【Acwing 219. 剪纸游戏】

题意：

给定一张 N×M 的矩形网格纸，两名玩家轮流行动。
在每一次行动中，可以任选一张矩形网格纸，沿着某一行或某一列的格线，把它剪成两部分。
首先剪出 1×1 的格纸的玩家获胜。
两名玩家都采取最优策略行动，求先手是否能获胜。

提示：开始时只有一张纸可以进行裁剪，随着游戏进行，纸张被裁剪成 2,3,… 更多张，可选择进行裁剪的纸张就会越来越多。

题解：

常规的博弈论做法，用记忆化搜索来求每个状态的后继状态的sg值，利用mex求出本状态的值
本题与常规的博弈论不同点在于，一般博弈论是一方无法操作时结束比赛，而本题是达到某一状态时结束比赛。常规来说我们要将纸裁成两部分，循环应该从1开始到n，但是本题不行，因为题目说了先剪除1 * 1的获胜，也就是说如果我们如果我们先剪除一个边为1，那么对手就可以借此剪除1 * 1，所以本题的最终状态是无论怎么操作都会剪除一个边为1，即除了1其他都不能剪除则输，所能减的范围是2,n-1，如果不能操作，则必败

for ( rg int i = 1; i <= n; ++i ){ vis [ sG ( i, c ) ^ sG ( n-i, c ) ] = true; }

本题巧妙的将最终状态进行定义，方便了代码的实现

代码：

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 205
using namespace std;
typedef long long ll;int N,M;
int sg[MAXN][MAXN];int dfs(int n, int m){if(n > m) swap(n,m);if(sg[n][m]!=-1) return sg[n][m];if(n==1 && m==1) return sg[n][m] = 0;//cerr<<"dfs: "<<n<<" "<<m<<endl;int vis[MAXN];memset(vis, 0, sizeof(vis));int ans;for(int x=2;x<n-1;x++){ans = dfs(x,m)^dfs(n-x,m);vis[ans] = 1;}for(int y=2;y<m-1;y++){ans = dfs(n,y)^dfs(n,m-y);vis[ans] = 1;}for(int i=0;i<=2*M;i++){if(!vis[i]) return sg[n][m] = i;}
}int main(){memset(sg, -1, sizeof(sg));while(cin>>N>>M){if(N > M) swap(N, M);if(dfs(N,M)==0) puts("LOSE");else puts("WIN");}return 0;
}

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