【泛函分析】Riemann-Stieltjes 积分

定义. 已知区间 [ a , b ] [a,b] [a,b], f ( x ) f(x) f(x) 是定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的有界实值函数, α ( x ) \alpha(x) α(x) 是定义在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上且单调递增的实值函数, 对于 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的任一分割 T = { Δ 1 , . . . , Δ n } T=\{\Delta_{1},...,\Delta_{n}\} T={Δ1,...,Δn}, 其中 Δ i = [ x i − 1 , x i ] \Delta_{i}=[x_{i-1},x_{i}] Δi=[xi−1,xi] 和任一点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , . . . , n i=1,...,n i=1,...,n, 定义和式
∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))
为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上关于 α ( x ) \alpha(x) α(x) 的一个 Riemann-Stieltjes (下文简称 R-S) 和. 当 ∥ T ∥ → 0 \parallel T\parallel \rightarrow 0 ∥T∥→0 时 R-S 和的极限称为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上关于 α ( x ) \alpha(x) α(x) 的 R-S 定积分, 记为 ∫ a b f ( x ) d α ( x ) \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}\alpha(x) ∫abf(x)dα(x). 如果该极限存在, 则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上关于 α ( x ) \alpha(x) α(x) R-S 可积.

R-S 定积分的 ϵ − δ \epsilon-\delta ϵ−δ 定义: 若存在实数 J J J, 使得: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 和任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))-J|\leq \epsilon ∣i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))−J∣≤ϵ
则称 J J J 为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上关于 α ( x ) \alpha(x) α(x) 的 R-S 定积分.

为简化叙述, 若不会引起歧义, 在提及关于 α ( x ) \alpha(x) α(x) 的 R-S 定积分时将略去 “关于 α ( x ) \alpha(x) α(x)”.

为便于叙述, 记分割 T T T 经 α \alpha α 映射得到的分割 α ( a ) = α ( x 0 ) ≤ α ( x 1 ) ≤ ⋯ ≤ α ( x n ) = α ( b ) \alpha(a) = \alpha(x_{0})\leq \alpha(x_{1})\leq \cdots \leq \alpha(x_{n})=\alpha(b) α(a)=α(x0)≤α(x1)≤⋯≤α(xn)=α(b) 为 α ( T ) \alpha(T) α(T), 它的细度为 ∥ α ( T ) ∥ \|\alpha(T)\| ∥α(T)∥.

定义. 对于任意的分割 T T T, 由于函数 f f f 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有界, 因此其必然在所有分段 Δ i \Delta_{i} Δi 上有界, 进而有上确界和下确界. 进一步地, 设 m i = inf ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) m_{i}=\inf\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x) mi=x∈Δiinff(x), M i = sup ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) M_{i}=\sup\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x) Mi=x∈Δisupf(x), i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 定义和式 ∑ i = 1 n m i ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) , ∑ i = 1 n M i ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) \sum\limits_{i=1}^{n}m_{i}(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})), \quad \sum\limits_{i=1}^{n}M_{i}(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) i=1∑nmi(α(xi)−α(xi−1)),i=1∑nMi(α(xi)−α(xi−1)) 为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上关于分割 T T T 的达布下和和达布上和, 分别记为 s ( T ) s(T) s(T) 和 S ( T ) S(T) S(T), 可见达布上和与达布下和仅与分割 T T T 有关, 是从属于 T T T 的两个属性. 显然 m ( α ( b ) − α ( a ) ) ≤ s ( T ) ≤ S ( T ) ≤ M ( α ( b ) − α ( a ) ) m(\alpha(b)-\alpha(a))\leq s(T)\leq S(T) \leq M(\alpha(b)-\alpha(a)) m(α(b)−α(a))≤s(T)≤S(T)≤M(α(b)−α(a)), 其中 M = sup ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) M=\sup\limits_{x\in [a,b]}f(x) M=x∈[a,b]supf(x), m = inf ⁡ x ∈ [ a , b ] f ( x ) m=\inf\limits_{x\in [a,b]}f(x) m=x∈[a,b]inff(x). 对于 T T T 上的任一点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, R-S 和 s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) s(T) \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq S(T) s(T)≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤S(T). 整理一下得到: 对于任意的分割 T T T 及 T T T 上的点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 有
m ( α ( b ) − α ( a ) ) ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) ≤ M ( α ( b ) − α ( a ) ) m(\alpha(b)-\alpha(a))\leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq S(T) \leq M(\alpha(b)-\alpha(a)) m(α(b)−α(a))≤s(T)≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤S(T)≤M(α(b)−α(a))
可以证明: 分割 T T T 的达布上和与达布下和分别是分割 T T T 与 T T T 上的所有点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 对应 R-S 和的上下确界, 即
s ( T ) = inf ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) , S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) s(T)=\inf\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha(x_{i-1})),\ S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha (x_{i-1})) s(T)={ξi}infi=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1)), S(T)={ξi}supi=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))
证明: 仅证明 S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha (x_{i-1})) S(T)={ξi}supi=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1)), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可以用类似方式证明.

当 α ( b ) − α ( a ) ≠ 0 \alpha(b)-\alpha(a)\neq 0 α(b)−α(a)=0 时, 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 在任意一个分段 Δ i ∈ { Δ 1 , . . . , Δ n } \Delta_{i}\in \{\Delta_{1},...,\Delta_{n}\} Δi∈{Δ1,...,Δn} 上, 由于 M i = sup ⁡ x ∈ Δ i f ( x ) M_{i}=\sup\limits_{x\in \Delta_{i}}f(x) Mi=x∈Δisupf(x), 因此存在 ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, 使得 f ( ξ i ) ≥ M i − ϵ α ( b ) − α ( a ) f(\xi_{i})\geq M_{i}-\frac{\epsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)} f(ξi)≥Mi−α(b)−α(a)ϵ, 由此构造出点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n. T T T 和 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi} 对应的 R-S 和满足
S ( T ) − ϵ = ∑ i = 1 n ( M i − ϵ α ( b ) − α ( a ) ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) S(T)-\epsilon=\sum\limits_{i=1}^{n}(M_{i}-\frac{\epsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq S(T) S(T)−ϵ=i=1∑n(Mi−α(b)−α(a)ϵ)(α(xi)−α(xi−1))≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤S(T)
当 α ( b ) − α ( a ) = 0 \alpha(b)-\alpha(a) = 0 α(b)−α(a)=0 时, 显然 α ( x ) \alpha(x) α(x) 为常数, 进而
m ( α ( b ) − α ( a ) ) = s ( T ) = ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) = S ( T ) = M ( α ( b ) − α ( a ) ) = 0 m(\alpha(b)-\alpha(a))=s(T)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha (x_{i})-\alpha (x_{i-1}))=S(T)=M(\alpha(b)-\alpha(a))=0 m(α(b)−α(a))=s(T)=i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))=S(T)=M(α(b)−α(a))=0
结论亦成立.

