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作 者 | @Heshawn

文末福利: 8,000+字方法论干货

你好，我是@Heshawn。

关于学习，你也许在网上看过许多优秀学长分享的成功经验，尽管他们的话语各有不同，但如果你对所有的「方法论」取最大公约数，就应该是：「认真听课、多多刷题、整理错误、总结思考」。

道理我都懂，可，关键是应该如何执行？

我决定精选最具代表性的100道高考数学真题，为你以文字版形式进行逐题精讲。——这100道高考真题全部出自《万剑归宗十套卷》，你可以在专栏中学习更详细的音频版讲解，欢迎你订阅以示对我的支持。

这是我为你精讲的第22题，推荐你转发&收藏，以方便自己复习回顾。

上一讲中我们通过山东卷的第16题来介绍了三角函数的最后一个考点：三角函数图像的变换。

简单回顾：此类题目通常有两种变换方式，平移变换，遵循“左加右减”这个知识点，或者伸缩变换，遵循“除伸乘缩”这个知识点。

但无论有多少种变换方式，解决三角函数图像的变换的原则只有一个：所有的变换都是针对x的，与解析式里的其它项无关。

今天我们再来讲解一道类似的题目——我们选择了2017年全国课标卷一理科数学的第9题，算是一道中高档的选择题，我为你整理了这道题的Cornell笔记：

为什么要用「Cornell笔记」整理题目？

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01

思路构建：观察已知条件与选项形式

我们先来读题，思路构建的核心就是要在已知条件和待求结论之间构建桥梁连接：

——上图展现了一个关于高中数学题目构思的标准模型，如果你有2个小时的时间，我强烈推荐你加入效率研究所中的精品课程《高考数学：基于实战的高效学习策略》，深度理解这套思路构建策略，一定能帮助在高中三年游刃有余地应对大多数题目：

回到我们这道题——如果按照上面的构思逻辑，我们先观察题目条件：这道题给了两个函数解析式C₁:y=cosx，C₂:y=sin(2x+2π/3)，C₂是由C₁经过变换后得到的式子。

再观察选项：A,B,C,D给了四种不同的变换方式，我们还是根据上一题讲解三角函数图像变换的原则：写出每一个选项经过变换后的式子，再与C₂进行对比。

这是一道明确的关于“三角函数图像变换”的题目，我们可以引用上一讲归纳的方案：贯彻“变换只针对x”这条原则，对选项进行对比分析。

02

重申：三角函数图像变换的核心原则

首先是选项A：

1.横坐标伸长两倍，根据“除伸乘缩”且变换只与x有关，得到中间式y=cosx/2。

2.向右平移π/6，根据“左加右减”和变换原则，得到最终式y=cos(x/2-π/12)。此时注意！许多同学在进行第二步运算时可能会疑惑，向右平移π/6，cosx/2平移后得出的式子就是cos(x/2-π/6)。这种做法是错误的！我们要清楚，变换只与x有关即x变为x-π/6，而上述错误做法为x/2变为x/2-π/6。1/2不能参加变换过程。这也是许多同学容易混淆的。经过正确变换后得出的式子为y=cos(x/2-π/12)。

接下来是选项B：

1.与选项A的第一步变换相同，得到中间式y=cosx/2。

2.向左平移π/12，“左加右减”，且牢记原则与注意事项，得出式子y=cos(x/2+π/24)。

然后是选项C：

1.横向压缩2倍。根据“除伸乘缩”，得出中间式y=cos2x。

2.向右平移π/6，变换只与x有关，1/2不参与变换，2当然也不参与变换，最后的式子为y=cos(2x-π/3)。

最后是选项D：

1.与选项C第一步变换相同，得出中间式y=cos2x。

2.左移π/12，得出最终式子为y=cos(2x+π/6)。

这道题目是一个非常好的训练同学们对“三角函数图像变换”理解的题目，这四个选项的变换都计算后我们可以更加深刻地认识到：无论是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，这个变换的对象都是x，与x的系数和其它项无关。

清楚这一点后我们再来看计算后的式子。

03

进阶思考：选择题选项的价值

接下来我们的问题是：经过上一步的图像变换，我们获得的C₂最终结果是sin的形式，而四个选项得出的式子都是cos——这就要求我们首先要将cos转化为sin。

在这个过程中，我们就更应该仔细观察四个选项的形式——我们之前在《高考数学：自我提升方法》一讲中开篇就强调：选择题的选项也是一类重要条件，这句话在这道题目中就得到了深刻的应用：

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比如观察A,B两个选项：两者x项的系数1/2，与C₂的系数2不同，选项A,B被排除。

这个时候问题就变为在C,D中选择正确答案。

通过“奇变偶不变，符号看象限”这条原则：先观察选项C，式子中的-π/3与题目中的2π/3差了一个π，是π/2的偶数倍，所以符号不会发生变化，排除选项C。本题的答案为D。注意观察我给出的笔记中D选项下的红字部分，这是cos向sin变换的过程。

至此，本题解答完毕。

04

复盘：这道题目我们学到了什么？

回顾这道题目，其实本题考察了两个知识点：

1、三角形图像的变换，和

2、三角函数的恒等变换。

在解答前半段的题目时，我们强化了三角函数图像变换的核心原则：无论进行哪种变换，变换的对象只有x，与其它项无关；

在进行三角函数恒等变换时，我们强调了“选择题的选项也是一类重要条件”这个构思方法。

希望这道题目能够对你有所帮助。

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