例29  拉丁方阵

问题描述

构造 NXN 阶的拉丁方阵，使方阵中的每一行和每一列中数字1到N只出现一次。如N=4时：

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

输入格式

一个正整数n(2<=n<=9)。

输出格式

生成的n*n阶方阵。

输入样例

4

输出样例

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

(1)编程思路。

观察给出的例子，可以发现：若将每一行中第一列的数字和最后一列的数字连起来构成一个环，则该环正好是由1到N顺序构成；对于第i行，这个环的开始数字为i。按照此规律可以很容易的写出程序。

(2)源程序。

#include

int main()

{

int n;

scanf("%d",&n);

int i,k,t;

for(i=0; i

{

t=i%n;   // 确定该拉丁方阵第i行的第一个元素的值

for(k=0; k

printf("%d ",(k+t)%n+1);

printf("\n");

}

return 0;

}

习题29

29-1  奇数阶魔方

本题选自杭州电子科技大学OJ题库 (http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1998)

Problem Description

一个 n 阶方阵的元素是1,2,...,n^2,它的每行，每列和2条对角线上元素的和相等，这样的方阵叫魔方。n为奇数时我们有1种构造方法，叫做“右上方” ，例如下面给出n=3，5，7时的魔方。

3

8 1 6

3 5 7

4 9 2

5

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

7

30 39 48 1 10 19 28

38 47 7 9 18 27 29

46 6 8 17 26 35 37

5 14 16 25 34 36 45

13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20

第1行中间的数总是1，最后1行中间的数是n^2,他的右边是2，从这三个魔方，你可看出“右上方”是何意。

Input

包含多组数据，首先输入T,表示有T组数据.每组数据1行给出n(3<=n<=19)是奇数。

Output

对于每组数据，输出n阶魔方，每个数占4格，右对齐

Sample Input

2

3

5

Sample Output

8   1   6

3   5   7

4   9   2

17  24   1   8  15

23   5   7  14  16

4   6  13  20  22

10  12  19  21   3

11  18  25   2   9

(1)编程思路。

奇数阶魔方阵采用“右上方”的构造方法为：

首先把1放到顶行的正中间，然后把后继数按顺序放置在右上斜的对角线上，并作如下修改：

1)当到达顶行时，下一个数放到底行，好像它在顶行的上面；

2)当到达最右端列时，下一个数放在最左端列，好像它紧靠在右端列的右方；

3)当到达的位置已经填好数时，或到达右上角的位置时，下一个数就放在刚填写数的位置的正下方。

下面以构造一个3阶魔方阵为例，说明这种方法的构造过程，具体如图1所示。

图1  “右上方”连续填数法构造3阶魔方阵

程序中定义一个二维数组a[N][N]来保存方阵，初始时，数组中所有元素均置0。

用变量row和col来存储待填数字num在方阵中的位置，由于第1个数字放在顶行的正中间，因此初始时，行row=0，列col=n/2，待填写数字num=1。

采用“右上方”连续填数法构造方阵的过程是一个循环程序，描述为：

while (待填写数字num<=n*n)

{

确定待填写数字num应该填写的位置row和col；

填写num，即a[row][col]=num;

num++；    // 下一个待填写的数字

}

程序中，确定待填写位置的方法是：

1)后继数按顺序放置在右上斜的对角线上，即row--；  col++；

2)有三种情形需要调整。

当到达顶行时(即row<0)，  row=n-1;

当到达最右端列时(即col==n)， col=0;

当到达的位置已经填好数时(即(a[row][col]!=0)，  row+=2;     col--;

3)有一种情况，当到达右上角的位置时(row==0 && col==n-1)，直接进行特殊处理，row++  。

(2)源程序。

#include

int main()

{

int t;

scanf("%d",&t);

while (t--)

{

int a[19][19],row,col,num,n;

scanf("%d",&n);

for (row=0;row

for (col=0;col

a[row][col]=0;

row=0;     col=n/2;    num=1;

a[row][col]=num;

while (num

{

num++;

if (row==0 && col==n-1)        // 到达右上角的位置

row++;

else

{

row--;     col++;

if (row<0)  row=n-1;

if (col==n) col=0;

if (a[row][col]!=0)

{   row+=2;     col--;  }

}

a[row][col]=num;

}

for(row=0;row

{

for(col=0;col

printf("%4d",a[row][col]);

printf("\n");

}

}

return 0;

