三种线性排序算法计数排序、桶排序与基数排序

[非基于比较的排序]

在计算机科学中，排序是一门基础的算法技术，许多算法都要以此作为基础，不同的排序算法有着不同的时间开销和空间开销。排序算法有非常多种，如我们最常用的快速排序和堆排序等算法，这些算法需要对序列中的数据进行比较，因为被称为基于比较的排序。

基于比较的排序算法是不能突破O(NlogN)的。简单证明如下：

N个数有N!个可能的排列情况，也就是说基于比较的排序算法的判定树有N!个叶子结点，比较次数至少为log(N!)=O(NlogN)(斯特林公式)。

而非基于比较的排序，如计数排序，桶排序，和在此基础上的基数排序，则可以突破O(NlogN)时间下限。但要注意的是，非基于比较的排序算法的使用都是有条件限制的，例如元素的大小限制，相反，基于比较的排序则没有这种限制(在一定范围内)。但并非因为有条件限制就会使非基于比较的排序算法变得无用，对于特定场合有着特殊的性质数据，非基于比较的排序算法则能够非常巧妙地解决。

本文着重介绍三种线性的非基于比较的排序算法：计数排序、桶排序与基数排序。

[计数排序]

首先从计数排序(Counting Sort)开始介绍起，假设我们有一个待排序的整数序列A，其中元素的最小值不小于0，最大值不超过K。建立一个长度为K的线性表C，用来记录不大于每个值的元素的个数。

算法思路如下：

扫描序列A，以A中的每个元素的值为索引，把出现的个数填入C中。此时C[i]可以表示A中值为i的元素的个数。
对于C从头开始累加，使C[i]<-C[i]+C[i-1]。这样，C[i]就表示A中值不大于i的元素的个数。
按照统计出的值，输出结果。

由线性表C我们可以很方便地求出排序后的数据，定义B为目标的序列，Order[i]为排名第i的元素在A中的位置，则可以用以下方法统计。

显然地，计数排序的时间复杂度为O(N+K)，空间复杂度为O(N+K)。当K不是很大时，这是一个很有效的线性排序算法。更重要的是，它是一种稳定排序算法，即排序后的相同值的元素原有的相对位置不会发生改变(表现在Order上)，这是计数排序很重要的一个性质，就是根据这个性质，我们才能把它应用到基数排序。

[桶排序]

可能你会发现，计数排序似乎饶了点弯子，比如当我们刚刚统计出C，C[i]可以表示A中值为i的元素的个数，此时我们直接顺序地扫描C，就可以求出排序后的结果。的确是这样，不过这种方法不再是计数排序，而是桶排序(Bucket Sort)，确切地说，是桶排序的一种特殊情况。

用这种方法，可以很容易写出程序，比计数排序还简单，只是不能求出稳定的Order。

这种特殊实现的方式时间复杂度为O(N+K)，空间复杂度也为O(N+K)，同样要求每个元素都要在K的范围内。更一般的，如果我们的K很大，无法直接开出O(K)的空间该如何呢？

首先定义桶，桶为一个数据容器，每个桶存储一个区间内的数。依然有一个待排序的整数序列A，元素的最小值不小于0，最大值不超过K。假设我们有M个桶，第i个桶Bucket[i]存储iK/M至(i+1)K/M之间的数，有如下桶排序的一般方法：

扫描序列A，根据每个元素的值所属的区间，放入指定的桶中(顺序放置)。
对每个桶中的元素进行排序，什么排序算法都可以，例如快速排序。
依次收集每个桶中的元素，顺序放置到输出序列中。

对该算法简单分析，如果数据是期望平均分布的，则每个桶中的元素平均个数为N/M。如果对每个桶中的元素排序使用的算法是快速排序，每次排序的时间复杂度为O(N/Mlog(N/M))。则总的时间复杂度为O(N)+O(M)O(N/Mlog(N/M)) = O(N+ Nlog(N/M)) =O(N + NlogN - NlogM)。当M接近于N是，桶排序的时间复杂度就可以近似认为是O(N)的。就是桶越多，时间效率就越高，而桶越多，空间却就越大，由此可见时间和空间是一个矛盾的两个方面。

桶中元素的顺序放入和顺序取出是有必要的，因为这样可以确定桶排序是一种稳定排序算法，配合基数排序是很好用的。

[基数排序]

