常用统计分布

前面已指出，当取得总体X{X}X的样本(X1,X2,...,Xn)({X_1},{X_2},...,{X_n})(X1,X2,...,Xn)后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断的。

为了实现推断的目的必须进一步确定相应的统计量所服从的分布，这样就有必要补充一些在概率论部分中未曾提及但在统计学中经常用到的分布主要为三种分布：χ2{\chi ^2}χ2分布、F{F}F分布与t{t}t分布。

鉴于这些分布在统计学中的重要性，通常统称其为常用统计分布。

分位数

分位数是统计推断中经常用到的一类数字特征，在熟悉其概念与性质后可对一些统计分布表进行查表使用。

定义：设随机变量X{X}X的分布函数为F(x){F(x)}F(x)，对给定的实数α(0<α<1)\alpha (0 < \alpha < 1)α(0<α<1)，如果实数Fα{F_\alpha }Fα满足：P(X>Fα)=αP(X > {F_\alpha }) = \alphaP(X>Fα)=α，则称Fα{F_\alpha }Fα为随机变量X{X}X的分布的水平α\alphaα的上侧分位数，或直接称为分布函数F(x){F(x)}F(x)的水平α\alphaα的上侧分位数

举例说明：如下图为分布函数F(x){F(x)}F(x)的水平α\alphaα的上侧分位数示意图

显然，有性质：1−F(Fα)=α,F(Fα)=1−α1 - F({F_\alpha }) = \alpha ,F({F_\alpha }) = 1 - \alpha1−F(Fα)=α,F(Fα)=1−α

对于像标准正态分布那样的对称分布（即其密度函数为偶函数，关于y轴对称），统计学中还用到其另一种分位数——双侧分位数。

定义：设X{X}X是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为F(x){F(x)}F(x)，对给定的实数α(0<α<1)\alpha (0 < \alpha < 1)α(0<α<1)，如果实数Tα{T_\alpha }Tα满足：P(∣X∣>Tα)=αP(\left| X \right| > {T_\alpha }) = \alphaP(∣X∣>Tα)=α，则称Tα{T_\alpha }Tα为随机变量X{X}X的分布的水平α\alphaα的双侧分位数，或直接称为分布函数F(x){F(x)}F(x)的水平α\alphaα的分位数

例题：

χ2{\chi ^2}χ2分布

定义：设随机变量X1,X2,...,Xn{X_1},{X_2},...,{X_n}X1,X2,...,Xn相互独立且均服从标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1)，则称随机变量χ2=X12+X22+...+Xn2{\chi ^2} = X_1^2 + X_2^2 + ... + X_n^2χ2=X12+X22+...+Xn2服从自由度为n的χ2{\chi ^2}χ2分布，记作χ2∼χ2(n){\chi ^2} \sim {\chi ^2}(n)χ2∼χ2(n)

注：该分布中文读作卡方分布

χ2{\chi ^2}χ2分布性质

设χ2∼χ2(n){\chi ^2} \sim {\chi ^2}(n)χ2∼χ2(n)，对给定的α(0<α<1)\alpha (0 < \alpha < 1)α(0<α<1)，其上α\alphaα分位如下：P(χ2>χα2(n))=∫χα2(n)+∞f(x)dxP\left( {{\chi ^2} > \chi _\alpha ^2(n)} \right) = \int_{\chi _\alpha ^2(n)}^{ + \infty } {f(x)dx}P(χ2>χα2(n))=∫χα2(n)+∞f(x)dx
设χ12∼χ2(n1)\chi _1^2 \sim {\chi ^2}({n_1})χ12∼χ2(n1)，χ22∼χ2(n2)\chi _2^2 \sim {\chi ^2}({n_2})χ22∼χ2(n2)，且χ12\chi _1^2χ12与χ22\chi _2^2χ22相互独立，则χ12+χ22∼χ2(n1+n2)\chi _1^2 + \chi _2^2 \sim {\chi ^2}({n_1} + {n_2})χ12+χ22∼χ2(n1+n2)
设χ2∼χ2(n){\chi ^2} \sim {\chi ^2}(n)χ2∼χ2(n)，则E(χ2)=n,D(χ2)=2n{E({\chi ^2}) = n,D({\chi ^2}) = 2n}E(χ2)=n,D(χ2)=2n

对1和2性质，由概率论知识就直接得出了，十分显然。现在来证明3：

证明：

E(χ2)=E(X12+X22+...+Xn2){E({\chi ^2}) = E(X_1^2 + X_2^2 + ... + X_n^2)}E(χ2)=E(X12+X22+...+Xn2)

=E(X12)+E(X22)+...+E(Xn2){ = E(X_1^2) + E(X_2^2) + ... + E(X_n^2)}=E(X12)+E(X22)+...+E(Xn2)

=nE(X2){ = nE(X_{}^2)}=nE(X2)