}

29-2  双偶数阶魔方阵

问题描述

当n为双偶数，即n=4*k时，采用双向翻转法构造魔方阵的步骤如下：

(1)将数字1到n*n按由左至右、由上到下的顺序填入方阵中。

(2)将方阵中央部分半数的行中的所有数字左右翻转。

(3)将方阵中央部分半数的列中的所有数字上下翻转。

由于在构造的过程中需要进行两次翻转，因此称为双向翻转法。下面以构造一个4阶魔方阵为例，说明这种方法的构造过程，具体如图2所示。

图2  双向翻转法构造4阶魔方阵

输入格式

包含多组数据，首先输入T,表示有T组数据.每组数据1行给出n(4<=n<=20)是4的倍数。

输出格式

对于每组数据，输出n阶魔方，每个数占4格，右对齐

输入样例

2

4

8

输出样例

1  14  15   4

8  11  10   5

12   7   6   9

13   2   3  16

1   2  59  60  61  62   7   8

9  10  51  52  53  54  15  16

24  23  46  45  44  43  18  17

32  31  38  37  36  35  26  25

40  39  30  29  28  27  34  33

48  47  22  21  20  19  42  41

49  50  11  12  13  14  55  56

57  58   3   4   5   6  63  64

(1)编程思路。

程序中定义一个二维数组a[N][N]来保存方阵，构造时，依次进行三个二重循环。

1)将数字1到n*n按由左至右、由上到下的顺序填入方阵中

num=1;

for (row=0; row

for (col=0; col

a[row][col] = num++;

2)将方阵中央部分半数的行中的所有数字左右翻转

对于一个n=4*k阶的双偶数方阵，若按行分成四组的话，每组行号的范围为0~k-1、k~2k-1、2k~3k-1、3k~4k-1，中间有2k行，中间行的行号从k~3k-1，由于k=n/4，所以中间行的行号从n/4~n*3/4-1。

对于每一行，将其中的所有数字左右翻转，实际上就是将一个一维数组逆序排列。因此，第2步的操作可以写成如下的循环：

for (row=n/4; row<=n*3/4-1; row++)

for (col=0; col

{

temp = a[row][col];

a[row][col] = a[row][n-1-col];

a[row][n-1-col] = temp;

}

3)将方阵中央部分半数的列中的所有数字上下翻转。

第3步的操作类同于第2步的操作，只是将行列的关系颠倒了，可以写成如下的循环：

for (col=n/4; col<=n*3/4-1; col++)

for (row=0; row

{

temp = a[row][col];

a[row][col] = a[n-1-row][col];

a[n-1-row][col] = temp;

}

(2)源程序。

#include

int main()

{

int t;

scanf("%d",&t);

while (t--)

{

int a[20][20],row,col,num,n,temp;

scanf("%d",&n);

num=1;

for (row=0; row

for (col=0; col

a[row][col] = num++;

for (row=n/4; row<=n*3/4-1; row++)

for (col=0; col

{

temp = a[row][col];

a[row][col] = a[row][n-1-col];

a[row][n-1-col] = temp;

}

for (col=n/4; col<=n*3/4-1; col++)

for (row=0; row

{

temp = a[row][col];

a[row][col] = a[n-1-row][col];

a[n-1-row][col] = temp;

}

for(row=0;row

{

for(col=0;col

printf("%4d",a[row][col]);

printf("\n");

}

}

return 0;

}

29-3  分数矩阵

问题描述

我们定义如下矩阵:

1/1  1/2  1/3

1/2  1/1  1/2

1/3  1/2  1/1

矩阵对角线上的元素始终是1/1，对角线两边分数的分母逐个递增。

请求出这个矩阵的总和。

输入格式

每行给定整数N (N<50000)，表示矩阵为 N*N.当N为0时，输入结束。

输出格式

输出答案，保留2位小数。

输入样例

1

2

3

4

0

输出样例

1.00

3.00

5.67

8.83

(1)编程思路。

题目中的分数矩阵是一个对称矩阵，因此我们可以先计算下三角矩阵的和sum。对角线上有n个1/1，因此对角线的和为n，这样这个分数矩阵的总和为2*sum-n。

下三角矩阵中有n行，第i行有i个数，依次为1/i、1/(i-1)、…、1/2、1/1，因此计算下三角矩阵的和采用简单循环即可完成。

(2)源程序。

#include

int main()

{

int n,i;

double presum,sum;

while (scanf("%d",&n) && n!=0)

{

presum=1.0;

sum=presum;

for (i=2;i<=n;i++)

{

presum+=1.0/i;      // 每行的和 1/i+1/(i-1)+…+1/2+1/1

sum+=presum;      // 下三角矩阵中各行和的总和

}

printf("%.2lf\n",sum*2-n);  // 上下三角阵的和减对角线的和

}

return 0;

}