【组合数学】多项式定理 ( 多项式定理 | 多项式定理证明 | 多项式定理推论 1 项数是非负整数解个数 | 多项式定理推论 2 每项系数之和 )
文章目录
- 一、多项式定理
- 二、多项式定理 证明
- 三、多项式定理 推论 1
- 四、多项式定理 推论 2
一、多项式定理
多项式定理 :
设 nnn 为正整数 , xix_ixi 为实数 , i=1,2,⋯,ti=1,2,\cdots,ti=1,2,⋯,t
(x1+x2+⋯+xt)n\ \ \ \ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n (x1+x2+⋯+xt)n
=∑满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数(nn1n2⋯nt)x1n1x2n2⋯xtnt= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}=满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数∑(n1n2⋯ntn)x1n1x2n2⋯xtnt
上述多项式有 ttt 个项 , 这 ttt 项相加的 nnn 次方 ;
二、多项式定理 证明
多项式中 (x1+x2+⋯+xt)n(x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n(x1+x2+⋯+xt)n :
分步进行如下处理 :
第 111 步 : 从 nnn 个因式中 , 选 n1n_1n1 个因式 , 每个因式贡献 111 个 x1x_1x1 , 总共贡献 n1n_1n1 个 x1x_1x1 , 选取方法有 (nn1)\dbinom{n}{n_1}(n1n) 种 ;
第 222 步 : 从 n−n1n-n_1n−n1 个因式中 , 选 n2n_2n2 个因式 , 每个因式贡献 111 个 x2x_2x2 , 总共贡献 n2n_2n2 个 x2x_2x2 , 选取方法有 (n−n1n2)\dbinom{n-n_1}{n_2}(n2n−n1) 种 ;
⋮\vdots⋮
- 第 ttt 步 : 从 n−n1−n2−⋯−nt−1n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}n−n1−n2−⋯−nt−1 个因式中, 选 ntn_tnt 个因式 , 每个因式贡献 111 个 xtx_txt , 总共贡献 ntn_tnt 个 xtx_txt , 选取方法有 (n−n1−n2−⋯−nt−1nt)\dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t}(ntn−n1−n2−⋯−nt−1) 种 ;
根据分步计数原理 , 乘法法则 , 将上面每步的种类个数相乘 , 就是所有的种类个数 :
(nn1)(n−n1n2)(n−n1−n2−⋯−nt−1nt)\ \ \ \ \dbinom{n}{n_1} \dbinom{n-n_1}{n_2} \dbinom{n-n_1-n_2 - \cdots -n_{t-1}}{n_t} (n1n)(n2n−n1)(ntn−n1−n2−⋯−nt−1)
展开后 , 很多都可以约掉 , 最终得到 :
=n!n1!n2!⋯nt!=\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_t!}=n1!n2!⋯nt!n!
注意上面的式子是多重集的全排列数
=(nn1n2⋯nt)=\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}=(n1n2⋯ntn)
三、多项式定理 推论 1
多项式定理 推论 1 :
上述多项式定理中 , 不同的项数 是方程
n1+n2+⋯+nt=nn_1 + n_2 + \cdots + n_t = nn1+n2+⋯+nt=n
非负整数解个数 C(n+t−1,n)C(n + t -1 , n)C(n+t−1,n)
证明过程 :
1 . 每一项之前的系数 (nn1n2⋯nt)\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}(n1n2⋯ntn) 含义 :
n1n_1n1 代表 x1x_1x1 的指数 , n1n_1n1 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了 x1x_1x1
n2n_2n2 代表 x2x_2x2 的指数 , n2n_2n2 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了 x2x_2x2
⋮\vdots⋮
- ntn_tnt 代表 xtx_txt 的指数 , ntn_tnt 相当于有多少个式子 , 在相乘的时候 , 取了 xtx_txt
2 . 一一对应关系 :
n1,n2,⋯,ntn_1, n_2, \cdots , n_tn1,n2,⋯,nt 的一组不同的选择 , 相当于
n1+n2+⋯+nt=nn_1 + n_2 + \cdots + n_t = nn1+n2+⋯+nt=n
的一个解 , 对应了不同的 x1,x2,⋯,xnx_1 , x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 之前的项 ;
三个对应关系 :
不同的解 , n1,n2,⋯,ntn_1, n_2, \cdots , n_tn1,n2,⋯,nt 配置不一样 , 这些项 不同的配置个数 ,
相当于 n1+n2+⋯+nt=nn_1 + n_2 + \cdots + n_t = nn1+n2+⋯+nt=n 的非负整数解个数 ,
又等同于 多项式 展开后的 项的个数 ;
因此求出 n1+n2+⋯+nt=nn_1 + n_2 + \cdots + n_t = nn1+n2+⋯+nt=n 的非负整数解个数 ,
就对应了 n1,n2,⋯,ntn_1, n_2, \cdots , n_tn1,n2,⋯,nt 不同配置的个数 ,
对应了 多项式展开后项的个数 ,
结果是 C(n+t−1,n)C(n + t -1 , n)C(n+t−1,n)
该数还是多重集的组合数
推导过程 参考多重集组合问题 :
多重集 :
S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak},0≤ni≤+∞S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\inftyS={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}, 0≤ni≤+∞
取 rrr 种元素的组合 , r≤nir \leq n_ir≤ni , 推导过程如下 :
在 kkk 种元素中 , 取 rrr 种元素 , 每种元素取 0∼r0 \sim r0∼r 个不等的元素 ,
使用 k−1k-1k−1 个分割线分割 kkk 种元素的位置 , k−1k - 1k−1 个分割线相当于组成了 kkk 个盒子 , 在每个盒子中放 0∼r0 \sim r0∼r 个不等的元素 ,
放置的总元素的个数是 rrr 个 , 分割线个数是 k−1k-1k−1 个 , 这里就产生了一个组合问题 , 在 k−1k-1k−1 个分割线 和 rrr 个元素之间 , 选取 rrr 个元素 , 就是 多重集的 r≤nir \leq n_ir≤ni 情况下的 组合个数 ;
结果是 :
N=C(k+r−1,r)N= C(k + r - 1, r)N=C(k+r−1,r)
参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
四、多项式定理 推论 2
多项式定理 推论 3 :
∑(nn1n2⋯nt)=tn\sum\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t} = t^n∑(n1n2⋯ntn)=tn
证明过程 :
多项式定理中
(x1+x2+⋯+xt)n\ \ \ \ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n (x1+x2+⋯+xt)n
=∑满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数(nn1n2⋯nt)x1n1x2n2⋯xtnt= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}=满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数∑(n1n2⋯ntn)x1n1x2n2⋯xtnt
如果将 x1=x2=⋯=xt=1x_1 = x_2 = \cdots = x_t = 1x1=x2=⋯=xt=1 ,
就可以得到
(1+1+⋯+1)n\ \ \ \ (1 + 1 + \cdots + 1)^n (1+1+⋯+1)n
=∑满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数(nn1n2⋯nt)1n11n2⋯1nt= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}1^{n_1}1^{n_2}\cdots 1^{n_t}=满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数∑(n1n2⋯ntn)1n11n2⋯1nt
=∑满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数(nn1n2⋯nt)= \sum\limits_{满足 n_1 + n_2 + \cdots + n_t = n 非负整数解个数}\dbinom{n}{n_1 n_2 \cdots n_t}=满足n1+n2+⋯+nt=n非负整数解个数∑(n1n2⋯ntn)
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