下面说到我们的重头戏，基数排序(Radix Sort)。上述的基数排序和桶排序都只是在研究一个关键字的排序，现在我们来讨论有多个关键字的排序问题。

假设我们有一些二元组(a,b)，要对它们进行以a为首要关键字，b的次要关键字的排序。我们可以先把它们先按照首要关键字排序，分成首要关键字相同的若干堆。然后，在按照次要关键值分别对每一堆进行单独排序。最后再把这些堆串连到一起，使首要关键字较小的一堆排在上面。按这种方式的基数排序称为MSD(Most Significant Dight)排序。

第二种方式是从最低有效关键字开始排序，称为LSD(Least Significant Dight)排序。首先对所有的数据按照次要关键字排序，然后对所有的数据按照首要关键字排序。要注意的是，使用的排序算法必须是稳定的，否则就会取消前一次排序的结果。由于不需要分堆对每堆单独排序，LSD方法往往比MSD简单而开销小。下文介绍的方法全部是基于LSD的。

通常，基数排序要用到计数排序或者桶排序。使用计数排序时，需要的是Order数组。使用桶排序时，可以用链表的方法直接求出排序后的顺序

基数排序是一种用在老式穿卡机上的算法。一张卡片有80列，每列可在12个位置中的任一处穿孔。排序器可被机械地"程序化"以检查每一迭卡片中的某一列，再根据穿孔的位置将它们分放12个盒子里。这样，操作员就可逐个地把它们收集起来。其中第一个位置穿孔的放在最上面，第二个位置穿孔的其次，等等。

对于一个位数有限的十进制数，我们可以把它看作一个多元组，从高位到低位关键字重要程度依次递减。可以使用基数排序对一些位数有限的十进制数排序。

[三种线性排序算法的比较]

从整体上来说，计数排序，桶排序都是非基于比较的排序算法，而其时间复杂度依赖于数据的范围，桶排序还依赖于空间的开销和数据的分布。而基数排序是一种对多元组排序的有效方法，具体实现要用到计数排序或桶排序。

相对于快速排序、堆排序等基于比较的排序算法，计数排序、桶排序和基数排序限制较多，不如快速排序、堆排序等算法灵活性好。但反过来讲，这三种线性排序算法之所以能够达到线性时间，是因为充分利用了待排序数据的特性，如果生硬得使用快速排序、堆排序等算法，就相当于浪费了这些特性，因而达不到更高的效率。

在实际应用中，基数排序可以用于后缀数组的倍增算法，使时间复杂度从O(NlogNlogN)降到O(N*logN)。线性排序算法使用最重要的是，充分利用数据特殊的性质，以达到最佳效果。

排序算法总结

插入排序

直接插入排序

原理：将数组分为无序区和有序区两个区，然后不断将无序区的第一个元素按大小顺序插入到有序区中去，最终将所有无序区元素都移动到有序区完成排序。

void insertSort(int a[], int N)
{for(int i = 1; i < N; i++){int temp = a[i];int j;for(j = i; j > 0 && temp < a[j-1]; j--)a[j] = a[j-1];a[j] = temp;}
}

希尔排序

原理：又称增量缩小排序。先将序列按增量划分为元素个数相同的若干组，使用直接插入排序法进行排序，然后不断缩小增量直至为1，最后使用直接插入排序完成排序。

由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。

void shellSort(int a[], int N)
{for(int incre = N / 2; incre > 0; incre /= 2){for(int i = incre; i < N; i++){int temp = a[i];int j;for(j = i; j >= incre && temp < a[j - incre]; j -= incre)a[j] = a[j - incre];a[j] = temp;}}
}

交换排序

冒泡排序

原理：将序列划分为无序和有序区，不断通过交换较大元素至无序区尾完成排序。

void bubbleSort(int a[], int N)
{for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = i; j < N - i - 1; j++){if(a[j] > a[j+1]){int temp = a[j];a[j] = a[j+1];a[j+1] = temp;}}}
}

补充说明：使用didSwap=true/false可以避免重复的比较，使得最好情况的复杂度变为O(n)

快速排序

原理：不断寻找一个序列的中点，然后对中点左右的序列递归的进行排序，直至全部序列排序完成，使用了分治的思想。
1．先从数列中取出一个数作为基准数。
2．分区过程，将比这个数大的数全放到它的右边，小于或等于它的数全放到它的左边。
3．再对左右区间重复第二步，直到各区间只有一个数。