定理1. 若分割 T ′ T' T′ 是在分割 T T T 的基础上增加 p p p 个分点得到的, 则
s ( T ) + ( M − m ) p ∥ α ( T ) ∥ ≥ s ( T ′ ) ≥ s ( T ) s(T)+(M-m)p \parallel \alpha(T) \parallel \geq s(T') \geq s(T) s(T)+(M−m)p∥α(T)∥≥s(T′)≥s(T)

S ( T ) − ( M − m ) p ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \parallel \alpha(T) \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)−(M−m)p∥α(T)∥≤S(T′)≤S(T)

证明: 我们证明 S ( T ) − ( M − m ) p ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p \parallel \alpha(T) \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)−(M−m)p∥α(T)∥≤S(T′)≤S(T), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.

当 p = 1 p=1 p=1 时, 设新增的分点在第 i i i 个子区间, 记为 x i ′ x_{i}' xi′, 达布上和中这一区间对应的项变为
M i ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) → M i ′ ( α ( x i ′ ) − α ( x i − 1 ) ) + M i ′ ′ ( α ( x i ) − α ( x i ′ ) ) M_{i}(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\rightarrow M_{i}'(\alpha(x_{i}')-\alpha(x_{i-1}))+ M_{i}''(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i}')) Mi(α(xi)−α(xi−1))→Mi′(α(xi′)−α(xi−1))+Mi′′(α(xi)−α(xi′))
这里 M i ′ M_{i}' Mi′ 和 M i ′ ′ M_{i}'' Mi′′ 分别是插入分点左侧和右侧的区间上的最大值. 显然 M i ′ M_{i}' Mi′ 和 M i ′ ′ M_{i}'' Mi′′ 都不超过 M M M, 插入分点前后的此项的差值为
M i ′ ( α ( x i ′ ) − α ( x i − 1 ) ) + M i ′ ′ ( α ( x i ) − α ( x i ′ ) ) − M i ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) = ( M i ′ − M i ) ( α ( x i ′ ) − α ( x i − 1 ) ) + ( M i ′ ′ − M i ) ( α ( x i ) − α ( x i ′ ) ) ≤ 0 M_{i}'(\alpha(x_{i}')-\alpha(x_{i-1}))+ M_{i}''(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i}'))-M_{i}(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) = \\(M_{i}'-M_{i})(\alpha(x_{i}')-\alpha(x_{i-1}))+(M_{i}''-M_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i}')) \leq 0 Mi′(α(xi′)−α(xi−1))+Mi′′(α(xi)−α(xi′))−Mi(α(xi)−α(xi−1))=(Mi′−Mi)(α(xi′)−α(xi−1))+(Mi′′−Mi)(α(xi)−α(xi′))≤0
其中 M i − M i ′ ≤ M i − m i ≤ M − m M_{i}-M_{i}'\leq M_{i}-m_{i}\leq M-m Mi−Mi′≤Mi−mi≤M−m, M i − M i ′ ′ ≤ M i − m i ≤ M − m M_{i}-M_{i}''\leq M_{i}-m_{i}\leq M-m Mi−Mi′′≤Mi−mi≤M−m, α ( x i ′ ) − α ( x i − 1 ) ≤ ∥ α ( T ) ∥ \alpha(x_{i}')-\alpha(x_{i-1})\leq \parallel \alpha(T) \parallel α(xi′)−α(xi−1)≤∥α(T)∥, α ( x i ) − α ( x i ′ ) ≤ ∥ α ( T ) ∥ \alpha(x_{i})-\alpha(x_{i}') \leq \parallel \alpha(T) \parallel α(xi)−α(xi′)≤∥α(T)∥, 因此 S ( T ) − ( M − m ) ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) \parallel \alpha(T) \parallel \leq S(T') \leq S(T) S(T)−(M−m)∥α(T)∥≤S(T′)≤S(T).
若 p = n − 1 p=n-1 p=n−1 时成立, 求证 p = n p=n p=n 时成立: 设插入 n − 1 n-1 n−1 个分点后得到 T n − 1 T^{n-1} Tn−1, 根据归纳假设,
S ( T ) − ( M − m ) ( n − 1 ) ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T n − 1 ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m) (n-1) \parallel \alpha(T) \parallel \leq S(T^{n-1}) \leq S(T) S(T)−(M−m)(n−1)∥α(T)∥≤S(Tn−1)≤S(T)
此时再插入一点, 得到 T n T^{n} Tn, 由 p = 1 p=1 p=1 的结论, 有
S ( T n − 1 ) − ( M − m ) ∥ α ( T n − 1 ) ∥ ≤ S ( T n ) ≤ S ( T n − 1 ) S(T^{n-1})-(M-m) \parallel \alpha(T^{n-1}) \parallel \leq S(T^{n}) \leq S(T^{n-1}) S(Tn−1)−(M−m)∥α(Tn−1)∥≤S(Tn)≤S(Tn−1)
由于 ∥ α ( T n − 1 ) ∥ ≤ ∥ α ( T ) ∥ \parallel \alpha(T^{n-1}) \parallel\leq \parallel \alpha(T) \parallel ∥α(Tn−1)∥≤∥α(T)∥, 再结合 p = n − 1 p=n-1 p=n−1 时的结论, 有
S ( T ) − ( M − m ) n ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T n ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)n \parallel \alpha(T) \parallel \leq S(T^{n}) \leq S(T) S(T)−(M−m)n∥α(T)∥≤S(Tn)≤S(T)
证毕.

