【SDOI2008】Sue的小球

Description

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。
然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：
以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。
一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。
现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

Input

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。
第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。
第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。
第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

Output

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

Sample Input

Sample Output

0.000

Hint

N<=20，对于30%的数据。
N<=100，对于100%的数据。
-10^4 <= xi,yi,vi <= 10^4，对于100%的数据。

【分析】

显然，Sue没浪费一单位时间，所有他没有接到的彩蛋都会损失一定的分数。
设
a[n]表示Sue起始点左边的所有点距Sue的距离，按从小到大排序；
b[m]表示Sue起始点右边的所有点距Sue的距离，按从小到大排序。
Sum_a[i]表示一单位时间a数组中前i个彩蛋损失的分数的前缀和；
Sum_b[i]表示一单位时间b数组中前i个彩蛋损失的分数的前缀和。

用动态规划解决此题：
设状态为f[i][j][k]表示Sue的起始点左边收集了i个彩蛋，右边收集了j个彩蛋，并且最终停留在位置k（k=0表示停在左边i位置上，k=1表示停在右边j位置上）时最小的损失。
状态转移方程为：
f[i][j][0] = min{
f[i-1][j][0] + (a[i]-a[i-1])*(Sum_a[n]-Sum_a[i-1]+Sum_b[m]-Sum_b[j]),
　　　 f[i-1][j][1] + (a[i]+b[j])*(Sum_a[n]-Sum[i-1]+Sum_b[m]-Sum_b[j]
}
f[i][j][1] = min{
f[i][j-1][1] + (b[j]-b[j-1])*(Sum_a[n]-Sum_a[i]+Sum_b[m]-Sum_b[j-1],
f[i][j-1][0] + (a[i]+b[j])*(Sum_a[n]-Sum_a[i]+Sum_b[m]-Sum_b[j-1])
}
最后的结果即为初始分数减去min{f[n][m][0], f[n][m][1]}

【代码】

/*ID:CiocioLANG:C++DATE:2013-11-30TASK:SDOI 2008 Sue
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>using namespace std;#define MAXN 1005
#define INF 999999999struct node{int x,sum;friend bool operator<(const node &A,const node &B){return A.x<B.x;}
};
node A[MAXN],B[MAXN];
int N,x0,f[MAXN][MAXN][2],x[MAXN],y[MAXN],v[MAXN];
int n,m,tot;void _init()
{scanf("%d%d",&N,&x0);for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&x[i]);for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&y[i]),tot+=y[i];for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&v[i]);for(int i=1;i<=N;i++){if(x[i]<x0)    //前面的放入结构体A{n++;A[n].x=x0-x[i];A[n].sum=v[i];} else if(x[i]>x0)   //后面的放入B{m++;B[m].x=x[i]-x0;B[m].sum=v[i];}}sort(A+1,A+n+1);sort(B+1,B+m+1); //排序for(int i=1;i<=n;i++)         //求出代价的前缀和A[i].sum+=A[i-1].sum;for(int i=1;i<=m;i++) B[i].sum+=B[i-1].sum;
}void _solve()
{for(int i=1;i<=n;i++)   //边界{f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+(A[i].x-A[i-1].x)*(B[m].sum+A[n].sum-A[i-1].sum);f[i][0][1]=f[i][0][0]+A[i].x*(B[m].sum+A[n].sum-A[i].sum);}for(int i=1;i<=m;i++){f[0][i][1]=f[0][i-1][1]+(B[i].x-B[i-1].x)*(A[n].sum+B[m].sum-B[i-1].sum);f[0][i][0]=f[0][i][1]+B[i].x*(A[n].sum+B[m].sum-B[i].sum);}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)    //DP{int delta1=A[n].sum-A[i-1].sum+B[m].sum-B[j].sum;int delta2=A[n].sum-A[i].sum+B[m].sum-B[j-1].sum;f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+(A[i].x-A[i-1].x)*delta1,f[i-1][j][1]+(A[i].x+B[j].x)*delta1);f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(A[i].x+B[j].x)*delta2,f[i][j-1][1]+(B[j].x-B[j-1].x)*delta2);}printf("%.3lf\n",(double)(tot-min(f[n][m][0],f[n][m][1]))/1000.0);
}int main()
{_init();_solve();return 0;
}

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