图论(9)图的连通度
目录
一、割边、割点和块
割边及其性质
割点及其性质
块
二、连通度
顶点割定义
点连通度定义
k连通定义
边割定义
边连通度
连通度性质
减去一个点/边性质
点连通度与边连通度关系
边数点数确定的图的点连通度上界
最小度大于点数的一半
由顶点和最小度来判断k连通
敏格儿定理
独立路概念
用点或边来分离两个顶点
敏格儿定理具体形式
应用(不作考试要求)
习题
一、割边、割点和块
割边及其性质
割边定义:
w(G-e)> w(G)是说删去边e后连通分支数增加,w代表一个图的连通分支数,注意删边不删点,所以对于树来说,每一条边都是割边
定理1给出了割边的充要条件,即不在圈中
割点及其性质
割点定义
G[E]为边导出子图
这里之所以(2)(3)都指出是无环图,因为对于有环的图,自环所在的那个点就是割点,且删去之后分支数不变,且连通图仍连通
由定理2可知,对于树来说,度大于1的顶点就是割点
定理3表明,无环连通图中所有顶点两两之间都有一条经过割点的路。
树叶不能为割点,而无环非平凡树至少有两片树叶,所以至少两个非割点,而无环非平凡图一定对应一个非平凡生成树,树叶连作为树的割点都做不到,就更不可能作为图的割点了。
上图中v1也是割点,因为v1可以把边分成两个子集,通过这两个边子集得到的边导出子图只有v1一个公共点,所以v1也是割点,所以对于图中的割点来说,对于连通图的割点,删去该点不一定就非连通,也有可能仍然是连通的。
块
块,图的块,两个定义
如上图,B1是G的块,B就不是,因为B1真包含B
注意第三点,至少两个点的块无环,这里的环指的是自环,而不是圈
至少三个点的块无割边,当然了,割边导出子图是块,如果包含割边的话就不满足图的块的极大性了。
块割点树是把块和割点都抽象成顶点,如果割点是某个块上的点,则把割点对应在块割点树中的顶点与块对应的顶点连接
二、连通度
接下来讨论的都是无环图
顶点割定义
对于本来就不连通的图来说,任意一个顶点集合就是一个点割,所以其最小点割怕不是个空集。
什么叫以完全图为生成子图呢?就是这个图,是在完全图的基础上加一些重边或环组成的图。所以当然可以以完全图为生成子图,当然,本章我们是不考虑有环的图的。(但是考虑重边哦)
点连通度定义
k连通定义
一个图是k连通的,意思是它的连通度大于等于k,比如一个图的连通度是5,则它是1连通,2连通,3连通,4连通,5连通,但它不是6连通的。
一个图是k连通的,也意味着任意删去k-1个点,该图仍然是连通的。
边割定义
任意一个图一定有边割,因为我们只需要找到图中的一个点,然后把它关联的所有边组成一个点割即可。
注意:点连通度和边连通度都只能通过观察得到。
边连通度
连通度性质
减去一个点/边性质
点连通度与边连通度关系
最小点割小于等于最小边割小于等于最小度
边数点数确定的图的点连通度上界
最小度大于点数的一半
由顶点和最小度来判断k连通
因为边连通度是小于等于最小度的,当最小度大于点数的一半时,边连通度可以取到上界,即最小度
敏格儿定理
该定理揭示了图的连通度与顶点间不相交路的数目之间的关系
独立路概念
两条路只有起点和终点重合,内部不重合,则称之为独立路。
用点或边来分离两个顶点
点分离是说删去这一组点后x,y之间就不存在路了,边分离是指删去这一组边后x,y之间就没有路了。
敏格儿定理具体形式
注意点形式的敏格儿定理要求x和y是不相邻点,因为如果两个点相邻的话,是没办法通过点来分割的
k点连通,两点间存在k条点不相交路,
k边连通,两点间存在k条边不相交路。
先证明(1)和(2)等价
再证明(2)与(3)等价
应用(不作考试要求)
对于要求k连通的图来说,如果k为偶数,则每个点依次与其后边的k/2个点连接,就得到了边数最少的n顶点k连通图,即哈拉里图
如果连通度k为奇数,顶点数为偶数,则先把k-1,得到一个哈拉里图,再把每个顶点与其对角线相连即可。
度数与顶点数都是奇数,如图,先把k-1的哈拉里图做出来,然后还是连对角线,不过因为顶点数是奇数,顶点没办法两两凑对,如图顶点数为9,9/2=4.5,则把4和5两个点都跟0相连,其它点再两两配对。
习题
图论(9)图的连通度相关推荐
- 图论学习--3 图的连通度(思维导图)割点 割边 块 连通度 连通度的性质
图的连通度 割边,割点,块 割边 图G删除e之后,连通分支变多 若G连通,删去割边之后,G不连通 定理1:e是G的割边当且仅当e不在G的任何圈中 由此可推论:e是连通图G的某圈中,则G-e仍然连通 必 ...