这个结论表明, 若分割 T ′ T' T′ 是由分割 T T T 增加分点得到的, 即 T ′ T' T′ 是更精细的分割, 则 T ′ T' T′ 的达布上和不高于 T T T 的达布上和, T ′ T' T′ 的达布下和不低于 T T T 的达布下和.

定理2. 对于任意分割 T T T 和 T ′ T' T′, T ′ T' T′ 的达布上和不会低于 T T T 的达布下和, 达布下和不会高于 T T T 的达布上和, 即
s ( T ′ ) ≤ S ( T ) s(T')\leq S(T) s(T′)≤S(T)

S ( T ′ ) ≥ s ( T ) S(T') \geq s(T) S(T′)≥s(T)

证明:

设 T T T 和 T ′ T' T′ 的分点合并后得到 T + T ′ T+T' T+T′, 根据定理4.4.2, 有
s ( T ′ ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) s(T') \leq s(T+T')\leq S(T+T')\leq S(T) s(T′)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T)

s ( T ) ≤ s ( T + T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) s(T) \leq s(T+T')\leq S(T+T')\leq S(T') s(T)≤s(T+T′)≤S(T+T′)≤S(T′)

证毕.

这个结论表明, 一个分割的达布上和不会低于任何分割的达布下和, 一个分割的达布下和不会超过任何分割的达布上和, 达布上和的取值范围整体大于等于达布下和的取值范围.

对于任意的分割 T T T, m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq S(T) \leq M(b-a) m(b−a)≤s(T)≤S(T)≤M(b−a), 因此 s ( T ) s(T) s(T) 有上界, S ( T ) S(T) S(T) 有下界, 进而 s ( T ) s(T) s(T) 有上确界, S ( T ) S(T) S(T) 有下确界.

定义. 分别称 s = sup ⁡ T s ( T ) s=\sup\limits_{T} s(T) s=Tsups(T), S = sup ⁡ T S ( T ) S=\sup\limits_{T} S(T) S=TsupS(T) 为下积分和上积分, 由以上分析可知 s ≤ S s\leq S s≤S. 整理一下, 可得结论: 对于任意分割 T T T, 有 m ( b − a ) ≤ s ( T ) ≤ s ≤ S ≤ S ( T ) ≤ M ( b − a ) m(b-a)\leq s(T)\leq s \leq S\leq S(T)\leq M(b-a) m(b−a)≤s(T)≤s≤S≤S(T)≤M(b−a).

定理3. 当达布上和在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限存在时, 其必然等于 S S S, 即 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0limS(T); 当达布下和在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限存在时, 其必然等于 s s s, 即 s = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) s=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) s=∥T∥→0lims(T).

下面证明关于 S ( T ) S(T) S(T) 的结论, 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.

记 J = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) J=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) J=∥T∥→0limS(T).

证明 S ≥ J S\geq J S≥J: 可知对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得当 ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ 时, ∣ S ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |S(T)-J|\leq \epsilon ∣S(T)−J∣≤ϵ. 若 S < J S\lt J S<J, 则取 ϵ = 1 3 ( J − S ) \epsilon=\frac{1}{3}(J-S) ϵ=31(J−S), 则可得到存在一个分割 T ϵ T_{\epsilon} Tϵ 满足 S ( T ϵ ) ≤ S + ϵ S(T_{\epsilon})\leq S+\epsilon S(Tϵ)≤S+ϵ, 将 T ϵ T_{\epsilon} Tϵ 逐渐加细, 直至加细后的分割 T ϵ ′ T_{\epsilon}' Tϵ′ 满足 ∥ T ϵ ′ ∥ ≤ δ \|T_{\epsilon}'\|\leq \delta ∥Tϵ′∥≤δ, 此时 S ( T ϵ ′ ) ≤ S + ϵ < J − ϵ S(T_{\epsilon}')\leq S+\epsilon \lt J-\epsilon S(Tϵ′)≤S+ϵ<J−ϵ, 与 J = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) J=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) J=∥T∥→0limS(T) 矛盾.

证明 S ≤ J S\leq J S≤J: 若 S > J S\gt J S>J, 则取 ϵ = 1 3 ( S − J ) \epsilon=\frac{1}{3}(S-J) ϵ=31(S−J), 则可得到存在一个分割 T ϵ T_{\epsilon} Tϵ 满足 S ( T ϵ ) ≤ J + ϵ < S S(T_{\epsilon})\leq J+\epsilon \lt S S(Tϵ)≤J+ϵ<S, 与 S = sup ⁡ T S ( T ) S=\sup\limits_{T} S(T) S=TsupS(T) 矛盾.

达布上和 S ( T ) S(T) S(T) 和达布下和 s ( T ) s(T) s(T) 在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限可能不存在, 这里举一个反例:

