学习手记(2018.9.15~2018.11.10)——备战NOIP2018

2024-05-09 22:58:58

分层图常见方法

二进制压缩

用二进制表示一些东西的状态

形态

就是用第几层表示第几个形态(如第几天这样的)

树不重合点对数量

取下面的更优。

换元法

求一个数时可以不一定要求它，可以通过求和他有关联的式子从而间接的得到他。

数学归纳法

先证明i=0i=0i=0时，然后再假设前iii成立，再证明i+1i+1i+1转移时依然成立

等比数列的通项公式(其一)

∑i=0nki\sum_{i=0}^nk^ii=0∑nki
===
kn+1−1k−1\frac{k^{n+1}-1}{k-1}k−1kn+1−1

约数之和

A的约数个数为
∏i=1m(ci+1)\prod_{i=1}^m(c_i+1)i=1∏m(ci+1)
约数和为
∏i=mm(∑j=0m(pi)j)\prod_{i=m}^m(\sum_{j=0}^m(p_i)^j)i=m∏m(j=0∑m(pi)j)
如果有能力计算逆元，那么可以优化为
∏i=mm((pi)ci+1−1)∗(pi−1)−1\prod_{i=m}^m((p_i)^{c_i+1}-1)*(p_i-1)^{-1}i=m∏m((pi)ci+1−1)∗(pi−1)−1

最深LCA

取dfs序最近的LCA最进

线性推逆元

k=⌊p/i⌋,r=p%ik=\lfloor p/i \rfloor,r=p\%ik=⌊p/i⌋,r=p%i
有
ki+r≡0(modp)ki+r\equiv 0(mod\ p)ki+r≡0(mod p)
两边同时乘一个r−1∗i−1r^{-1}*i^{-1}r−1∗i−1
k∗r−1+i−1≡0(modp)k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\ p)k∗r−1+i−1≡0(mod p)
i−1≡−k∗r−1(modp)i^{-1}\equiv -k*r^{-1}(mod\ p)i−1≡−k∗r−1(mod p)
这时候r−1r^{-1}r−1已经计算出来了，就可以直接
i−1≡(r−1−k+p)%pi^{-1}\equiv (r^{-1}-k+p)\%pi−1≡(r−1−k+p)%p

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