【PBR理论】第2讲 BRDF理想漫反射（Diffuse）

针对渲染方程中的BxDF（参考：【PBR理论】第1讲渲染方程概述），我们本节讨论BxDF中的BRDF的理想模型漫反射。

$L_o=\int _\Omega f_r\cdot L_i\cdot (\omega _i\cdot n)\cdot d\omega _i$

针对漫反射来说：

$f_r=\frac{albedo}{\pi }$ ，其中 $albedo$ 可以是材质的颜色。而为什么要除以一个 $\pi$ 呢。

首先我们来做一个假设，假设入射光分布在该点的所有方向上且亮度相同，且此时 $f_r$ 和 $L_i$ 都是常数，则：

$L_o=f_r\cdot L_i \int _\Omega (\omega _i\cdot n)\cdot d\omega _i=f_r\cdot L_i \int _\Omega cos\theta _i\cdot d\omega _i$ ，注意该 $\theta$ 是入射光与受光面法线的夹角。

上述是立体角积分（参考：【数学】立体角，积分求球的表面积、体积）

$L_o$ 式中的 $\int_ {\Omega }cos\theta _i\cdot d\omega _i=\int_{0}^{\frac{\pi }{2} }cos\theta _i sin\theta_id \theta \int_ {0}^{2\pi }d\varphi =2\pi \int_{0}^{1}sin\theta_idsin\theta_i=2\pi\int_ {0}^{1}xdx$

其结果显然为 $\pi$ ，以上的象限为何取 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 是因为光线入射时，在上半球是有效的，在下半球是物体被面。

则：

$L_o=\pi \cdot f_r\cdot L_i$

此时我们考虑一下，倘若每个方向上的光强度都为都为 $\L_i$ ，那么半球表面的入射光亮度（也即穿过半球的光通量之和）显然为 $L_I$ = $L_i*$ 半球表面积= $2\pi L_i$

每个方向上我们计算出的出射光强是 $L_o$ ，则半球的出射光强 $L_R=2\pi\cdot L_o=2\pi\cdot \pi f_r L_i$

由于能量守恒，则入射光通量=出射光通量，则 $L_I=L_R$

则得： $f_r=\frac{1}{\pi}$

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