研究闭区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1], [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上的函数 f ( x ) f(x) f(x) 定义为:
f ( x ) = { x , ∀ x ∈ ( 0 , 1 2 ] x + 1 2 , ∀ x ∈ [ 1 2 , 1 ] f(x) = \begin{cases} x, \ &\forall x\in (0, \frac{1}{2}] \\ x+\frac{1}{2}, \ &\forall x\in [\frac{1}{2},1] \end{cases} f(x)={x, x+21, ∀x∈(0,21]∀x∈[21,1]
α ( x ) = f ( x ) \alpha(x)=f(x) α(x)=f(x), 则 α ( x ) \alpha(x) α(x) 为单调递增函数. 对于一列逐渐加细(细度趋于0)的分割 T n T_{n} Tn, 为便于分析, 设其为 0 = x 0 n < x 1 n < . . . < x s n n = 1 0=x_{0}^{n}\lt x_{1}^{n}\lt ... \lt x_{s_{n}}^{n}=1 0=x0n<x1n<...<xsnn=1, 考虑 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上关于 T n T_{n} Tn 的达布上和 S ( T n ) S(T_{n}) S(Tn): 若分割 T n T_{n} Tn 始终不包括跳变点 1 2 \frac{1}{2} 21, 即跳变点始终在一个子区间内, 记为 [ x k n , x x k n + 1 ] [x_{k_{n}}, x_{x_{k_{n}+1}}] [xkn,xxkn+1], 记 T n T_{n} Tn 以 [ x k n , x k n + 1 ] [x_{k_{n}},x_{k_{n}+1}] [xkn,xkn+1] 为界左右两个子分割为 T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr, 易知:
S ( T n ) = S [ 0 , x k n ] ( T n l ) + sup ⁡ x ∈ ( x k n , x k n + 1 ] f ( x ) ( α ( x k n + 1 ) − α ( x k n ) ) + S [ x k n + 1 , 1 ] ( T n r ) S(T_{n})=S^{[0, x_{k_{n}}]}(T_{n}^{l})+\sup\limits_{x\in (x_{k_{n}}, x_{k_{n}+1}]} f(x)(\alpha(x_{k_{n}+1})-\alpha(x_{k_{n}}))+S^{[x_{k_{n}+1},1]}(T_{n}^{r}) S(Tn)=S[0,xkn](Tnl)+x∈(xkn,xkn+1]supf(x)(α(xkn+1)−α(xkn))+S[xkn+1,1](Tnr)
T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr 也是逐渐加细的分割, 且其达布上和分别等于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ 0 , x k n ] [0, x_{k_{n}}] [0,xkn] 和 [ x k n + 1 , 1 ] [x_{k_{n}+1},1] [xkn+1,1] 上关于 T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr 的黎曼达布上和 (基于黎曼和定义的达布上和, 以 S R S_{R} SR 表示), 整理一下, 即
S [ 0 , x k n ] ( T n l ) = S R [ 0 , x k n ] ( T n l ) S^{[0, x_{k_{n}}]}(T_{n}^{l})=S_{R}^{[0, x_{k_{n}}]}(T_{n}^{l}) S[0,xkn](Tnl)=SR[0,xkn](Tnl)

S [ x k n + 1 , 1 ] ( T n r ) = S R [ x k n + 1 , 1 ] ( T n r ) S^{[x_{k_{n}+1},1]}(T_{n}^{r})=S_{R}^{[x_{k_{n}+1},1]}(T_{n}^{r}) S[xkn+1,1](Tnr)=SR[xkn+1,1](Tnr)

随着 n → ∞ n\rightarrow \infty n→∞, ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0, 则 x k n , x k n + 1 → 1 2 x_{k_{n}}, x_{k_{n}+1}\rightarrow \frac{1}{2} xkn,xkn+1→21进而:
lim ⁡ n → ∞ S R [ 0 , x k n ] ( T n l ) + lim ⁡ n → ∞ S R [ x k n + 1 , 1 ] ( T n r ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S R [ 0 , 1 2 ] ( T ) + lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S R [ 1 2 , 1 ] ( T ) = ∫ 0 1 2 f ( x ) d x + ∫ 1 2 1 f ( x ) d x = 3 4 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{R}^{[0, x_{k_{n}}]}(T_{n}^{l})+\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{R}^{[x_{k_{n}+1},1]}(T_{n}^{r}) = \lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S_{R}^{[0, \frac{1}{2}]}(T)+\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S_{R}^{[\frac{1}{2},1]}(T) = \int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x = \frac{3}{4} n→∞limSR[0,xkn](Tnl)+n→∞limSR[xkn+1,1](Tnr)=∥T∥→0limSR[0,21](T)+∥T∥→0limSR[21,1](T)=∫021f(x)dx+∫211f(x)dx=43
对于中间的一项, sup ⁡ x ∈ ( x k n , x k n + 1 ] f ( x ) ≥ 1 \sup\limits_{x\in (x_{k_{n}}, x_{k_{n}+1}]} f(x)\geq 1 x∈(xkn,xkn+1]supf(x)≥1 , α ( x k n + 1 ) − α ( x k n ) ≥ 1 2 \alpha(x_{k_{n}+1})-\alpha(x_{k_{n}})\geq \frac{1}{2} α(xkn+1)−α(xkn)≥21, 但随着区间的逐渐加细, sup ⁡ x ∈ ( x k n , x k n + 1 ] f ( x ) → 1 \sup\limits_{x\in (x_{k_{n}}, x_{k_{n}+1}]} f(x)\rightarrow 1 x∈(xkn,xkn+1]supf(x)→1, α ( x k n + 1 ) − α ( x k n ) → 1 2 \alpha(x_{k_{n}+1})-\alpha(x_{k_{n}})\rightarrow \frac{1}{2} α(xkn+1)−α(xkn)→21, 因此在 S ( T n ) S(T_{n}) S(Tn) 的达布上和中对应的项趋于 1 2 \frac{1}{2} 21.

综上, lim ⁡ n → ∞ S ( T n ) = 5 4 \lim\limits_{n\rightarrow \infty} S(T_{n})=\frac{5}{4} n→∞limS(Tn)=45.

而若分割 T n T_{n} Tn 始终包括跳变点 1 2 \frac{1}{2} 21, 设其为分割点 x k n x_{k_{n}} xkn, 记 T n T_{n} Tn 以 x k n x_{k_{n}} xkn 为界左右两个子分割为 T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr, 易知: f ( x ) f(x) f(x) 在 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] 上关于 T n T_{n} Tn 的达布上和可以视为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ 0 , 1 2 ] [0,\frac{1}{2}] [0,21] 和 [ 1 2 , 1 ] [\frac{1}{2},1] [21,1] 上分别关于 T n T_{n} Tn 两个子分割 T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr 的达布上和的之和,
S ( T n ) = S [ 0 , 1 2 ] ( T n l ) + S [ 1 2 , 1 ] ( T n r ) S(T_{n})=S^{[0, \frac{1}{2}]}(T_{n}^{l})+S^{[\frac{1}{2},1]}(T_{n}^{r}) S(Tn)=S[0,21](Tnl)+S[21,1](Tnr)
T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr 也是逐渐加细的分割, 且其达布上和分别等于 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ 0 , 1 2 ] [0,\frac{1}{2}] [0,21] 和 [ 1 2 , 1 ] [\frac{1}{2},1] [21,1] 上关于 T n l T_{n}^{l} Tnl 和 T n r T_{n}^{r} Tnr 的黎曼达布上和, 整理一下, 即
S [ 0 , 1 2 ] ( T n l ) = S R [ 0 , 1 2 ] ( T n l ) S^{[0, \frac{1}{2}]}(T_{n}^{l})=S^{[0, \frac{1}{2}]}_{R}(T_{n}^{l}) S[0,21](Tnl)=SR[0,21](Tnl)