实现：

void quickSortCore(int a[], int left, int right)
{if(left < right){int temp = a[left];int i = left, j = right;while(i < j){while(i < j && temp <= a[j])j--;if(i < j)a[i++] = a[j];while(i < j && temp >= a[i])i++;if(i < j)a[j--] = a[i];}a[i] = temp;quickSortCore(a, left, i-1);quickSortCore(a, i+1, right);}}void quickSort(int a[], int N)
{quickSortCore(a, 0, N-1);
}

选择排序

直接选择排序

原理：将序列划分为无序和有序区，寻找无序区中的最小值和无序区的首元素交换，有序区扩大一个，循环最终完成全部排序。

void selectSort(int a[], int N)
{for(int i = 0; i < N; i++){int k = i;for(int j = i + 1; j < N; j++){if(a[j] < a[k])k = j;}int temp = a[i];a[i] = a[k];a[k] = temp;}
}

堆排序

堆序性质：堆分为大顶堆和小顶堆，满足Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]称为大顶堆，满足 Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]称为小顶堆。

原理：利用大顶堆或小顶堆思想，首先建立堆，然后将堆首与堆尾交换，堆尾之后为有序区。如从小到大排序，建立大顶堆，堆顶元素与堆尾不断交换，同时缩小堆的范围，最终得到排序结果。

void percDown(int a[], int i, int N)
{int temp = a[i], child;for(; 2 * i + 1 < N; i = child){child = 2 * i + 1;if(child + 1 < N && a[child] < a[child + 1])child++;if(temp < a[child])a[i] = a[child];elsebreak;}a[i] = temp;
}void heapSort(int a[], int N)
{for(int i = N / 2; i >= 0; i--)percDown(a, i, N);for(int i = N-1; i > 0; i--){int temp = a[i];a[i] = a[0];a[0] = temp;percDown(a, 0, i);}
}

归并排序

原理：将原序列划分为有序的两个序列，然后利用归并算法进行合并，合并之后即为有序序列。

void merge(int a[], int temp[], int left, int mid, int right)
{if(left < right){int lpos = left, lend = mid;int rpos = mid + 1, rend = right;int tpos = left;while(lpos <= lend && rpos <= rend){if(a[lpos] <= a[rpos])temp[tpos++] = a[lpos++];elsetemp[tpos++] = a[rpos++];}while(lpos <= lend)temp[tpos++] = a[lpos++];while(rpos <= rend)temp[tpos++] = a[rpos++];for(int i = 0; i <= right; i++)a[i] = temp[i];}
}
void mergeSortCore(int a[], int temp[], int left, int right)
{if(left < right){int mid = (left + right) / 2;mergeSortCore(a, temp, left, mid);mergeSortCore(a, temp, mid+1, right);merge(a, temp, left, mid, right);}
}
void mergeSort(int a[], int N)
{int *temp = new int[N];mergeSortCore(a, temp, 0, N-1);delete [] temp;
}

各种排序算法的复杂度稳定性分析

分类	名称	复杂度分析	稳定性	稳定性原因分析
插入排序	简单插入	平均O(n^2),最好O(n),最坏O(n^2)	稳定	没有跨元素交换
———-	希尔排序	平均接近nlogn,最好O(n),最坏O(n^2)	不稳定	增量分组，有跨元素交换
交换排序	冒泡排序	平均O(n^2),最好O(n),最坏O(n^2)	稳定	没有跨元素交换
———-	快速排序	平均nlogn,最好nlogn,最坏O(n^2)	不稳定	有跨元素交换
选择排序	直接选择	平均O(n^2),最好O(n^2),最坏O(n^2)	不稳定	5 8 5 2
———-	堆排序	平均,最好,最坏nlogn	不稳定	3 2 3 2
归并排序	归并排序	平均,最好,最坏nlogn，有O(n)空间复杂度	稳定	没有跨元素交换

扩展问题

单链表可以做快速排序吗？为什么？

可以。快速排序的核心函数partition，选择某个元素为枢纽元x(通常是第一个)，一遍扫描之后使得比x小的在枢纽元左边，比x大的在枢纽元的右边。使用链表时，x指向链表头(枢纽元)，扫描这个链表，小元素拼在链表头，大元素拼在链表尾部，从而完成一次partition函数的流程。

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