插值介绍

信号插值，就是用已知点的测量值估计未知点的近似值。信号插值算法的应用范围有：

提高显示效果；
节省硬件成本，以软代硬；
减少远距离、大量数据通信的需要；
进行数据、图像解压缩
求解微分方程、积分方程；
计算函数值、零点、极值点、导数以及积分。

插值与拟合的异同点：

相同点：插值已知一些离散点，在一定约束下，求取定义在连续集合上的未知连续函数。
在图像上面不同：插值在图像上是一定得通过这些点，而拟合是拟合在图像上是逼近这些点。
在几何含义上不同：插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点。

多项式插值

对于n+1个点，我们可以找到一个次数不超过n的插值多项式:f=an∗Xn+a(n−1)∗Xn−1+⋯+a1∗X+a0f=an*X^{n}+a(n-1) * X^{n-1}+\dots+a1*X+a0f=an∗Xn+a(n−1)∗Xn−1+⋯+a1∗X+a0,可以通过求解n+1个方程组(如方程组\ref{多项式拟合方程组})，得到a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\dotsa0,a1,a2,…
{y1=a0+a1x1+⋯+an+1x1ny2=a0+a1x2+⋯+an+1x2n…yn+1=a0+a1xn+1+⋯+an+1xn+1n\left\{\begin{aligned} y_1&=a_0+a_1x_1+\dots+a_{n+1}x_1^{n}\\ y_2&=a_0+a_1x_2+\dots+a_{n+1}x_2^{n}\\ &\dots\\ y_{n+1}&=a_0+a_1x_{n+1}+\dots+a_{n+1}x_{n+1}^{n}\\ \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧y1y2yn+1=a0+a1x1+⋯+an+1x1n=a0+a1x2+⋯+an+1x2n…=a0+a1xn+1+⋯+an+1xn+1n
若方程组的解唯一，则对应的插值多项式具有唯一性。多项式拟合一般具有原理简单、计算复杂、难以得到简单的多项式等特点。

三次样条插值

函数定义在区间[a,b][a,b][a,b]上，给定n+1个节点和一组与之对应的函数值，且函数满足:1,每个节点上满足S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n−1)S(x_i)=f(x_i) (i=0,1,\dots,n-1)S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n−1);2,在[a,b][a,b][a,b]上有连续的二阶导数;3.在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n−1)[x_i,x_{i+1}] (i=0,1,\dots,n-1)[xi,xi+1](i=0,1,…,n−1)上是一个三次多项式，则称S(xi)S(x_i)S(xi)为三次样条插值函数。

三次样条插值函数S(x)S(x)S(x)是一个分段三次多项式，要求出S(x)S(x)S(x)，在每个小区间[xi,xi+1][x_i,x_{i+1}][xi,xi+1]上要确定4个待定参数，若用Si(x)S_i(x)Si(x)表示它在第i个子区间[xi,xi+1][x_i,x_{i+1}][xi,xi+1]上的表达式，则:
Si(x)=ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3(i=0,1,⋯,n−1)S_{i}(x)=a_{i 0}+a_{i 1} x+a_{i 2} x^{2}+a_{i 3} x^{3} \quad(i=0,1, \cdots, n-1) Si(x)=ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3(i=0,1,⋯,n−1)

举个例子

已知函数y=f(x)的一组数据如表表格：

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	12.34	13.02	13.98	13.52	12.81	11.08	9.96	9.51	10.23	11.14	12.25

对这些数据进行多项式插值和三次样条插值，并求:x= 3.5, 4.1, 6.2, 4.5时，y相应的多项式插值和三次样条插值函数值。
绘制函数y=f(x)在区间[0, 10]上的多项式插值函数图形，并将已知点用“∘\circ∘”标出。
绘制函数y=f(x)在区间[0, 10]上的三次样条插值函数图形，并将已知点用“×\times×”标出。