S [ 1 2 , 1 ] ( T n r ) = S R [ 1 2 , 1 ] ( T n r ) S^{[\frac{1}{2},1]}(T_{n}^{r}) = S^{[\frac{1}{2},1]}_{R}(T_{n}^{r}) S[21,1](Tnr)=SR[21,1](Tnr)

进而:
lim ⁡ n → ∞ S R [ 0 , 1 2 ] ( T n l ) + lim ⁡ n → ∞ S R [ 1 2 , 1 ] ( T n r ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S R [ 0 , 1 2 ] ( T ) + lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S R [ 1 2 , 1 ] ( T ) = ∫ 0 1 2 f ( x ) d x + ∫ 1 2 1 f ( x ) d x = 3 4 \lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{R}^{[0, \frac{1}{2}]}(T_{n}^{l})+\lim\limits_{n\rightarrow \infty}S_{R}^{[\frac{1}{2},1]}(T_{n}^{r}) = \lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S_{R}^{[0, \frac{1}{2}]}(T)+\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S_{R}^{[\frac{1}{2},1]}(T) = \int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x + \int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)\mathrm{d}x = \frac{3}{4} n→∞limSR[0,21](Tnl)+n→∞limSR[21,1](Tnr)=∥T∥→0limSR[0,21](T)+∥T∥→0limSR[21,1](T)=∫021f(x)dx+∫211f(x)dx=43
综上, lim ⁡ n → ∞ S ( T n ) = 3 4 \lim\limits_{n\rightarrow \infty} S(T_{n})=\frac{3}{4} n→∞limS(Tn)=43.

显然, 达布上和 S ( T ) S(T) S(T) 在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限不存在, 同理, 可以验证达布下和 S ( T ) S(T) S(T) 在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限不存在.

还可以求出 S = s = 3 4 S=s=\frac{3}{4} S=s=43, 因此该反例亦说明 S = s S=s S=s 并不能推出 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S(T)=\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}s(T) ∥T∥→0limS(T)=∥T∥→0lims(T).

定理4. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 R-S 可积的充要条件是: lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S(T)=\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}s(T) ∥T∥→0limS(T)=∥T∥→0lims(T).

证明: (1) 充分性: 设 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = J \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T)=J ∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T)=J, 进而对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta \gt 0 δ>0, 对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 有
J − ϵ ≤ s ( T ) ≤ s ≤ S ≤ S ( T ) ≤ J + ϵ J-\epsilon\leq s(T)\leq s\leq S \leq S(T) \leq J+\epsilon J−ϵ≤s(T)≤s≤S≤S(T)≤J+ϵ
此时对于分割 T T T 上的任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 所得的 R-S 和满足:
J − ϵ ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) ≤ J + ϵ J-\epsilon \leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) \leq S(T)\leq J+\epsilon J−ϵ≤s(T)≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤S(T)≤J+ϵ
即 ∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) -J|\leq \epsilon ∣i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))−J∣≤ϵ, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 R-S 可积且积分值为 J J J.

必要性: 由 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积可知, 存在实数 J J J, 使得对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon\gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意分割 T = { Δ 1 , … , Δ n } T=\{\Delta_{1},\dots,\Delta_{n}\} T={Δ1,…,Δn}, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ , 和任意点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , … , n i=1,\dots,n i=1,…,n, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))-J|\leq \epsilon ∣i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))−J∣≤ϵ
即
J − ϵ ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ J + ϵ J-\epsilon \leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq J+\epsilon J−ϵ≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤J+ϵ
进而有
J − ϵ ≤ s ( T ) = inf ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ J + ϵ J − ϵ ≤ S ( T ) = sup ⁡ { ξ i } ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ J + ϵ J-\epsilon \leq s(T)=\inf\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq J+\epsilon\\ J-\epsilon \leq S(T)=\sup\limits_{\{\xi_{i}\}}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq J+\epsilon J−ϵ≤s(T)={ξi}infi=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤J+ϵJ−ϵ≤S(T)={ξi}supi=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤J+ϵ
因此有 ∣ s ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |s(T)-J|\leq \epsilon ∣s(T)−J∣≤ϵ, ∣ S ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |S(T)-J|\leq \epsilon ∣S(T)−J∣≤ϵ. 所以 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = J \lim\limits_{\parallel T\parallel \rightarrow 0}s(T)=\lim\limits_{\parallel T\parallel \rightarrow 0}S(T)=J ∥T∥→0lims(T)=∥T∥→0limS(T)=J.

由上述证明过程可知, 当 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上可积时, ∫ a b f ( x ) d x = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S(T)=\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}s(T) ∫abf(x)dx=∥T∥→0limS(T)=∥T∥→0lims(T).

结合上述两条定理, 当 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}s(T) ∥T∥→0lims(T) 和 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0}S(T) ∥T∥→0limS(T) 存在时, f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 R-S 可积的充要条件还可以补充 2 条: (1) S = s S=s S=s. (2) 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在分割 T T T 使得 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ.

证明: (1) lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}S(T)=\lim\limits_{\|T\|\rightarrow 0}s(T) ∥T∥→0limS(T)=∥T∥→0lims(T) ⟺ \iff ⟺ S = s S=s S=s.

