基于计数栈的非递归二叉树遍历算法

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作者：中山大学赵耀 10389332

创作时间：2013.11.25

发表时间：2013.12.11

背景

　　遍历算法一般可按深度优先或广度优先进行。对于二叉树，深度优先遍历可分为前序、中序、后序遍历，而广度优先遍历对应于层先遍历。

　　二叉树的三种深度优先遍历的递归算法和层先遍历都十分简洁。可是二叉树的三种非递归深度优先遍历算法却抽象而难于理解，并且各自区别，形式上并不统一。

　　本文从另一种视角观察二叉树遍历的实质，给出一种基于计数栈的非递归二叉树遍历算法。该算法易于理解和记忆，并且将三种深搜遍历相统一，形式优雅。

另一种视角观察二叉树遍历的实质

　　如图，对任一二叉树，按箭头方向（左手扶墙的方式）可以完全经过所有节点，并且每个节点经过三次。该方式可描述为：每当到达一个节点，如果是第一次到达该节点，则向左拐，如果是第二次到达，则向右拐，如果是第三次到达，则向上拐。若所拐方向没有节点，也算作一次拐出和一次拐入。

　　在这种方式下，如果在每次到达一个节点时插入对该节点的访问函数，则形成了对应的前序、中序、后序遍历，其对应关系如下：

第一次到达-前序

第二次到达-中序

第三次到达-后序

二叉树中路径与栈的对应

　　如图，二叉树中，从根节点到任一节点所形成的路径中，到终点节点所在层为止，每一层有且仅有一个节点存在于这条路径中。因此，这条路径序列可以和一个栈序列相对应，其中，栈的第n个元素代表路径序列中，位于二叉树第n层的元素。

算法思想

　　根据以上分析，我们只需要模拟按箭头经过每一节点的过程，并在每次进入插入对应的访问函数，就可以形成对应的遍历算法。

　　如何模拟呢？当每次进入一个节点，我们需要根据已经进入该节点的次数来决定下一节和所使用的访问函数，所以首先需要对节点的进入次数进行计数。计数和访问该节点之后，下一节点可能是子节点，也可能是父节点。综上，可以通过对每一节点的数据结构增设一计数量和一父指针来实现该算法。

　　现在讨论另一种实现方式，即通过计数栈来实现。

　　基于以上分析，由于每一条路径唯一对应于一个栈状态，并且，如果栈的元素是节点，那么栈中每一元素的上一个元素就是该节点的父节点，所以可以一边访问每一个节点，一边形成对应的栈，在需要返回父节点时，只需要出栈上一节点即可，并且，注意到任一节点只有在访问满3次后才会从栈中移除，因此可以将该计数值设置在栈元素上，而不必设置到每一个节点上。由于栈的最大深度对应于树的深度，所以相对于前一种实现方案，该方案将节省许多空间。

数据结构

struct BTree
{int value;BTree* lchild;BTree* rchild;
};

具体算法

void travel(BTree* tree)
{stack<pair<BTree*, int>> work_stack;work_stack.push(make_pair(tree, 0)); while (!work_stack.empty()){pair<BTree*, int> p = work_stack.top();work_stack.pop();// increase the count to indicate that the node// has been entered (again)int count = ++p.second;if (count == 1){preVisit(p.first);work_stack.push(p);if (p.first->lchild != NULL)work_stack.push(make_pair(p.first->lchild, 0));}else if (count == 2){inVisit(p.first);work_stack.push(p);if (p.first->rchild != NULL)work_stack.push(make_pair(p.first->rchild, 0));}// if it's the third time entering the node// then don't push it because we will never// come back againelsepostVisit(p.first);}
}

演示代码

void preVisit(BTree* node)
{cout << "first time visit node " << node->value << endl;
}void inVisit(BTree* node)
{cout << "second time visit node " << node->value << endl;
}void postVisit(BTree* node)
{cout << "third time visit node " << node->value << endl;
}const int SIZE = 7;int main()
{BTree nodes[SIZE];for (int i = 0; i < SIZE; i++){nodes[i].value = i+1;int l = i*2+1;int r = i*2+2;if (l < SIZE)nodes[i].lchild = &nodes[l];elsenodes[i].lchild = NULL;if (r < SIZE)nodes[i].rchild = &nodes[r];elsenodes[i].rchild = NULL;}travel(nodes);
}

演示结果