分析

本题要求依据所给数据计算多项式插值和三次样条插值，并求出特定自变量下插值的函数值，以及绘制函数图像。使用matlab的多项式插值函数polyfit(x,y,n)polyfit(x,y,n)polyfit(x,y,n)和三次样条插值函数spline(x,y,xq)spline(x,y,xq)spline(x,y,xq)进行计算。其中polyfit(x,y)polyfit(x,y)polyfit(x,y)的xxx和yyy为原始数据点，nnn为拟合阶数，返回值为多项式的系数;spline(x,y)spline(x,y)spline(x,y)的xxx和yyy为原始数据点。

求指定的y值

多项式插值

将给定的x和y数据导入matlab，并计算多项式系数。一共11个点，故选取10次多项式进行插值，使用polyfit命令。求得的插值系数用poly2str指令组装成插值多项式，多项式的函数表达式为：y=2.7111e−05x10−0.0013742x9+0.029925x8−0.36589x7+2.7538x6−13.1433x5+39.4708x4−71.2356x3+68.9205x2−25.7489x+12.34y=2.7111e-05 x^{10} - 0.0013742 x^9 + 0.029925 x^8 - 0.36589 x^7 + 2.7538 x^6- 13.1433 x^5 + 39.4708x^4 - 71.2356 x^3 + 68.9205 x^2 - 25.7489 x+ 12.34y=2.7111e−05x10−0.0013742x9+0.029925x8−0.36589x7+2.7538x6−13.1433x5+39.4708x4−71.2356x3+68.9205x2−25.7489x+12.34.将x=(3.5,4.1,6.2,4.5)带入，解得y的值为:13.3404,12.6595,9.8347,11.9664.将结果制表、绘图，如下表、下图：

x	3.5	4.1	6.2	4.5
y	13.3404	12.6595	9.8347	11.9664

样条插值

样条插值所用命令为spline，官方介绍spline函数的输入输出为yy = spline(x,y,xx);其中x和y为已知点，xx为待求点x轴坐标，yy即为输出对应待求点的y轴坐标。

故运行命令y3=spline(x,y,x1);即可得到待求点的样条插值。y3的值为: 13.2476, 12.6730, 9.8032, 11.9877.将结果制表、绘图，如下表、下图：

x	3.5	4.1	6.2	4.5
y	13.2476	12.6730	9.8032	11.9877

插值求函数图形

多项式插值

将x在0-10上间隔采样，得到的值带入上述求值函数中，可以得到对应的y值，再将(x,y)坐标用绘图命令绘制，即得插值函数图形。函数t=f(x)在区间[0,10]上的多项式插值函数图形如图所示：

样条插值

x在0-10上间隔采样，得到的值带入yy=spline(x,y,xx)的xx里面，返回值为与xx拥有相同维度的yy，yy为样条插值的输出结果。绘图，函数t=f(x)在区间[0,10]上的样条插值函数图形如图所示：

总结

多项式插值先设插值多项式函数，再将各节点的函数值代入多项式里，便得到个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。
样条插值是对每一个小区间进行插值，使得端点处满足某种条件的光滑(本文所用的三次样条插值则要满足二阶导数连续)，根据这个要求，在未知导数的情况下推导出样条函数。
本次作业练习了多种插值的求解方法，一定的数据求解让我对插值的含义和运用场景有了更多的认识。在插值求解函数图像时，似乎多项式插值比样条插值更光滑，但是多项式插值的求解涉及大型矩阵求逆，且过分强调每一个数据，在预测未知量时泛化能力可能有所欠缺。

程序

matlab的.m程序下载链接: 用matlab对一组数据求解多项式插值和三次样条插值.

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多项式插值与样条插值的解释与示例（matlab）

插值介绍

插值与拟合的异同点：

多项式插值

三次样条插值

举个例子

分析

求指定的y值

多项式插值

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插值求函数图形

多项式插值

样条插值

总结

程序

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