(2) 充分性: 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在分割 T T T 使得 ∣ S − s ∣ ≤ ∣ S ( T ) − s ( T ) ∣ ≤ ϵ |S-s|\leq|S(T)-s(T)|\leq \epsilon ∣S−s∣≤∣S(T)−s(T)∣≤ϵ. 由 ϵ \epsilon ϵ 的任意性, S = s S=s S=s, 由 (1) 的结论, f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 R-S 可积.

必要性: 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 R-S 可积, 则由 (1) 的结论, s = S s=S s=S, 即 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T)=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) ∥T∥→0limS(T)=∥T∥→0lims(T), 所以 lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) − s ( T ) = 0 \lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T)-s(T)=0 ∥T∥→0limS(T)−s(T)=0. 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意的分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ.

定理5. f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上 R-S 可积的另一个充要条件是: 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得任意分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ.

证明: 充分性: 由已知条件进一步可知, S − s ≤ S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S-s\leq S(T)-s(T)\leq \epsilon S−s≤S(T)−s(T)≤ϵ, 由 ϵ \epsilon ϵ 的任意性可知 S = s S=s S=s, 设 J = S = s J=S=s J=S=s. 进而 ∣ S ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |S(T)-J|\leq \epsilon ∣S(T)−J∣≤ϵ, ∣ s ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |s(T)-J|\leq \epsilon ∣s(T)−J∣≤ϵ, 对于任一点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , . . . , n i=1,...,n i=1,...,n, 有
J − ϵ ≤ s ( T ) ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ S ( T ) ≤ J + ϵ J-\epsilon\leq s(T)\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1})) \leq S(T) \leq J+\epsilon J−ϵ≤s(T)≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤S(T)≤J+ϵ
即
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))-J|\leq \epsilon ∣i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))−J∣≤ϵ
由此可知 J J J 是 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上的 R-S 积分.

必要性: 由已知条件可知, 存在实数 J J J, 使得: 对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于任意分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 和任一点列 { ξ i } \{\xi_{i}\} {ξi}, ξ i ∈ Δ i \xi_{i}\in \Delta_{i} ξi∈Δi, i = 1 , . . . , n i=1,...,n i=1,...,n, 有
∣ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) − J ∣ ≤ ϵ |\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))-J|\leq \epsilon ∣i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))−J∣≤ϵ
即
J − ϵ ≤ ∑ i = 1 n f ( ξ i ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ J + ϵ J-\epsilon\leq \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq J+\epsilon J−ϵ≤i=1∑nf(ξi)(α(xi)−α(xi−1))≤J+ϵ
由于达布上和和达布下和分别是 R-S 和关于点列的上下确界, 因此有 ∣ S ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |S(T)-J|\leq \epsilon ∣S(T)−J∣≤ϵ, ∣ s ( T ) − J ∣ ≤ ϵ |s(T)-J|\leq \epsilon ∣s(T)−J∣≤ϵ, 进而 ∣ S ( T ) − s ( T ) ∣ ≤ 2 ϵ |S(T)-s(T)|\leq 2\epsilon ∣S(T)−s(T)∣≤2ϵ, 进而易知命题成立.

定理6. 当 ∥ T ∥ → 0 \|T\| \rightarrow 0 ∥T∥→0 时, ∥ α ( T ) ∥ → 0 \|\alpha(T)\|\rightarrow 0 ∥α(T)∥→0 时, 上下积分, 也就是达布上和的下确界和达布下和的上确界, 分别等于达布上和达布下和在 ∥ T ∥ → 0 \|T\|\rightarrow 0 ∥T∥→0 时的极限, 即 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0limS(T), s = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 s ( T ) s=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} s(T) s=∥T∥→0lims(T).

证明: 下面证明 S = lim ⁡ ∥ T ∥ → 0 S ( T ) S=\lim\limits_{\parallel T \parallel\rightarrow 0} S(T) S=∥T∥→0limS(T), 关于 s ( T ) s(T) s(T) 的结论可类似证明.

即证: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 对于任意的分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \parallel T \parallel\leq \delta ∥T∥≤δ, 必有
S ( T ) − S ≤ ϵ S(T)-S\leq \epsilon S(T)−S≤ϵ
由下确界的定义, 对于任意 ϵ ′ > 0 \epsilon'\gt 0 ϵ′>0, 必然存在分割 T T T, 使得 S ≤ S ( T ) ≤ S + ϵ ′ S\leq S(T)\leq S+\epsilon' S≤S(T)≤S+ϵ′,

对于任意分割 T ′ T' T′, 记 T T T 和 T ′ T' T′ 合并后的分割为 T + T ′ T+T' T+T′, 对于 T T T 而言, T + T ′ T+T' T+T′ 至多新增了 p T ′ p_{T'} pT′ 个点, 对于 T ′ T' T′ 而言, T + T ′ T+T' T+T′ 至多新增了 p T p_{T} pT 个点, 由上述定理, 有
S ( T ′ ) − ( M − m ) p T ′ ∥ α ( T ′ ) ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ′ ) S(T')-(M-m)p_{T'}\parallel \alpha(T')\parallel\leq S(T+T')\leq S(T') S(T′)−(M−m)pT′∥α(T′)∥≤S(T+T′)≤S(T′)

S ( T ) − ( M − m ) p T ∥ α ( T ) ∥ ≤ S ( T + T ′ ) ≤ S ( T ) S(T)-(M-m)p_{T}\parallel \alpha(T)\parallel\leq S(T+T')\leq S(T) S(T)−(M−m)pT∥α(T)∥≤S(T+T′)≤S(T)

因此 S ( T ′ ) ≤ S ( T + T ′ ) + ( M − m ) p T ′ ∥ α ( T ′ ) ∥ ≤ S ( T ) + ( M − m ) p T ′ ∥ α ( T ′ ) ∥ S(T')\leq S(T+T') + (M-m)p_{T'}\parallel \alpha(T')\parallel\leq S(T) + (M-m)p_{T'}\parallel \alpha(T')\parallel S(T′)≤S(T+T′)+(M−m)pT′∥α(T′)∥≤S(T)+(M−m)pT′∥α(T′)∥.

