一、泊松分布

泊松分布和二项分布有密切的联系。下为泊松分布的来源：

交通部门对一个十字路口一天内发生车祸的情况做研究，经过大量的统计和观察，该路口一天平均发生车祸的次数为λ\lambdaλ次。假设某天交通部门发现路口发生了k次车祸，问该事件出现的可能性多大？

我们将一天分成n段等份，对于每一个区间，发生车祸的概率为λ\lambdaλ/n，那么从n段中选k段发生车祸，其余部分不发生车祸即可，其满足二项分布，概率计算为：

P(X=k)=Cnk(λn)k(1−λn)n−kP(X=k)=C^k_n(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}P(X=k)=Cnk(nλ)k(1−nλ)n−k

当n趋于无穷时，该式可化简为：

光学成像的过程可以看作泊松分布。对于单个像素来说，在曝光时间内，平均来说会有λ\lambdaλ个光子被这个像素采集到，那么这个像素实际采集到的光子数X即满足泊松分布。

二、高尔顿钉板

红色小球撞到黑色钉子时以等概率的形式向两边分散开，已知钉板最下方的小球分布如下，问一共向小孔中扔了多少个小球？

       很简单啊，把下面所有球都加起来就行了。但是如果有两个小孔呢?是不是有点懵了。

       那干脆瞎蒙一个好了，左边孔扔了20个，右边孔扔了3个。乍一看也不是不可能，但是总感觉怪怪的，明明右边小球多一点啊，肯定是右边的孔扔的多。为什么会有这种想法呢？这里其实隐含了极大似然估计的思想，即由果推因，看看最可能是什么样的因造成了这种果。
       此外，我们还可以发现，正是高尔顿钉板的作用，使得红色小球出现的概率具有了一定的空间分布。

三、极大似然估计

已知盒子里有黑球和白球共100个，有放回的从盒子里摸了10个球，统计结果发现有8个白球2个黑球，问盒子里白球最可能有多少个？

设盒子里有白球x个为事件X，是因，摸10个球有白球y个为事件Y，是果。根据贝叶斯公式，当摸出来y个白球时，盒子里实际上有白球x个满足的概率为：

P(X∣Y)=P(Y∣X)P(X)P(Y)=P(Y∣X)P(X)∑i=0100P(Y∣X=i)P(X=i)P(X|Y) = \frac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)} = \frac{P(Y|X)P(X)}{\sum_{i=0}^{100}P(Y|X=i)P(X=i)}P(X∣Y)=P(Y)P(Y∣X)P(X)=∑i=0100P(Y∣X=i)P(X=i)P(Y∣X)P(X)

若已知X，我们可以求得Y，即：
P(Y∣X)=C10y(100−x100)10−y(x100)yP(Y|X) = C_{10}^y(\frac{100-x}{100})^{10-y}(\frac{x}{100})^yP(Y∣X)=C10y(100100−x)10−y(100x)y

当我们对白球可能的取值没有任何先验知识时，可以认为P(X=x)=1100P(X=x)=\frac{1}{100}P(X=x)=1001，即白球取值是等可能分布的，再代入y=8y=8y=8，
计算可以发现P(X)P(X)P(X)和P(Y)P(Y)P(Y)都是常数，因此：

P(X∣Y)∝P(Y∣X)=C108(100−x100)2(x100)8∝x8(100−x)2P(X|Y) \propto P(Y|X) = C_{10}^8(\frac{100-x}{100})^2(\frac{x}{100})^8 \propto x^8(100-x)^2P(X∣Y)∝P(Y∣X)=C108(100100−x)2(100x)8∝x8(100−x)2

我们最大化这个概率，即完成了极大似然估计：

maxP(X∣Y)=min[−ln(P(X∣Y))]=min(−8lnx−2ln(100−x))max\,P(X|Y) = min [-ln(P(X|Y))] = min\,(-8lnx-2ln(100-x))maxP(X∣Y)=min[−ln(P(X∣Y))]=min(−8lnx−2ln(100−x))

令一阶导数为0，可以求得x=80，即盒子里最可能有80个白球，这也符合我们的直观感受。

四、RL滤波

图像去模糊的模型：

y=k∗x+n\textbf{y} = \textbf{k} * \textbf{x} + \textbf{n}y=k∗x+n

模糊核的作用和高尔顿钉板的作用十分类似，即原本入射到像素位置(i, j)处的光子，却不一定会最终被这个像素采集到，也可能出现在周围的区域，出现的概率就是模糊核在该点处的值。
如果我们已知原始的清晰图像x\textbf{x}x和模糊核k\textbf{k}k，我们可以大概估计出成像的结果将会是什么样的，即观测到的图像应该是：

y‾=k∗x\overline{\textbf{y}} = \textbf{k} * \textbf{x}y=k∗x

这个过程正像是我们已知向两个孔里面各扔了多少个球，通过高尔顿钉板的作用算出了下面每个盒子里应该会有多少个球，算出来的结果实际上就是泊松分布的平均值λ\lambdaλ。但这是我们预估的结果，不代表实际的结果，实际上我们观测到的果是y\textbf{y}y，那么在这个果下，最可能的因x\textbf{x}x应该是什么呢？我们通过贝叶斯公式求解：

P(x∣y)=P(y∣x)P(x)P(y)P(\textbf{x}|\textbf{y}) = \frac{P(\textbf{y}|\textbf{x})P(\textbf{x})}{P({\textbf{y}})}P(x∣y)=P(y)P(y∣x)P(x)

在没有先验知识的前提下，P(x)P(\textbf{x})P(x)可以认为是常数，因此：

P(x∣y)∝P(y∣x)P(\textbf{x}|\textbf{y}) \propto P(\textbf{y}|\textbf{x})P(x∣y)∝P(y∣x)

成像过程满足泊松分布，模糊图像各个像素的取值认为是相互独立的，因此：

P(y∣x)=∏i,j(y‾yy!exp(−y‾))=∏i,j((k∗x)yy!exp(−k∗x))P(\textbf{y}|\textbf{x}) = \prod_{i,j} (\frac{\overline{\textbf{y}}^{\textbf{y}}}{\textbf{y}!}exp(-\overline{\textbf{y}})) = \prod_{i,j}(\frac{(\textbf{k}*\textbf{x})^{\textbf{y}}}{\textbf{y}!}exp(-\textbf{k}*\textbf{x}))P(y∣x)=∏i,j(y!yyexp(−y))=∏i,j(y!(k∗x)yexp(−k∗x))

我们就可以求一阶导数了，后续的求解过程可以见参考文献。

六、参考文献

泊松分布维基百科
后续推导

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