二元随机变量函数的分布

在前面的文章记录了二元随机变量的定义、离散型二元随机变量的联合分布律/联合概率密度函数、边际分布律/边际概率密度函数、条件分布律/条件概率密度 ，以及对应的 联合分布函数、边际分布函数、条件分布函数。这篇文档介绍二元随机变量函数的分布。
二元随机变量函数的分布=二元随机变量函数的函数=g(X,Y)的分布。

二元离散型随机变量函数的分布
　设二元离散型随机变量(X,Y)具有概率分布律P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,3...P(X=x_i,Y=y_j),i,j=1,2,3...。
　(1)如果U=g(X,Y)，则U的分布律是什么？U=g(X,Y)，则U的分布律是什么？。
　(2)如果U=g(X,Y),V=v(X,Y)U=g(X,Y),V=v(X,Y)则(U,V)的分布律是什么？
　对于(1)，先确定U的取值ui,i=1,2...u_i,i=1,2...，接着找到(U=Ui)=(X,Y)∈D(U=U_i)={(X,Y)\in D}，从而计算分布律。
　对于(2)，先确定(U,V)的取值(ui,vj)(u_i,v_j) i,j=1,2,3...i,j=1,2,3...，接着找到(U=ui,V=vj)=(X,Y)∈D(U=u_i,V=v_j)={(X,Y)\in D}，从而计算分布律。

二元连续型随机变量函数的分布
　设二元连续型随机变量(X,Y)具有概率分布函数f(x,y)f(x,y)，Z是X,Y的函数，Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)。
　(1)Z的分布函数
　(2)Z的概率密度函数
　对于(1)，FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=∫∫g(X,Y)≤zf(x,y)dxdyF_Z(z)=P(Z\le z)=P(g(X,Y)\le z)=\int \int_{g(X,Y)\le z} f(x,y)dxdy
　对于(2)，fZ(z)=F′Z(z)f_Z(z)=F'_Z(z)

Z=X+Y的分布
　设(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdyF_Z(z)=\int \int_{x+y\le z} f(x,y)dxdy，进一步计算得到fZ(z)=∫+∞−∞f(z−y,y)dyf_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy，或者fZ(z)=∫+∞−∞f(x,z−z)dxf_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-z)dx。这两个公式称为fXf_X,fYf_Y的卷积公式。
　连续型随机变量中
　　正态分布：n个独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。

　　均匀分布：
　　指数分布：Γ\Gamma分布。如果X1,X2,...XnX_1,X_2,...X_n相互独立，切XiX_i服从参数为αi,β(i=1,2,3....n)\alpha_i,\beta(i=1,2,3....n)的Γ\Gamma分布，则∑ni=1Xi\sum_{i=1}^{n}X_i，服从参数为∑ni=1αi,β\sum_{i=1}^n \alpha_i,\beta的Γ\Gamma分布。这一性质称为Γ\Gamma分布的可加性。
　离散型随机变量中
　　二项分布：如果X1,X2,...XnX_1,X_2,...X_n相互独立，且都服从B(n,p)，则X1+X2+...+XnX_1+X_2+...+X_n~B(n,p)。如果X~B(n1n_1,p),Y~B(n2n_2,p)，两者相互独立，则X+Y~B(n1+n2,p)B(n_1+n_2,p)。
　　泊松分布：如果X~π(λ1)\pi(\lambda_1)，Y~π(λ2)\pi(\lambda_2)，两者相互独立，则X+Y~π(λ1+λ2)\pi (\lambda_1+\lambda_2)。

max(X,Y)的分布
　如果X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的函数分布分为为FX(x)F_X(x)，FY(y)F_Y(y)，则Fmax(z)=FX(z)FY(z)F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z)。可以扩展到n个相互独立的随机变量。
min(X,Y)的分布
　如果X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的函数分布分为为FX(x)F_X(x)，FY(y)F_Y(y)，则Fmin(z)=1−(1−FX(z))(1−FY(z))F_{min}(z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))。可以扩展到n个相互独立的随机变量。
　
　　

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