图论技能get！
一个超强大的建图网站

最短路问题

1.dij算法

用于单源最短路
仅适用于没有负边权的情况
初始化dis数组为inf，dis【起点】=0；
tool：priority-queue（按dis升序）
先把起点放进队列
每次取出排头now，枚举它能去的地方v；
如果——

dis[v]>dis[now]+p[i].w

说明目前从now走到v更优，就更新它，并入队
最后now出列，并永远不要回来（用人话说就是判重）

模板

void dij(){for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INT_MAX;memset(jd,0,sizeof(jd));dis[s] = 0;priority_queue<pr,vector<pr>,greater<pr> >q;q.push(make_pair(0,s));int tot=0;while(!q.empty()){int now=q.top().second;q.pop();if(jd[now]) continue;jd[now]=1;for(int i=fi[now];~i;i=p[i].nxt){int v=p[i].to;//printf("#%d %d %d\n",p[i].nxt,now,v);if(dis[v]>dis[now]+p[i].w){dis[v]=dis[now]+p[i].w;q.push(make_pair(dis[v],v)); }}}
}

（关于链式前向星存图，请移步这里

证明

因为没有负权
所以当前dis最小的值以后不可能从别的地方再更新
所以每次都取最小的，每个就只需取一次（n）

备注

因为优先队列操作复杂度带个log，所以
总复杂度为：O（nlogn）

从证明也可以看出，dij只适用于正权，那么有负权是怎么办？
可以使用——

2.SPFA

“spfa已经死了”
和dij其实很类似，只是他不用优先队列，也不判重，只要枚举出度满足上面那个关系式就可以进队（当然，已经在的不要再进了）
当队列为空结束

代码

void spfa(double x){queue<int>q;mem(jd,1);for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=(double)inf;mem(nm,0);for(int i=0;i<m;i++){p[i].w -= x;}for(int i=1;i<=n;i++){q.push(i);}while(!q.empty()){int now=q.front();q.pop();jd[now]=0;for(int i=fi[now];~i;i=p[i].nxt){int v=p[i].to;if(dis[v]>=dis[now]+p[i].w){dis[v]=dis[now]+p[i].w;if(jd[v]==0) q.push(v);}}}for(int i=0;i<m;i++) p[i].w +=x;return;
}

证明

因为不去重，队列还是空了，说明已经没有任何两对满足更新的关系式~~（暴力有什么好证明的）~~

备注

复杂度十分玄学不稳定
在特殊构造和稠密图可能卡成O（mn）
直接裂开（2018NOIP血的教训）
所以尽量还是用dij吧

floyd

多源！！！！
代码《过于冗长》，直接看着代码解释吧。。。

代码

for(int k = 1; k <= n; ++k)for(int i = 1; i <= n; ++i)for(int j = 1; j <= n; ++j)dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);

证明

（想不明白直接背）
dp[i][j][k]是从i到j经过中转编号最大值为k的最短路
那么dp[i][j][k]更新到dp[i][j][k+1]就是看看经过k+1会不会更优呗
所以就是上面那个状态转移方程
最后dp[i][j][n]就是最终的最短路

踩蛋

（这个不是王建国写的）

负环

如果存在一个总权值为负值的环，那么所有能碰到该环的两点的最短路都会是无穷小（大风车吱吖吱悠悠的转）
此时spfa就会出现死循环
所以需要特殊判断负环
如果一条路径经过的点大于n，显然它是经过了环
而你算着算着最短路它为啥溜号去跑环了呢？一定是出现了负环
从而进行判断
关于代码实现，我们可以在更新时加一行转移：

nm[v]=nm[now]+1

代码

bool spfa(){queue<int>q;mem(jd,0);for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;mem(nm,0);q.push(1);jd[1]=1;dis[1]=0;while(!q.empty()){int now=q.front();q.pop();jd[now]=0;for(int i=fi[now];~i;i=p[i].nxt){int v=p[i].to;if(dis[v]>dis[now]+p[i].w){dis[v]=dis[now]+p[i].w;nm[v]=nm[now]+1;if(jd[v]==0) q.push(v);if(nm[v]>=n){return true;}}}}return false;
}

觉得明白了可以来洛谷水道模板

就酱！拜拜~

最短路模板：dij，spfa与floyd相关推荐

03 最短路 dijkstra算法spfa算法floyd算法（附带实例代码）图论-1
文章目录最短路邻接表的图如下邻接矩阵如下图链表实现邻接表实现代码单源最短路径 Dijkstra 算法朴素版本 Dijkstra 实现代码堆优化的dijkstra算法代码实现 Bellma ...
最短路合集（Dijkstra、SPFA、Floyd以及路径还原模板）
目录一.Dijkstra算法(不能处理存在负权的清况) 1.堆(优先队列)优化版本:(慢,占用内存还大) 2.普通线段树优化版本(一般块) 2.大佬的特殊线段树优化版本:(超快的) 二.SPFA 算 ...
【LOJ119】单源最短路模板
problem 给你一个n个点m条边的无向图,求 s 到 t 的最短路. solution SPFA模板 codes #include<iostream> #include<queu ...
A*算法+最短路实现K短路+模板题
<font color=black size=4>K短路问题还是很普遍的,了解一下K短路很有必要,顺便学会A*的简单应用更好. A*算法,是一种启发式搜索算法,我们可以自己设定一个估价函数 ...
luogu P2865 [USACO06NOV]Roadblocks G（次短路模板）
-题没读清楚,双向边害的我找了半天bug 然后就是一个次短路模板题了. #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorit ...
[图论]最短路计数（spfa）
最短路计数 Description 给出一个NN个顶点MM条边的无向无权图,顶点编号为1-N1−N.问从顶点11开始,到其他每个点的最短路有几条. Input 第一行包含22个正整数N,MN,M,为图 ...
最短路——最短路计数（spfa）
题目链接最短路--最短路计数(spfa) 题目描述给出一个 N 个顶点 M 条边的无向无权图,顶点编号为 1-N.问从顶点 1 开始,到其他每个点的最短路有几条. 输入格式第一行包含 2 个正整 ...
E 小木乃伊到我家（最短路模板题）
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/96/E 来源:牛客网题目描述 AA的欧尼酱qwb是个考古学家,有一天qwb发现了只白白圆圆小小的木乃伊,它是个爱哭鬼却 ...
hdu 1874 畅通工程续(模板题 spfa floyd)
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1874 spfa 模板 1 #include<iostream> 2 #include<s ...

最短路模板：dij，spfa与floyd