因此对于任意 T ′ T' T′, 满足 ∥ α ( T ′ ) ∥ ≤ ϵ ′ ( M − m ) p T ′ \parallel \alpha(T')\parallel\leq \frac{\epsilon'}{(M-m)p_{T'}} ∥α(T′)∥≤(M−m)pT′ϵ′, 则有
S ( T ′ ) ≤ S ( T ) + ϵ ′ ≤ S + 2 ϵ ′ S(T')\leq S(T)+\epsilon' \leq S+2\epsilon' S(T′)≤S(T)+ϵ′≤S+2ϵ′
特别地, 对于 ϵ ′ = ϵ 2 \epsilon'=\frac{\epsilon}{2} ϵ′=2ϵ, 此时
S ( T ′ ) − S ≤ ϵ S(T')-S\leq \epsilon S(T′)−S≤ϵ

由此可知, 存在 δ > 0 \delta \gt 0 δ>0, 使得当 ∥ T ′ ∥ ≤ δ \|T'\|\leq \delta ∥T′∥≤δ 时, ∥ α ( T ′ ) ∥ ≤ ϵ ′ ( M − m ) p T ′ \parallel \alpha(T')\parallel\leq \frac{\epsilon'}{(M-m)p_{T'}} ∥α(T′)∥≤(M−m)pT′ϵ′, 证毕.

当 ∥ T ∥ → 0 \|T\| \rightarrow 0 ∥T∥→0 时, ∥ α ( T ) ∥ → 0 \|\alpha(T)\|\rightarrow 0 ∥α(T)∥→0 等价于 α ( x ) \alpha(x) α(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致连续:
⇐ \Leftarrow ⇐: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得对于 ∀ x , x ′ ∈ [ a , b ] \forall x, x'\in [a,b] ∀x,x′∈[a,b], ∣ x − x ′ ∣ ≤ δ |x-x'|\leq \delta ∣x−x′∣≤δ, 有 ∣ α ( x ) − α ( x ′ ) ∣ ≤ ϵ |\alpha(x)-\alpha(x')|\leq \epsilon ∣α(x)−α(x′)∣≤ϵ. 当 ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ 时, ∣ x i − x i − 1 ∣ ≤ δ |x_{i}-x_{i-1}|\leq \delta ∣xi−xi−1∣≤δ, 进而 ∣ α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ∣ ≤ ϵ |\alpha(x_{i})-\alpha (x_{i-1})|\leq \epsilon ∣α(xi)−α(xi−1)∣≤ϵ.
⇒ \Rightarrow ⇒: 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得当 ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ 时, ∥ α ( T ) ∥ ≤ ϵ \|\alpha(T)\|\leq \epsilon ∥α(T)∥≤ϵ, 对于 ∀ x , x ′ ∈ [ a , b ] \forall x, x'\in [a,b] ∀x,x′∈[a,b], x ≤ x ′ x\leq x' x≤x′, ∣ x − x ′ ∣ ≤ δ |x-x'|\leq \delta ∣x−x′∣≤δ, 考虑将 [ a , x ] [a,x] [a,x] 和 [ x , b ] [x,b] [x,b] 按照小于等于 δ \delta δ 的细度进行划分, 得到一个分割 T T T, 其满足 ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 进而 ∣ α ( x ) − α ( x ′ ) ∣ ≤ ∥ α ( T ) ∥ ≤ ϵ |\alpha(x)-\alpha(x')|\leq \|\alpha(T)\|\leq \epsilon ∣α(x)−α(x′)∣≤∥α(T)∥≤ϵ.

上述判断准则不够直观, 下面给出一些较为直观的可积的充分条件:

(1) 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是连续的, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是 R-S 可积的.

证明: f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致连续, 则对于 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ, ∃ δ > 0 \exists \delta\gt 0 ∃δ>0, 使得对于 ∀ x , x ′ ∈ [ a , b ] \forall x,x'\in [a,b] ∀x,x′∈[a,b], ∣ x − x ′ ∣ ≤ δ |x-x'|\leq \delta ∣x−x′∣≤δ, ∣ f ( x ) − f ( x ′ ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x')|\leq \epsilon ∣f(x)−f(x′)∣≤ϵ. 对于任一分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ,
S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ ( α ( b ) − α ( a ) ) S(T)-s(T)\leq \epsilon (\alpha(b)-\alpha(a)) S(T)−s(T)≤ϵ(α(b)−α(a))
由此易证对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得任意分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ, 因此 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是 R-S 可积的.

(2) 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是单调的, 且 α ( x ) \alpha(x) α(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是连续的, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是 R-S 可积的.

证明: α ( x ) \alpha(x) α(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上一致连续, 则对于 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ, ∃ δ > 0 \exists \delta\gt 0 ∃δ>0, 使得对于 ∀ x , x ′ ∈ [ a , b ] \forall x,x'\in [a,b] ∀x,x′∈[a,b], ∣ x − x ′ ∣ ≤ δ |x-x'|\leq \delta ∣x−x′∣≤δ, ∣ α ( x ) − α ( x ′ ) ∣ ≤ ϵ |\alpha(x)-\alpha(x')|\leq \epsilon ∣α(x)−α(x′)∣≤ϵ. 对于任一分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 记 T = { x 0 , . . . , x n } T=\{x_{0},...,x_{n}\} T={x0,...,xn}
S ( T ) − s ( T ) = ∑ i = 1 n ( f ( x i ) − f ( x i − 1 ) ) ( α ( x i ) − α ( x i − 1 ) ) ≤ ϵ ∑ i = 1 n ( f ( x i ) − f ( x i − 1 ) ) = ϵ ( f ( b ) − f ( a ) ) S(T)-s(T)=\sum\limits_{i=1}^{n}(f(x_{i})-f(x_{i-1}))(\alpha(x_{i})-\alpha(x_{i-1}))\leq \epsilon \sum\limits_{i=1}^{n}(f(x_{i})-f(x_{i-1}))=\epsilon (f(b)-f(a)) S(T)−s(T)=i=1∑n(f(xi)−f(xi−1))(α(xi)−α(xi−1))≤ϵi=1∑n(f(xi)−f(xi−1))=ϵ(f(b)−f(a))
由此易证对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得任意分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ, 因此 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是 R-S 可积的.

