矩阵的秩+基础解系的秩为什么等于n？

本文证明任何一个m×nm \times nm×n矩阵的秩和对应齐次线性方程组的秩和为n。

Rank-Nullity Theorem叙述如下：

对任意m×nm\times nm×n矩阵AAA
rank(A)+nullity(A)=n(1)rank(A) + nullity(A) = n \tag{1} rank(A)+nullity(A)=n(1)
其中, rank(A)rank(A)rank(A)是矩阵 AAA 的秩，nullity(A)nullity(A)nullity(A) 是矩阵 AAA 的 nullspqcenullspqcenullspqce 的秩。如果之前不知道矩阵 AAA 的nullspace(A),nullity(A)nullspace(A), \quad nullity(A)nullspace(A),nullity(A) 的定义，只需要把 nullity(A)nullity(A)nullity(A) 理解为齐次线性方程组(system of homogenous linear equations)
Ax⃗=0⃗(2)A \vec{x} = \vec{0} \tag{2} Ax=0(2)
的基础解系的秩（rank）即可。

证明如下:

当 rank(A)=nrank(A) = nrank(A)=n 时，那么 Ax=0⃗Ax=\vec{0}Ax=0 只有唯一的零解，根据空间维度的定义，立刻有方程（2）解空间的维度是0（零向量永远线性相关）。此时等式（1）成立。
当 rank(A)=r<nrank(A) \;= \;r \;< nrank(A)=r<n 时, 对矩阵 AAA 做高斯消元法，得到一个 行阶梯矩阵（严格要求非零行第一个非零元素为1）。此时，在方程（2）的解 x⃗\vec{x}x 的分量中有 n−r>0n-r>0n−r>0 个自由变量。选取行阶梯矩阵中不存在leading one 的列，对应 x⃗\vec{x}x 中的分量为自由变量（下面有例子说明怎么选取）。leading one指的是，行阶梯矩阵中非零行中第一个1。记
t1,t2,...tn−r(3)t_1,t_2,...t_{n-r} \tag{3} t1,t2,...tn−r(3)
为自由变量（标量）。如下图所示，矩阵的第1，2列有leading one，所以对应解向量的第1, 2个分量不是自由变量，而矩阵的第3,4列不含leading one，所以对应的解向量的第3, 4个分量是自由变量。并且把解向量中的3，4个自由变量分别赋值给t1,t2t_1, \;t_2t1,t2。

把自由变量移项到等号右边，令第tit_iti 对应的分量取1，其余分量取0（i=1,2,3,...,n−ri=1,2,3,...,n-ri=1,2,3,...,n−r ），得到
x⃗1,x⃗2,...x⃗n−r(4)\vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r} \tag{4} x1,x2,...xn−r(4)
其实，如下图所示，x⃗1,x⃗2\vec{x}_1,\vec{x}_2x1,x2 对应用红色序号标出来的1对应的x3x_3x3后面的列向量和x4x_4x4后面的列向量

注意到：
{x⃗1,x⃗2,...x⃗n−r}(5)\{\vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r}\} \tag{5} {x1,x2,...xn−r}(5)
是一组线性无关组（这里其实需要证明。事实上，因为每个向量 x⃗i\vec{x}_ixi 的构造方法导致了 x⃗i\vec{x}_ixi中 tit_iti对应的分量取1，而其他tj,j≠it_j\;,j \neq itj,j=i取0，注意这里tit_iti是前文选取的自由变量。那么如果每个向量x⃗i\vec{x}_ixi 都取其中的ti{t_i}ti对应的分量构成新的向量，这些新向量构成的显然是一个线性无关组。然后用反证法证明原来向量组是线性无关即可）。

进而，方程（2）的任何一个解都能表示成（3）的一个线性组合（这里其实是把自由变量移项到等号右边而已）
x⃗=t1x⃗1+t2x⃗2+...+tn−rx⃗n−r(6)\vec{x} = t_1\vec{x}_1+t_2\vec{x}_2+...+t_{n-r}\vec{x}_{n-r} \tag{6} x=t1x1+t2x2+...+tn−rxn−r(6)
这表明（5）张成了nullspace(A)nullspace(A)nullspace(A)。即（4）是nullspace(A)nullspace(A)nullspace(A)的一个基，故nullity(A)=n−rnullity(A)\; = \; n-rnullity(A)=n−r 。

等式6可能看上去会比较奇怪，拿解向量的分量（标量）tit_iti作向量的xix_ixi的系数。其实不奇怪，只需要认真看一下本文图2即可理解。实际上，x⃗i\vec{x}_ixi 和对应的自由向量所在列在行阶梯矩阵中的列向量有极大关联，大家自己观察就能发现。命题得证。

Proof:

If rank(AAA) = n, , the only solution to the above equation (2)(2)(2) is 0\mathbb 00. Thus nullspace(A)nullspace(A)nullspace(A) is {0}\{\mathbb{0}\}{0} . According to the definition of Linear Dependence, the relation of dimenson of space and number of vector in a maximal linearly independent group. Instanly obtains nullity(A)=0nullity(A)=0nullity(A)=0. Hence, equation(1)equation (1)equation(1) holds.

Now suppose rank(A)=r<nrank(A) \;= \;r \;< nrank(A)=r<n, do Gauss Elimination to matrix AAA, obtain a Row-Echelon matrix. In this case, there are n−r>0n\;-\;r\;>\;0n−r>0 free variables in the solution to equation (2). Let
t1,t2,...tn−rt_1,t_2,...t_{n-r} t1,t2,...tn−r
denote these free variables(chosen as those variables not attached to a leading one in any row-echelon form of AAA), and let
x⃗1,x⃗2,...x⃗n−r(7)\vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r} \tag{7} x1,x2,...xn−r(7)
denote the solutions obtained by sequentially setting each free variable to 1 and the remaining free variables to zero. Note that
{x⃗1,x⃗2,...x⃗n−r}(8)\{\vec{x}_1,\vec{x}_2,...\vec{x}_{n-r}\} \tag{8} {x1,x2,...xn−r}(8)
is linearly independent, since there is only one sequential element in each vector does not equas zeros. Moreover, every solution to equation (2) is a linear combination of (8) :
x⃗=t1x⃗1+t2x⃗2+...+tn−rx⃗n−r(9)\vec{x} = t_1\vec{x}_1+t_2\vec{x}_2+...+t_{n-r}\vec{x}_{n-r} \tag{9} x=t1x1+t2x2+...+tn−rxn−r(9)
which shows that (4) spans nullspace(A)nullspace(A)nullspace(A). Thus, (4) is a basis for nullspace(A)nullspace(A)nullspace(A), and nullity(A)=n−r.nullity(A)\; = \; n-r.nullity(A)=n−r. So the Rank-Nullity Theorem has been proved.

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