leetcode84- 柱状图中最大的矩形（三种思路：暴力，单调栈+哨兵（详解），分治）

介绍
- 题目
解题思路
- 解法一：暴力向两边搜索
- 解法二：单调栈
- - 画图演示
  - 宽度计算：
- 解法三：单调栈+哨兵
- 解法四：分治，这是最快的方法
代码
- 解法一：暴力
- 解法二：单调栈
- 解法三：单调栈+哨兵
- 解法四：动态规划

介绍

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标签：贪心

84. 柱状图中最大的矩形
难度困难

84. 柱状图中最大的矩形
https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/

题目

给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。

求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。

图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。

示例:

输入: [2,1,5,6,2,3]
输出: 10

解题思路

虽然我也进行的单调栈的详解，但是看我的之前可以看看liweiwei1419大佬的题解以及官方题解的视频

解法一：暴力向两边搜索

对该柱子两边进行遍历，寻找以当前高度可以取得的最大面积，看一眼应该就懂了

解法二：单调栈

构建一个递增的单调栈，因为：

如果后一个柱高度比目前柱更高，说明矩形面积还有增加的可能性
如果后一个柱高度比目前柱更矮，说明已经没有增长空间了，可以出栈计算能形成的最大面积

画图演示

heights[0] 因为是第一个所以直接入栈
遍历到heights[1]比heights[0]更矮，计算可得heights[0]的最大面积，然后将heights[1]入栈
遍历到heights[2]，发现heights[1]更矮，因此heights[2]直接入栈
遍历到heights[3]，发现heights[2]更矮，因此heights[3]也直接入栈
遍历到heights[4]，发现当前栈顶元素heights[3]更高，则将其出栈，并计算其最大面积
继续比较会发现当前栈顶元素heights[2]还是比heights[4]大，继续出栈并计算最大面积
遍历到最后一个heights[5]，发现heights[4]更矮，heights[4]入栈
遍历已经到最末尾了，将heights[5]也入栈，准备将栈内元素全部清空了

宽度计算：

宽度计算全部发生在出栈的情况下，并且有两个情况：

栈内没有其他元素了，那么一直到heights[0]都可以在当前高度下形成矩形
栈内还有其他元素，那么直到次栈顶元素，这段区间都是可以形成矩形的

解法三：单调栈+哨兵

因为在解法二中考虑了栈空与结尾栈不为空的情况，导致了造成了冗余，所以就在输入数组的两端加上两个高度为0的柱子，使之为**“哨兵”**

有了哨兵之后：

数组第一位的哨兵会使栈一定不会为空
数组最后位的哨兵会使前面全部有高度的柱出栈

从而可以保证将全部的柱能形成的高度全部计算一遍

解法四：分治，这是最快的方法

将数组分为最矮柱左边的部分与最矮柱右边的部分
然后三个中求最大

最大宽度*最小高度
最矮柱左边能形成的最大面积
最矮柱右边能形成的最大面积

同时对数组段是否递增进行判断，如果一旦是单调递增，那么最大的面积毫无疑问就是最矮柱高度*当前宽度

代码

解法一：暴力

public class Solution {public int largestRectangleArea(int[] heights) {int len = heights.length;if (len == 0)  return 0;int res = 0;for (int i = 0; i < len; i++) {//对该柱子两边进行遍历，寻找以当前高度可以取得的最大面积int hight = heights[i];// 向左找int left = i;while (left > 0 && heights[left - 1] >= hight) {left--;}// 向右找int right = i;while (right < len - 1 && heights[right + 1] >= hight) {right++;}int sum = right - left + 1;res = Math.max(res, sum * hight);}return res;}
}

这么慢的吗…

解法二：单调栈

public class Solution {public int largestRectangleArea(int[] heights) {int len = heights.length;if (len == 0) {return 0;}if (len == 1) {return heights[0];}int res = 0;Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<>(len);for (int i = 0; i < len; i++) {// 这个 while 很关键，因为有可能不止一个柱形的最大宽度可以被计算出来// 循环入栈清空栈中元素while (!stack.isEmpty() && heights[i] < heights[stack.peekLast()]) {// 暂时存储高度int curHeight = heights[stack.pollLast()];// 要是前后两个高度相等也出栈while (!stack.isEmpty() && heights[stack.peekLast()] == curHeight) {stack.pollLast();}int width;if (stack.isEmpty()) {//栈空说明直到最开始的一个柱形都能构成矩形width = i;} else {//一般情况，在于下一个栈内元素之间都能构成矩形width = i - stack.peekLast() - 1;}res = Math.max(res, curHeight * width);}stack.addLast(i);}// 如果站内没有清空，那么就循环弹出while (!stack.isEmpty()) {// 操作和上面一样，但是i变成了len，因为遍历已经结束了int curHeight = heights[stack.pollLast()];while (!stack.isEmpty() && heights[stack.peekLast()] == curHeight) {stack.pollLast();}int width;if (stack.isEmpty()) width = len;else width = len - stack.peekLast() - 1;res = Math.max(res, curHeight * width);}return res;}
}

解法三：单调栈+哨兵

public class Solution {public int largestRectangleArea(int[] heights) {int len = heights.length;if (len == 0) return 0;if (len == 1) return heights[0];int res = 0;int[] newHeights = new int[len + 2];// 哨兵一号newHeights[0] = 0;System.arraycopy(heights, 0, newHeights, 1, len);// 哨兵2号newHeights[len + 1] = 0;len += 2;//数据迁移heights = newHeights;Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<>(len);// 将首位哨兵优先入栈，避免栈空判断stack.addLast(0);for (int i = 1; i < len; i++) {while (heights[i] < heights[stack.peekLast()]) {int curHeight = heights[stack.pollLast()];int curWidth = i - stack.peekLast() - 1;res = Math.max(res, curHeight * curWidth);}stack.addLast(i);}return res;}
}

解法四：动态规划

class Solution {public int largestRectangleArea(int[] heights) {return maxArea(heights, 0, heights.length - 1);}public int maxArea(int[] heights, int left, int right) {if (left > right){return 0;}if (left == right){return heights[left];}int minIndex = left;int minHeight = heights[left];// 判断是否单调递增，且记录最小高度boolean ordered = true;for (int i = left + 1; i <= right; i++) {if (ordered) {if (heights[i] >= heights[i - 1]) {continue;} else {ordered = false;}}if (heights[i] < minHeight) {minIndex = i;minHeight = heights[i];}}// 单调递增，则可以直接计算当前能够计算的最大面积if (ordered) {int width = right - left + 1;int maxArea = 0;for (int i = left; i <= right; i++) {maxArea = Math.max(maxArea, width * heights[i]);width--;}return maxArea;}// 无序，三个中求最大：最大宽度*最小高度；最矮柱左边能形成的最大面积；最矮柱右边能形成的最大面积return Math.max(minHeight * (right - left + 1), Math.max(maxArea(heights, left, minIndex - 1),maxArea(heights, minIndex + 1, right)));}
}

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解题思路

解法一：暴力向两边搜索

解法二：单调栈

画图演示

宽度计算：

解法三：单调栈+哨兵

解法四：分治，这是最快的方法

代码

解法一：暴力

解法二：单调栈

解法三：单调栈+哨兵

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