=n(D(X)+E2(X))=n{ = n\left( {D(X) + {E^2}(X)} \right) = n}=n(D(X)+E2(X))=n

D(χ2)=D(X12+X22+...+Xn2)D({\chi ^2}) = D(X_1^2 + X_2^2 + ... + X_n^2)D(χ2)=D(X12+X22+...+Xn2)

=D(X12)+D(X22)+...+D(Xn2)= D(X_1^2) + D(X_2^2) + ... + D(X_n^2)=D(X12)+D(X22)+...+D(Xn2)

=nD(X2)=n(E(X4)−E2(X2))= nD(X_{}^2) = n\left( {E({X^4}) - {E^2}({X^2})} \right)=nD(X2)=n(E(X4)−E2(X2))

=n(3−1)=2n= n(3 - 1) = 2n=n(3−1)=2n

FFF分布

定义：设随机变量XXX和YYY相互独立，且X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)X \sim {\chi ^2}({n_1}),Y \sim {\chi ^2}({n_2})X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)，则称随机变量F=X/n1Y/n2F = {{X/{n_1}} \over {Y/{n_2}}}F=Y/n2X/n1服从自由度为(n1,n2)({n_1},{n_2})(n1,n2)的FFF分布，记作F∼F(n1,n2)F \sim F({n_1},{n_2})F∼F(n1,n2)

FFF分布性质

设F∼F(n1,n2)F \sim F({n_1},{n_2})F∼F(n1,n2)，对给定的α(0<α<1)\alpha (0 < \alpha < 1)α(0<α<1)，其上α\alphaα分位如下：P(F>Fα(n1,n2))=∫Fα(n1,n2)+∞f(x)dxP\left( {F > {F_\alpha }({n_1},{n_2})} \right) = \int_{{F_\alpha }({n_1},{n_2})}^{ + \infty } {f(x)dx}P(F>Fα(n1,n2))=∫Fα(n1,n2)+∞f(x)dx
设F∼F(n1,n2)F \sim F({n_1},{n_2})F∼F(n1,n2)，则1F∼F(n2,n1){1 \over F} \sim F({n_2},{n_1})F1∼F(n2,n1)，且有Fα(n1,n2)=1F1−α(n2,n1){F_\alpha }({n_1},{n_2}) = {1 \over {{F_{1 - \alpha }}({n_2},{n_1})}}Fα(n1,n2)=F1−α(n2,n1)1

证明：

由于1F∼F(n2,n1){1 \over F} \sim F({n_2},{n_1})F1∼F(n2,n1)，按上侧分位数的定义，变换后应把α\alphaα置为1−α1-\alpha1−α，而不是下面错误的做法：

Fα(n1,n2)=1Fα(n2,n1){F_\alpha }({n_1},{n_2}) = {1 \over {{F_\alpha }({n_2},{n_1})}}Fα(n1,n2)=Fα(n2,n1)1

对此的解释与理解可参考下例：

设随机变量X∼U(110,10)X \sim U({1 \over {10}},10)X∼U(101,10)，根据均匀分布的性质，XXX的密度函数为f(x)=1099f(x) = {{10} \over {99}}f(x)=9910

令随机变量Y=1XY = {1 \over X}Y=X1，显然：对y∈(1,10),x∈(1/10,1)y \in (1,10),x \in (1/10,1)y∈(1,10),x∈(1/10,1)，此时若计算上侧分位数α\alphaα，显然有：Xα=1Y1−α{X_\alpha } = {1 \over {{Y_{1 - \alpha }}}}Xα=Y1−α1

可以用密度函数计算验证此等式以获得初步理解，本质上是坐标轴以x=1x=1x=1进行了变换

ttt分布

定义：设随机变量XXX和YYY相互独立，且X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X \sim N(0,1),Y \sim {\chi ^2}(n)X∼N(0,1),Y∼χ2(n)，则称随机变量T=XY/nT = {X \over {\sqrt {Y/n} }}T=Y/nX服从自由度为nnn的ttt分布，记作T∼t(n)T \sim t(n)T∼t(n)

ttt分布性质

设T∼t(n)T \sim t(n)T∼t(n)，对给定的α(0<α<1)\alpha (0 < \alpha < 1)α(0<α<1)，其上α\alphaα分位如下：P(T>tα(n))=∫tα(n)+∞f(x)dxP\left( {T > {t_\alpha }(n)} \right) = \int_{{t_\alpha }(n)}^{ + \infty } {f(x)dx}P(T>tα(n))=∫tα(n)+∞f(x)dx
ttt分布的概率密度函数f(x)f(x)f(x)是偶函数，即f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)f(x)=f(−x)，且当nnn充分大时，t(n)t(n)t(n)分布近似于N(0,1)N(0,1)N(0,1)
设T∼t(n)T \sim t(n)T∼t(n)，对给定的α(0<α<1)\alpha (0 < \alpha < 1)α(0<α<1)，其存在双侧α\alphaα分位，tα(n)=−t1−α(n){{t_\alpha }(n) = - {t_{1 - \alpha }}(n)}tα(n)=−t1−α(n)

注：结论2实质上利用了概率论的中心极限定理

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