5.3 递归最小二乘法

前面最小二乘法中数据是一次全部测量好，然后进行求解。但实际中有时存在测量数据是在线获得的，即时刻获得测量数据。比如无人驾驶车辆，需要实时判断前面车辆的运动状态，获取其加速度，所以每时每刻都需要进行测量。当每次获得新的测量数据后，需要进行最小二乘法以更新车辆状态。如果每次更新时，都采用公式 x^=(ATA)−1ATb\mathbf{\hat{x}} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}x^=(ATA)−1ATb 进行更新，即采用所有数据进行计算，则当测量次数很多时，计算量很大，效率很低，且需要保存所有测量数据。我们可以采用递归方式，每次利用新测量数据对结果继续修正，极大减小计算量和存储量。

为了使记号简洁，我们令 x^m\mathbf{\hat{x}_m}x^m 表示用前 mmm 次测量数据得到的最优近似解。我们计算 ATAA^TAATA ，此时需要把矩阵 AAA 看作行向量组，即 A=[ar1Tar2T⋮armT]A = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{r1}} \\ \mathbf{a^T_{r2}} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{rm}} \end{matrix} \right]A=⎣⎢⎢⎢⎡ar1Tar2T⋮armT⎦⎥⎥⎥⎤ ，每一行对应一次测量数据，总共 mmm 次测量，则
ATA=[ar1,ar2,⋯,arm][ar1Tar2T⋮armT]=ar1ar1T+ar2ar2T+⋯+armarmTA^TA= \left[ \begin{matrix} \mathbf{a_{r1}} , \mathbf{a_{r2}}, \cdots , \mathbf{a_{rm}} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{r1}} \\ \mathbf{a^T_{r2}} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{rm}} \end{matrix} \right]= \mathbf{a_{r1}}\mathbf{a^T_{r1}} + \mathbf{a_{r2}}\mathbf{a^T_{r2}} + \cdots + \mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}} ATA=[ar1,ar2,⋯,arm]⎣⎢⎢⎢⎡ar1Tar2T⋮armT⎦⎥⎥⎥⎤=ar1ar1T+ar2ar2T+⋯+armarmT

令 Pm=(ATA)m−1P_m = (A^TA)_m^{-1}Pm=(ATA)m−1 表示用前 mmm 次测量数据得到的矩阵，则
Pm=(ar1ar1T+⋯+ar(m−1)ar(m−1)T+armarmT)−1=(Pm−1−1+armarmT)−1P_{m} = (\mathbf{a_{r1}}\mathbf{a^T_{r1}} + \cdots + \mathbf{a_{r(m-1)}}\mathbf{a^T_{r(m-1)}} + \mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}} )^{-1}=(P_{m-1}^{-1}+\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}})^{-1} Pm=(ar1ar1T+⋯+ar(m−1)ar(m−1)T+armarmT)−1=(Pm−1−1+armarmT)−1

ATb=[ar1,ar2,⋯,arm][b1b2⋮bm]=b1ar1+b2ar2+⋯+bmarmA^T\mathbf{b} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a_{r1}} , \mathbf{a_{r2}}, \cdots , \mathbf{a_{rm}} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \right]= b_1\mathbf{a_{r1}} + b_2\mathbf{a_{r2}} + \cdots + b_m\mathbf{a_{rm}} ATb=[ar1,ar2,⋯,arm]⎣⎢⎢⎢⎡b1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤=b1ar1+b2ar2+⋯+bmarm

令 Bm=(ATb)mB_m = (A^T\mathbf{b})_mBm=(ATb)m 表示用前 mmm 次测量数据得到的向量，则
Bm=b1ar1+⋯+bm−1ar(m−1)+bmarm=Bm−1+bmarmB_{m} = b_1\mathbf{a_{r1}} + \cdots + b_{m-1}\mathbf{a_{r(m-1)}} + b_m\mathbf{a_{rm}} = B_{m-1} + b_m\mathbf{a_{rm}} Bm=b1ar1+⋯+bm−1ar(m−1)+bmarm=Bm−1+bmarm

根据公式 x^=(ATA)−1ATb\mathbf{\hat{x}} = (A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}x^=(ATA)−1ATb ，得利用 mmm 次测量数据的公式为

x^m=PmBm=(Pm−1−1+armarmT)−1(Bm−1+bmarm)\mathbf{\hat{x}_{m}} = P_{m}B_{m} = (P_{m-1}^{-1}+\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}})^{-1}(B_{m-1} + b_{m}\mathbf{a_{rm}}) x^m=PmBm=(Pm−1−1+armarmT)−1(Bm−1+bmarm)

这就是获得第 mmm 次测量数据后的更新公式，不需要全部从零计算所有数据，只需保存前 m−1m-1m−1 次测量数据获得的矩阵 Pm−1−1P_{m-1}^{-1}Pm−1−1 和向量 Bm−1B_{m-1}Bm−1 即可，计算量也很少。

