2=nx^2+y^2=nx2+y2=n，当nnn为何值时，这个方程有整数解，解集又是什么。如果继续解方程和因式分解是一回事的思想，考虑将左边进行分解x2+y2=(x+iy)(x−iy)x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)x2+y2=(x+iy)(x−iy)，高斯引入高斯整数环Z[i]\mathbb{Z}[i]Z[i]，这样问题从Z\mathbb{Z}Z转移到了Z[i]\mathbb{Z}[i]Z[i]。如果我们探讨清楚了Z[i]\mathbb{Z}[i]Z[i]的分解性质，方程就容易解了。

继续思考，我们引入iii，是因为iii是x2+1=0x^2+1=0x2+1=0的根。我们考察一般的方程xn+an−1xn−1+⋯+a0=0x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0xn+an−1xn−1+⋯+a0=0，注意这里我们的首项系数是1，如果不是1的话，就势必要引入除法，就无法继续在整数的范围内考虑问题了。我们称这种方程的根为代数整数。在整数中加入代数整数，得到新的环，分析新环的唯一因子分解性质，有助于我们解不定方程。

Noether正规化引理

在研究域的扩张时，我们知道对于域的有限生成扩张E/FE/FE/F，我们可以找到FFF上代数无关的元素x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn使得E/F(x1,⋯,xn)E/F(x_1,\cdots,x_n)E/F(x1,⋯,xn)为代数扩张。

如果想把域的这个结果移到环上面，就是这样子的：对于环的有限生成扩张R/SR/SR/S，我们可以找到SSS上代数无关的元素x1,⋯,xnx_1,\cdots,x_nx1,⋯,xn使得R/S[x1,⋯,xn]R/S[x_1,\cdots,x_n]R/S[x1,⋯,xn]为代数扩张。

如果我们想把代数扩张的结论加强为整扩张，就需要S=kS=kS=k为域。此时我们得到所谓的Noether正规化引理。

零点定理弱形式

首先我们看看什么是零点定理的弱形式。设kkk为域，RRR为有限生成kkk代数，如果RRR为域，则RRR为kkk的代数扩域。

利用Noether正规化引理，得到

k↪k[t1,⋯,tn]↪Rk\hookrightarrow k[t_1,\cdots,t_n]\hookrightarrow Rk↪k[t1,⋯,tn]↪R

中间的代数为多项式环，后面的这个扩张为整扩张。

下面就是整扩张发挥作用的地方了。整扩张具有保持良好性质的能力。设R/SR/SR/S为整环之间的整扩张，RRR为域当且仅当SSS为域。事实上，如果SSS为域，任意x∈R−Sx\in R-Sx∈R−S，因为RRR为整环，存在方程

xn+an−1xn−1+⋯+a0=0,a0≠0x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0,a_0\neq 0xn+an−1xn−1+⋯+a0=0,a0=0

于是 x(−a0−1)(xn−1+an−1xn−2+⋯+a1)=1x(-a_0^{-1})(x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots + a_1)=1x(−a0−1)(xn−1+an−1xn−2+⋯+a1)=1。

反过来，如果RRR为域，任意x∈S−{0}x\in S-\{0\}x∈S−{0}，x−1∈Rx^{-1}\in Rx−1∈R在SSS上整，于是
x−n+an−1x−n+1+⋯+a0=0,a0≠0x^{-n}+a_{n-1}x^{-n+1}+\cdots+a_0=0,a_0\neq 0x−n+an−1x−n+1+⋯+a0=0,a0=0
于是x−1+an−1x+⋯+a0xn−1=0x^{-1}+a_{n-1}x+\cdots+a_0x^{n-1}=0x−1+an−1x+⋯+a0xn−1=0，x−1∈Sx^{-1}\in Sx−1∈S。

利用这个结果，我们有k[t1,⋯,tn]k[t_1,\cdots,t_n]k[t1,⋯,tn]为域，因此k[t1,⋯,tn]=kk[t_1,\cdots,t_n]=kk[t1,⋯,tn]=k，从而RRR为kkk的代数扩域。

下面我们来说一下为什么这个定理称为是零点定理的弱形式。R=k[x1,⋯,xn]R=k[x_1,\cdots,x_n]R=k[x1,⋯,xn]，如果RRR为域，则kkk代数同态：
ϕ:k[t1,⋯,tn]→R:ti↦xi\phi:k[t_1,\cdots,t_n]\rightarrow R: t_i\mapsto x_iϕ:k[t1,⋯,tn]→R:ti↦xi

的核为极大理想。而上面的结论说明xix_ixi是kkk上的代数元，因而存在fi∈k[t]f_i\in k[t]fi∈k[t]使得fi(xi)=0f_i(x_i)=0fi(xi)=0，因而fi(ti)∈Kerϕf_i(t_i)\in Ker\ \phifi(ti)∈Ker ϕ。考虑多项式环S=k[t1,⋯,tn]S=k[t_1,\cdots,t_n]S=k[t1,⋯,tn]的任意极大理想mmm，令R=S/mR=S/mR=S/m，则m=Kerϕm=Ker\ \phim=Ker ϕ。由此，我们可以得知多项式环k[t1,⋯,tn]k[t_1,\cdots,t_n]k[t1,⋯,tn]的任意极大理想中包含有k[ti]k[t_i]k[ti]中的非零元素。

如果kkk为代数闭域，fi(ti)f_i(t_i)fi(ti)必然还可以取成不可约多项式ti−ait_i-a_iti−ai，因而
m⊃(x1−a1,⋯,xn−an)m\supset (x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)m⊃(x1−a1,⋯,xn−an)，另一方面，通过替换变量知道(x1−a1,⋯,xn−an)(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)(x1−a1,⋯,xn−an)为极大理想，从而k[t1,⋯,tn]k[t_1,\cdots,t_n]k[t1,⋯,tn]的极大理想形如(x1−a1,⋯,xn−an)(x_1-a_1,\cdots,x_n-a_n)(x1−a1,⋯,xn−an)。

有了这个弱形式，我们来看Hilbert零点定理。设kkk为代数闭域，I⊲k[t1,⋯,tn]I\lhd k[t_1,\cdots,t_n]I⊲k[t1,⋯,tn]，则I(V(I))=II(V(I))=\sqrt II(V(I))=I，也就是说仿射簇的零化多项式都在根理想中。

设I=(f1,⋯,fm)I=(f_1,\cdots,f_m)I=(f1,⋯,fm)，fff为零化多项式，则V(f1,⋯,fm,1−Tf)=∅⊂kn+1V(f_1,\cdots,f_m,1-Tf)=\empty\subset k^{n+1}V(f1,⋯,fm,1−Tf)=∅⊂kn+1。根据上面关于极大理想的形式，我们知道必然有(f1,⋯,fm,1−Tf)=k[t1,⋯,tn,T](f_1,\cdots,f_m,1-Tf)=k[t_1,\cdots,t_n,T](f1,⋯,fm,1−Tf)=k[t1,⋯,tn,T]，从而
a1(t,T)f1+⋯+am(t,T)fm+a(t,T)(1−Tf)=1a_1(t,T)f_1+\cdots+a_m(t,T)f_m+a(t,T)(1-Tf)=1a1(t,T)f1+⋯+am(t,T)fm+a(t,T)(1−Tf)=1

取T=1fT=\frac{1}{f}T=f1，于是fr∈(f1,⋯,fm)f^r\in (f_1,\cdots,f_m)fr∈(f1,⋯,fm)，即f∈If\in \sqrt{I}f∈I。

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