- 《图论及其应用》学习笔记(图的连通度)
图的连通度: 割边:删去后使G不连通的边.非平凡树每一条边都是割边. ps:若G是非连通图,若在某个连通分支上成立,在整个图上也成立,因为割边本质上是使连通度下降的边,所以只讨论连通图即可. 必要性证 ...
- neo4j python 算法_图论与图学习(二):图算法
选自towardsdatascience 作者:Maël Fabien机器之心编译参与:熊猫 图(graph)近来正逐渐变成机器学习的一大核心领域,比如你可以通过预测潜在的连接来理解社交网络的结构.检 ...
- 图论算法 最短路程_图论与图学习(二):图算法
选自towardsdatascience 作者:Maël Fabien 机器之心编译 参与:熊猫 图(graph)近来正逐渐变成机器学习的一大核心领域,比如你可以通过预测潜在的连接来理解社交网络的结构 ...
- 【SNA】社会网络分析三 图论与图学习
社会网络分析--三.图论与图学习 中间被很多人转了,我是从机器之心公众号(almosthuman2014)看到的,最初来源应该是 Maël Fabien 大佬的博客,致谢 https://github ...
- 图论与图学习(一):图的基本概念
图(graph)近来正逐渐变成机器学习的一大核心领域,比如你可以通过预测潜在的连接来理解社交网络的结构.检测欺诈.理解汽车租赁服务的消费者行为或进行实时推荐.近日,数据科学家 Maël Fabien ...
- 有向加权图 最大弱连通分支_图论与图学习(一):图的基本概念
图(graph)近来正逐渐变成机器学习的一大核心领域,比如你可以通过预测潜在的连接来理解社交网络的结构.检测欺诈.理解汽车租赁服务的消费者行为或进行实时推荐.近日,数据科学家 Maël Fabien ...
- 【图论】图,实现图(三种方式),二分图 详解
目录 一.图的基本概念 1.度 2.连通 (1)连通图 (2)强连通/强连通图 3.回路 4.完全图 二. 邻接矩阵实现图 三.邻接表实现图 四.链式前向星实现图 五. 二分图 概述 1.简单应用-二 ...
- 图论算法——图的遍历
图论算法也是非常基础且重要的算法(ps:好像没有不重要的......) 图的基本应用--图的遍历,从具体的题目着手,学习图的遍历方式及代码形式. 我们先来看一下题目,然后再具体分析图的遍历方式. 题目 ...
最新文章
- 8-flutter 异步和线程
- 超强后浪:14岁考上研究生,如今17岁的他或将成为全国最小的博士生!
- mysql主从出现异常,处理方法
- 产品经理怎么管理项目进度?
- 为什么要free释放内存_为什么在Free Code Camp上列出一份工作要花1,000美元?
- HDFS超租约异常总结(org.apache.hadoop.hdfs.server.namenode.LeaseExpiredException)
- java结构控制break和continue
- Java之面试基础知识学习笔记
- 脚本都不写,不能算正式测试
- 微型计算机基础知识答案,计算机基础知识授课试题及答案
- SIFT算法原理介绍
- 台式电脑连接电脑主机与显示器
- 4.jvm入门到精通
- LC.740. Delete and Earn
- LeetCode 413.等差数列的划分
- cup过高是什么意思_铁蛋白升高是什么原因?
- 双阈值检测阈值选择_通过阈值进行计算机视觉高级车道检测
- 蚁群算法(ACO)求解路径规划
- 【leetcode】108. 将有序数组转换为二叉搜索树
- plsql实现1..100累加、奇数之和、偶数之和