一、推导步骤

已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)ax^2 + bx + c = 0(a\neq0,b^2-4ac\geq0)ax2+bx+c=0(a=0,b2−4ac≥0)，求方程的两实根。初中时，我们学了一种求解一元二次方程根的方法——配方法，这里不再赘述。今天，讲解一种极简新解法，该方法是美国奥数总教头、卡耐基梅隆数学大学教授罗博深（Po-Shen Loh）于2019年12月16日发表的一篇论文(A Simple Proof of the Quadratic Formula)里采用的方法。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)ax^2 + bx + c = 0(a\neq0,b^2-4ac\geq0)ax2+bx+c=0(a=0,b2−4ac≥0)，我们可以将二次项系数化为1得：
x2+Bx+C=0(1)x^2 + Bx + C = 0 \tag 1x2+Bx+C=0(1)
其中，B=b/a,C=c/aB=b/a,C=c/aB=b/a,C=c/a
设R,SR,SR,S为方程(1)的两实根，则方程左边可因数分解为：
x2+Bx+C=(x−R)(x−S)(2)x^2 + Bx + C = (x-R)(x-S) \tag 2x2+Bx+C=(x−R)(x−S)(2)
由于：
(x−R)(x−S)=x2−(R+S)x+RS(3)(x-R)(x-S)=x^2-(R+S)x+RS \tag 3(x−R)(x−S)=x2−(R+S)x+RS(3)
故有：(其实就是韦达定理)
R+S=−B(4)R+S=-B \tag 4R+S=−B(4)
RS=C(5)RS=C \tag 5RS=C(5)
由于R+S=−BR+S=-BR+S=−B，故有：(关键所在)
{R=−B/2+zS=−B/2−z(6)\begin{cases} R=-B/2+z \\ S = -B/2 - z \\ \tag 6 \end{cases} {R=−B/2+zS=−B/2−z(6)
根据式(5)和式(6)，得：
RS=(−B/2−z)(−B/2+z)=C(7)RS= (-B/2 - z) (-B/2+z)=C\tag 7RS=(−B/2−z)(−B/2+z)=C(7)
可解得：
z=±B2/4−C(8)z=\pm\sqrt{B^2/4-C}\tag 8z=±B2/4−C(8)
根据式(6)和式(8)，方程(1)的两个实根为：
x=−B/2±B2/4−C(9)x=-B/2\pm\sqrt{B^2/4-C}\tag 9x=−B/2±B2/4−C(9)
将B=b/a,C=c/aB=b/a,C=c/aB=b/a,C=c/a代入上式，整理可得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)ax2+bx+c=0(a=0)的两实根：
x=−b±b2−4ac2a(10)x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \tag {10}x=2a−b±b2−4ac(10)

二、总结

罗教授的方法的本质上是韦达定理。亮点在于：根据方程两个实根之和满足关系R+S=−BR+S=-BR+S=−B，引入任意未知量zzz，并将RRR和SSS分别写成R=−B/2+zR=-B/2+zR=−B/2+z和S=−B/2−zS = -B/2 - zS=−B/2−z，再根据方程两个实根之积满足关系RS=CRS=CRS=C，解得zzz。相比配方法，该方法更加巧妙，更加容易理解，可以很快推导得出。

三、参考文献

A Simple Proof of the Quadratic Formula. Po-Shen Loh

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一元二次方程极简新解法

文章目录

一、推导步骤

二、总结

三、参考文献

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