前言

对于判断是否为平衡二叉树而言，我们需要知道以下特性：

是一个二叉树
也是一个二叉排序树
该树的每个结点上的(深度)左子树 - 右子树的值为平衡因子(BF(Balance Factor))
该树的每一个节点的左子树和右子树的高度至多等于1(平衡因子只可能是-1，0，1)

对于一个二叉排序树而言，它们的结构都是根据了二叉树的特性从最左子树开始在回到该结点上继续往右结点走，通过该方式进行递归操作，并且该二叉排序树的结构也是从小到大依次显示，那么我们假设a[10]={ 3,2,1,4,5,6,7,10,9,8 };我们需要查找改列表中的某一个结点的值，那么我们通过二叉排序树的展示，会展示成如图：

可以发现，如果我们想通过二叉排序树这个深度为8的树来查找某个数，我们需要走到最后，这是最坏的打算，但是如果我们能将该树改变为平衡二叉树，如图所示：

相比之下我们这个深度为4的平衡二叉树在通过查询值时是效率很平均且稳定的，那么通过上面的问题我们该怎么将这个二叉排序树的变成平衡二叉树是我们现在的问题了。

一、平衡二叉树实现原理

对于平衡二叉树的特性而言，我们在上面也有举例到，在二叉排序树中，按照它的从小到大的结构所排序下来的结点，当它的平衡因子的绝对值大于1的结点的根的子树，我们称为最小不平衡子树。而我们该如何去计算该二叉排序树的平衡因子(平衡因子 = 左子树 - 右子树的值)呢?我们可以结合上面那个最坏打算的二叉排序树的生成方式进行逐一分析。

如图：

可以看到当我们单步调试二叉排序树的时候到值1的时候值3的平衡因子为2>1(左子树有值2、值1所以是2-右子树0所以等于2)，那么此时并不符合我们的平衡二叉树的规则，那么我们需要通过某种形式去调换，使其符合我们的平衡二叉树的规则，而图2就是由图1通过顺时针而得到出来的，在这里我们称为右旋，此时我们所有的平衡因子<2那么又恢复了正常，之后我们的值4继续插入，因为值4>值3，所以根据二叉排序树的特性是值3的右子树，此时我们查看图3发现所有的平衡因子<2，那么也没出现什么问题之后继续插入下一个值5，因为值5>值4，所以值5会到值4的右子树上。

如图所示：

可以发现图4中当插入值5的时候，根节点、值3的平衡因子的绝对值=2，所以是不符合平衡条件的，所以此时我们通过逆时针的方式去旋转值3下面的所有结点，在这里我们称为左旋，得到的结果即为图5所示了，且此时每个结点的平衡因子都<2，恢复平衡了。

剩下就不多去演示了，整体是一个递归的过程(重要：在过程中反复的把不平衡的结点通过左、右旋的方式将其调整回平衡二叉树。

要想深刻了解平衡二叉树的实现原理请自行参考程杰著作的《大话数据结构》。

二、平衡二叉树实现算法

在类型上我们会通过二叉排序树的基础上添加一个bf，用于存储平衡因子，而定义了一个Status则是判断当前状态的代码。

代码如下：

typedef int Status;  /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 *//* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{int data;  /* 结点数据 */int bf; /*  结点的平衡因子 */struct BiTNode* lchild, * rchild;   /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, * BiTree;

为了方便理解，我们前面的提到的左旋和右旋的方式，在c语言的代码中该如何实现呢?下面我们就来将代码展示出来。

代码如下：

void R_Rotate(BiTree* P)
{BiTree L;L = (*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */(*P)->lchild = L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */L->rchild = (*P);*P = L; /*  P指向新的根结点 */
}/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */
void L_Rotate(BiTree* P)
{BiTree R;R = (*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */(*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */R->lchild = (*P);*P = R; /*  P指向新的根结点 */
}

我们可以看到左旋和右旋的代码很类似，所以我们通过了解了右旋的代码的含义自然就可以反推出左旋的含义了。

此函数的意思是，当某一个结点P处于一个不平衡状态的时候，且平衡因子为正数需要右旋(顺时针)，并将它的左孩子结点定义为L，将L的右子树变成P的左子树，再将P改成L的右子树，最后将L替换P成功根结点。

如果文字还不了解我们可以将上述图1、图2的图片进行推导。

如图：

那么左旋的操作就是一个逆时针的方向转换，代码也是类似这里就不再演示了。

但是在这里我们还有另一种情况，就是当有两个或以上的平衡因子的绝对值>1的时候，它们的平衡因子的值可能为负也可能为正，那么这种情况我们就要考虑到双旋操作了，我们假设以树根为顶点的左右子树都需要考虑，且它们是相对的，所以我们可以通过了解左平衡旋转处理也就继而反推出右平衡旋转处理了。

