求解SDP问题—使用SeDuMi和YALMIP

SDP(SemiDefinite Programing，半定规划)是凸优化(Convex Optimization)的一种，貌似近些年来比较热，反正这个东西常常出现在我看的论文中。论文里一般是把一个问题转化为SDP，然后极不负责任的扔了一句可以使用SeDuMi等工具箱解决就完事了，搞的本人非常迷茫，于是决定一探究竟，谁知还搞了个意外收获，那就是YALMIP工具箱。SeDuMi和YALMIP都是Matlab的工具箱，下载和安装请参见它们的主页。下面我就分别谈谈怎么样将两个工具箱应用于SDP求解吧。

SDP问题的对偶原型及求解步骤

下面就是一个典型的SDP问题：

目标函数是线性的，有一个等式约束，有一个不等式约束，最后一个是LMI(Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式)约束。使用SeDuMi来解决此类问题，我们就要自行构造调用SeDuMi的核心函数sedumi(Att,bt,ct,K)的四个参数。

*等式约束的个数
*不等式约束的个数
*LMI中矩阵的阶数

这样，我们就可以调用来求解了，其中的y即为优化后得到的最优解。

一个典型的例子

这里举一个简单的例子，并给出Matlab的实际代码，以便能更好地理解运用上节的知识。SDP的一个最简单的应用就是最大化矩阵的特征值问题。如我们要找使矩阵的特征值最大化，其中

分别为：

同时，我们对也给出一个不等式限制和一个等式限制：

那么这个问题可以描述成以下形式：

其中的取值分别为：

下面我们就可以使用sedumi函数进行优化求解了，给出Matlab代码：

最后得到的y即为最优解，它的前三个分量就是我们想要的答案。如下图所示：

YALMIP一出，谁与争锋

我们从上面也可以看到，SeDuMi的求解过程还是比较复杂的，不仅需要将优化问题先化成SDP的标准形式，而且参数的配置也相当费功夫，很不直观！在搜索SeDuMi的过程中，我又发现了一个叫YALMIP的工具箱，它的命名挺有意思，Yet Another LMI Package，又一个LMI包，呵呵，不过它可不是徒有虚名啊！简单的说，它可以非常直观的将目标函数和约束条件赋给它的核心函数solvesdp(Constraint,Objective)，下面我们就看看解决同样的问题YALMIP是怎么操作的，废话不说了，直接上Matlab代码：

结果如下图所示：

可以看到两者的结果基本是一致的，当然，我怀疑YALMIP在操作的过程中有调用SeDuMi的可能性，但是不管怎么说，YALMIP的代码则更直观，更容易理解，甚至连双向不等式都可以直接书写，这都是明显的，可见它的牛逼，所以必然果断抛弃其他一切优化工具箱，你的意见呢？嘿嘿～

我觉得目前最牛的是SDPT3!

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