(3) 若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上有有限个间断点, 且在 f ( x ) f(x) f(x) 的间断点处 α ( x ) \alpha(x) α(x) 是连续的, 则 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是 R-S 可积的.

设 f ( x ) f(x) f(x) 的间断点集合为 { ξ i } i = 1 K \{\xi_{i}\}_{i=1}^{K} {ξi}i=1K, 被 { ξ i } i = 1 K \{\xi_{i}\}_{i=1}^{K} {ξi}i=1K 分割所得的各个子区间为 { Δ j } j = 1 K + 1 \{\Delta_{j}\}_{j=1}^{K+1} {Δj}j=1K+1. α ( x ) \alpha(x) α(x) 在 { ξ i } i = 1 K \{\xi_{i}\}_{i=1}^{K} {ξi}i=1K 处连续, 对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0, ∀ ξ i ∈ { ξ i } i = 1 K \forall \xi_{i}\in \{\xi_{i}\}_{i=1}^{K} ∀ξi∈{ξi}i=1K, ∃ δ i > 0 \exists \delta_{i}\gt 0 ∃δi>0, 使得对于 ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in [a,b] ∀x∈[a,b], ∣ x − ξ i ∣ ≤ δ i |x-\xi_{i}|\leq \delta_{i} ∣x−ξi∣≤δi, ∣ α ( x ) − α ( ξ i ) ∣ ≤ ϵ |\alpha(x)-\alpha(\xi_{i})|\leq \epsilon ∣α(x)−α(ξi)∣≤ϵ. f ( x ) f(x) f(x) 在每个 Δ i \Delta_{i} Δi 上是连续的, 进而是一致连续的, 存在 δ j ′ > 0 \delta'_{j}\gt 0 δj′>0, 使得对于 ∀ x , x ′ ∈ [ a , b ] \forall x,x'\in [a,b] ∀x,x′∈[a,b], ∣ x − x ′ ∣ ≤ δ j ′ |x-x'|\leq \delta'_{j} ∣x−x′∣≤δj′, ∣ f ( x ) − f ( x ′ ) ∣ ≤ ϵ |f(x)-f(x')|\leq \epsilon ∣f(x)−f(x′)∣≤ϵ. 令 δ = min ⁡ { min ⁡ i δ i , min ⁡ j δ j ′ } \delta=\min\{\min\limits_{i}\delta_{i}, \min\limits_{j}\delta'_{j}\} δ=min{iminδi,jminδj′}. 则对于任一分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 记 T T T 的分点为 a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b a=x_{0}\lt x_{1}\lt \cdots \lt x_{n}=b a=x0<x1<⋯<xn=b, ξ i \xi_{i} ξi 在 [ x k i , x k i + 1 ] [x_{k_{i}}, x_{k_{i}+1}] [xki,xki+1] 子区间内, 包含间断点的子区间的下标集为 I \mathcal{I} I, 为则
S ( T ) − s ( T ) = ∑ k = 1 n ( M k − m k ) ( α ( x k ) − α ( x k − 1 ) ) S(T)-s(T)=\sum\limits_{k=1}^{n}(M_{k}-m_{k})(\alpha(x_{k})-\alpha(x_{k-1})) S(T)−s(T)=k=1∑n(Mk−mk)(α(xk)−α(xk−1))
对于不包含间断点的子区间 k k k, M k − m k ≤ ϵ M_{k}-m_{k}\leq \epsilon Mk−mk≤ϵ, 进而 ∑ 1 ≤ k ≤ K , k ∉ I ( M k − m k ) ( α ( x k ) − α ( x k − 1 ) ) ≤ ( α ( b ) − α ( a ) ) ϵ \sum\limits_{1\leq k\leq K, \atop{k\notin \mathcal{I}}}(M_{k}-m_{k})(\alpha(x_{k})-\alpha(x_{k-1}))\leq (\alpha(b)-\alpha(a))\epsilon k∈/I1≤k≤K,∑(Mk−mk)(α(xk)−α(xk−1))≤(α(b)−α(a))ϵ.

对于包含间断点(设间断点为 i 0 i_{0} i0)的子区间 k k k, M k − m k ≤ 2 M M_{k}-m_{k}\leq 2M Mk−mk≤2M, α ( x k ) − α ( x k − 1 ) = ( α ( x k ) − α ( ξ i 0 ) ) + ( α ( ξ i 0 ) − α ( x k − 1 ) ) ≤ 2 ϵ \alpha(x_{k})-\alpha(x_{k-1})=(\alpha(x_{k})-\alpha(\xi_{i_{0}}))+(\alpha(\xi_{i_0})-\alpha(x_{k-1}))\leq 2\epsilon α(xk)−α(xk−1)=(α(xk)−α(ξi0))+(α(ξi0)−α(xk−1))≤2ϵ, 进而 ∑ 1 ≤ k ≤ K , k ∈ I ( M k − m k ) ( α ( x k ) − α ( x k − 1 ) ) ≤ 4 K M ϵ \sum\limits_{1\leq k\leq K, \atop{k\in \mathcal{I}}}(M_{k}-m_{k})(\alpha(x_{k})-\alpha(x_{k-1}))\leq 4KM\epsilon k∈I1≤k≤K,∑(Mk−mk)(α(xk)−α(xk−1))≤4KMϵ

综上, 有
S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ ( 4 K M + α ( b ) − α ( a ) ) ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon(4KM+\alpha(b)-\alpha(a))\epsilon S(T)−s(T)≤ϵ(4KM+α(b)−α(a))ϵ
由此易证对于任意 ϵ > 0 \epsilon\gt 0 ϵ>0, 存在 δ > 0 \delta\gt 0 δ>0, 使得任意分割 T T T, ∥ T ∥ ≤ δ \|T\|\leq \delta ∥T∥≤δ, 有 S ( T ) − s ( T ) ≤ ϵ S(T)-s(T)\leq \epsilon S(T)−s(T)≤ϵ, 因此 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上是 R-S 可积的.

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