上述情况如图：

现在我们来看左平衡旋转处理的代码函数：

#define LH +1 /*  左高 */
#define EH 0  /*  等高 */
#define RH -1 /*  右高 */ /*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree* T)
{BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */switch (L->bf){ /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */(*T)->bf = L->bf = EH;R_Rotate(T);break;case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */Lr = L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */switch (Lr->bf){ /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */case LH: (*T)->bf = RH;L->bf = EH;break;case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;break;case RH: (*T)->bf = EH;L->bf = LH;break;}Lr->bf = EH;L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */}
}

首先通过代码可以看到，我们定义了三个常数变量，分别代码1、0、-1。且我们要明白当我们的LeftBalance函数被调用的时候就已经处于不平衡状态了，且左子树的高度>右子树的高度的，而且还是一个递归回溯的过程,其满足调用LeftBalance函数的条件就是当该结点存在左孩子Lc结点的前提下，新插入的结点在Lc结点的左、右孩子里，换句话说当(这里指T的根结点)该结点的bf值是大于1的数时，这种时候我们就要分两种情况去处理了，同理RightBalance函数的调用类似，不过是取反罢了。

我们以上图举例子：

当新插入的结点Lr的值<根节点T的左子树L的值，该结点插入到L的左子树上
当新插入的结点Lr的值>根节点T的左子树L的值，该结点插入到L的右子树上

那么此时我们就会进入到左平衡旋转处理函数，将根节点T的左孩子赋值给L，然后通过判断当前L结点的bf值的符号是否与根节点T的bf值符号相同，如果符号相同时为1则直接像上图3、4的操作一样通过一次右旋操作将其调整恢复平衡，然后把它们的BF值都改为0，这是第一种情况。

但是还有另外的一种情况就是当L结点的bf值和根节点T的bf值符号不相同时为-1，那么此时该函数就会执行双旋操作，并通过Lr的bf值作判断，修改根结点T和L的bf值，之后将Lr的bf值赋为0，最后就如上图的先左旋将符号调整回来，然后在右旋将树平衡。

三、全部代码

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */typedef int Status;  /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 *//* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{int data;  /* 结点数据 */int bf; /*  结点的平衡因子 */struct BiTNode* lchild, * rchild;   /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, * BiTree;/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
/* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree* P)
{BiTree L;L = (*P)->lchild; /*  L指向P的左子树根结点 */(*P)->lchild = L->rchild; /*  L的右子树挂接为P的左子树 */L->rchild = (*P);*P = L; /*  P指向新的根结点 */
}/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0  */
void L_Rotate(BiTree* P)
{BiTree R;R = (*P)->rchild; /*  R指向P的右子树根结点 */(*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */R->lchild = (*P);*P = R; /*  P指向新的根结点 */
}#define LH +1 /*  左高 */
#define EH 0  /*  等高 */
#define RH -1 /*  右高 */ /*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree* T)
{BiTree L, Lr;L = (*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */switch (L->bf){ /*  检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */(*T)->bf = L->bf = EH;R_Rotate(T);break;case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */Lr = L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */switch (Lr->bf){ /*  修改T及其左孩子的平衡因子 */case LH: (*T)->bf = RH;L->bf = EH;break;case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;break;case RH: (*T)->bf = EH;L->bf = LH;break;}Lr->bf = EH;L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */}
}/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void RightBalance(BiTree* T)
{BiTree R, Rl;R = (*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */switch (R->bf){ /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */(*T)->bf = R->bf = EH;L_Rotate(T);break;case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */Rl = R->lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */switch (Rl->bf){ /*  修改T及其右孩子的平衡因子 */case RH: (*T)->bf = LH;R->bf = EH;break;case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;break;case LH: (*T)->bf = EH;R->bf = RH;break;}Rl->bf = EH;R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */}
}/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
/*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
/*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree* T, int e, Status* taller)
{if (!*T){ /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));(*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;*taller = TRUE;}else{if (e == (*T)->data){ /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */*taller = FALSE; return FALSE;}if (e < (*T)->data){ /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /*  未插入 */return FALSE;if (*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */{case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */LeftBalance(T);   *taller = FALSE; break;case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */(*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break;case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;}}else{ /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /*  未插入 */return FALSE;if (*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */{case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */(*T)->bf = EH; *taller = FALSE;    break;case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */(*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break;case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */RightBalance(T); *taller = FALSE; break;}}}return TRUE;
}int main(void)
{int i;int a[10] = { 3,2,1,4,5,6,7,10,9,8 };BiTree T = NULL;Status taller;for (i = 0; i < 10; i++){InsertAVL(&T, a[i], &taller);}printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");return 0;
}

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前言

一、平衡二叉树实现原理

二、平衡二叉树实现算法

三、全部代码

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