根据 x^m=PmBm\mathbf{\hat{x}_{m}} = P_{m}B_{m}x^m=PmBm 得 Bm−1=Pm−1−1x^m−1B_{m-1} = P_{m-1}^{-1}\mathbf{\hat{x}_{m-1}}Bm−1=Pm−1−1x^m−1 ，Pm−1=Pm−1−1+armarmTP_{m}^{-1} =P_{m-1}^{-1}+\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}}Pm−1=Pm−1−1+armarmT 带入上式得

x^m=Pm(Pm−1−1x^m−1+bmarm)=Pm((Pm−1−armarmT)x^m−1+bmarm)=x^m−1+Pmarm(bm−armTx^m−1)\mathbf{\hat{x}_{m}} = P_{m}(P_{m-1}^{-1}\mathbf{\hat{x}_{m-1}} + b_{m}\mathbf{a_{rm}})\\=P_{m}( (P_{m}^{-1}-\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}})\mathbf{\hat{x}_{m-1}} + b_{m}\mathbf{a_{rm}} )\\=\mathbf{\hat{x}_{m-1}}+P_{m}\mathbf{a_{rm}}(b_{m}-\mathbf{a^T_{rm}}\mathbf{\hat{x}_{m-1}}) x^m=Pm(Pm−1−1x^m−1+bmarm)=Pm((Pm−1−armarmT)x^m−1+bmarm)=x^m−1+Pmarm(bm−armTx^m−1)

这就是最优近似解的递归公式。

递归公式中 Pm=(Pm−1−1+armarmT)−1P_{m} = (P_{m-1}^{-1}+\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}})^{-1}Pm=(Pm−1−1+armarmT)−1 需要计算逆矩阵，进一步化简，利用公式 (A+BCD)−1=A−1−A−1B(C−1+DA−1B)−1DA−1(A+BCD)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B(C^{-1}+DA^{-1}B)^{-1}DA^{-1}(A+BCD)−1=A−1−A−1B(C−1+DA−1B)−1DA−1 最后可得

x^m=x^m−1+Kmϵmϵm=bm−armTx^m−1Km=PmarmPm=Pm−1−Pm−1armarmTPm−11+armTPm−1arm\mathbf{\hat{x}_{m}} =\mathbf{\hat{x}_{m-1}}+K_{m}\epsilon_{m}\\ \epsilon_{m} = b_{m}-\mathbf{a^T_{rm}}\mathbf{\hat{x}_{m-1}}\\ K_{m} = P_{m}\mathbf{a_{rm}}\\ P_{m} = P_{m-1} - \frac {P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}}P_{m-1}}{1+\mathbf{a^T_{rm}}P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}} x^m=x^m−1+Kmϵmϵm=bm−armTx^m−1Km=PmarmPm=Pm−1−1+armTPm−1armPm−1armarmTPm−1

时间衰减递归最小二乘法

递归最小二乘法中所有测量数据重要性都是一样的，这样可能会带来一个问题。还是以无人驾驶车辆实时判断前面车辆的运动状态为例，我们假设前面车辆做匀加速运动，实际上车辆运动状态时刻会发生变化，时而加速时而减速（这称为机动性），故为了准确获取车辆当前状态，当前数据的重要性，显然要大于历史数据，不能同等对待。而递归最小二乘法却同等对待，故最优近似解更新速度慢，不能实时反映车辆运作状态的改变，会慢半拍。如何提高当前数据的重要性，同时又不导致计算复杂度的增加，本节提出一种方法。根据 Pm=Pm−1−Pm−1armarmTPm−11+armTPm−1armP_{m} = P_{m-1} - \frac {P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}\mathbf{a^T_{rm}}P_{m-1}}{1+\mathbf{a^T_{rm}}P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}}Pm=Pm−1−1+armTPm−1armPm−1armarmTPm−1 得

Km=Pmarm=Pm−1arm1+armTPm−1armK_{m} = P_{m}\mathbf{a_{rm}} = \frac {P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}}{1+\mathbf{a^T_{rm}}P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}} Km=Pmarm=1+armTPm−1armPm−1arm

最优近似解的更新量为 KmϵmK_{m}\epsilon_{m}Kmϵm ，为了提高最新测量的权重，我们对 KmK_{m}Km 进行修正为

Km=Pm−1arm1/κ+armTPm−1arm,κ≥1K_{m} = \frac {P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}}{1/\kappa+\mathbf{a^T_{rm}}P_{m-1}\mathbf{a_{rm}}} ,\kappa \ge 1 Km=1/κ+armTPm−1armPm−1arm,κ≥1

修正系数 κ\kappaκ 越大，最新测量的权重越大，历史数据的作用衰减越快，最优解能快速跟踪系统。但 κ\kappaκ 越大，如果车辆运作状态没有改变，则会增大最优近似解的误差；κ\kappaκ 小，如果车辆运作状态发生改变，则最优近似解不能快速跟随车辆状态的改变。所以最理想的情况是，先判断车辆运动状态是否发生改变，如果发生，则增大 κ\kappaκ ，否则可以令 κ＝1\kappa＝1κ＝1 。