哈夫曼算法以及求哈夫曼编码

哈夫曼树又称最优树，是一类带权路径长度最短的树。其中带权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫曼树。

哈夫曼的构造算法：

（1）：根据给定的n个权值{w1,w2,w3.....},构造n课只有根节点的二叉树，这n棵二叉树构成一个森林F

（2）：在森林F中选取两棵根节点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和

（3）：在森林F中删除这两棵树，同时又将新得到的二叉树加入F中。

（4）：重复（2）和（3），直到F只含一棵树为止，这棵树便是哈夫曼树。

哈夫曼算法的实现：

//------哈夫曼树的存储表示-------
typedef struct
{unsigned int weight;  //用来存储各个结点的权值 unsigned int parent,LChild,RChild;  //指向双亲、孩子结点的指针
} HTNode, *HuffmanTree;  //动态分配数组，存储哈夫曼树 typedef char *HuffmanCode;  //动态分配数组，存储哈夫曼树

在构造哈夫曼树之前，还需要写出求最小权值的函数，代码如下：

///选择两个parent为0,且weight最小的结点s1和s2
void Select(HuffmanTree *ht,int n,int *s1,int *s2)
{int i,min;for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0){min=i;break;}}for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0){if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight)min=i;}}*s1=min;for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1))//除去刚才求得权值最小的，求下一个权值最小的 {min=i;break;}}for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1)){if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight) min=i;}}*s2=min;
}

算法，构造哈夫曼树:

///构造哈夫曼树ht,w存放已知n个权值
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree *ht,int *w,int n)
{int m,i,s1,s2;m=2*n-1;    //总共的结点数 *ht=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));//动态申请空间 for(i=1; i<=n; i++)  //1-n号存放叶子结点，初始化 {(*ht)[i].weight=w[i];(*ht)[i].LChild=0;(*ht)[i].parent=0;(*ht)[i].RChild=0;}for(i=n+1; i<=m; i++)   //非叶子结点的初始化{(*ht)[i].weight=0;(*ht)[i].LChild=0;(*ht)[i].parent=0;(*ht)[i].RChild=0;} printf("哈夫曼树为: \n"); for(i=n+1; i<=m; i++)   //创建非叶子结点，建哈夫曼树{ /*在(*ht)[1]~(*ht)[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋值给s1、s2*/Select(ht,i-1,&s1,&s2);(*ht)[s1].parent=i;//定义权值最小的父结点 (*ht)[s2].parent=i;//同上 (*ht)[i].LChild=s1;(*ht)[i].RChild=s2;//根据权值的大小来对结点i的左右孩子命名 (*ht)[i].weight=(*ht)[s1].weight+(*ht)[s2].weight;//新生成的结点的权值为上面所求两个权值最小之和 printf("%d (%d, %d)\n",(*ht)[i].weight,(*ht)[s1].weight,(*ht)[s2].weight);}printf("\n");
}

哈夫曼编码：

求哈夫曼编码的主要思想是：依次以叶子为出发点，向上回溯至根节点为止，回溯时走左分支则生成代码0，走右分支则生成代码1.

代码如下：

//哈夫曼编码
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree *ht, HuffmanCode *hc, int n)
{char *cd;   //定义的存放编码的空间int a[100];int i,start,p,w=0;unsigned int c;hc=(HuffmanCode *)malloc((n+1)*sizeof(char *));  //分配n个编码的头指针cd=(char *)malloc(n*sizeof(char));  //分配求当前编码的工作空间cd[n-1]='\0';  //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符for(i=1; i<=n; i++)  //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码{a[i]=0;start=n-1;  //起始指针位置在最右边for(c=i,p=(*ht)[i].parent; p!=0; c=p,p=(*ht)[p].parent)  //从叶子到根结点求编码{if( (*ht)[p].LChild==c){cd[--start]='1';  //左分支标1a[i]++;}else {cd[--start]='0';  //右分支标0a[i]++;}}hc[i]=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char));  //为第i个编码分配空间strcpy(hc[i],&cd[start]);    //将cd复制编码到hc}free(cd);for(i=1; i<=n; i++)printf(" 权值为%d的哈夫曼编码为：%s\n",(*ht)[i].weight,hc[i]);for(i=1; i<=n; i++)w+=(*ht)[i].weight*a[i];printf(" 带权路径为：%d\n",w);
}

完整代码：

/*示例
****哈夫曼编码****
请输入结点个数：8
输入这8个元素的权值（均为整形）：
1:27
2:4
3:87
4:21
5:2
6:21
7:1
8:25*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>typedef struct
{unsigned int weight;  //用来存储各个结点的权值 unsigned int parent,LChild,RChild;  //指向双亲、孩子结点的指针
} HTNode, *HuffmanTree;  //动态分配数组，存储哈夫曼树 typedef char *HuffmanCode;  //动态分配数组，存储哈夫曼树///选择两个parent为0,且weight最小的结点s1和s2
void Select(HuffmanTree *ht,int n,int *s1,int *s2)
{int i,min;for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0){min=i;break;}}for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0){if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight)min=i;}}*s1=min;for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1))//除去刚才求得权值最小的，求下一个权值最小的 {min=i;break;}}for(i=1; i<=n; i++){if((*ht)[i].parent==0 && i!=(*s1)){if((*ht)[i].weight<(*ht)[min].weight) min=i;}}*s2=min;
}///构造哈夫曼树ht,w存放已知n个权值
void CrtHuffmanTree(HuffmanTree *ht,int *w,int n)
{int m,i,s1,s2;m=2*n-1;    //总共的结点数 *ht=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));//动态申请空间 for(i=1; i<=n; i++)  //1-n号存放叶子结点，初始化 {(*ht)[i].weight=w[i];(*ht)[i].LChild=0;(*ht)[i].parent=0;(*ht)[i].RChild=0;}for(i=n+1; i<=m; i++)   //非叶子结点的初始化{(*ht)[i].weight=0;(*ht)[i].LChild=0;(*ht)[i].parent=0;(*ht)[i].RChild=0;} printf("哈夫曼树为: \n"); for(i=n+1; i<=m; i++)   //创建非叶子结点，建哈夫曼树{ /*在(*ht)[1]~(*ht)[i-1]的范围内选择两个parent为0且weight最小的结点，其序号分别赋值给s1、s2*/Select(ht,i-1,&s1,&s2);(*ht)[s1].parent=i;//定义权值最小的父结点 (*ht)[s2].parent=i;//同上 (*ht)[i].LChild=s1;(*ht)[i].RChild=s2;//根据权值的大小来对结点i的左右孩子命名 (*ht)[i].weight=(*ht)[s1].weight+(*ht)[s2].weight;//新生成的结点的权值为上面所求两个权值最小之和 printf("%d (%d, %d)\n",(*ht)[i].weight,(*ht)[s1].weight,(*ht)[s2].weight);}printf("\n");
} //哈夫曼编码
//从叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
void CrtHuffmanCode(HuffmanTree *ht, HuffmanCode *hc, int n)
{char *cd;   //定义的存放编码的空间int a[100];int i,start,p,w=0;unsigned int c;hc=(HuffmanCode *)malloc((n+1)*sizeof(char *));  //分配n个编码的头指针cd=(char *)malloc(n*sizeof(char));  //分配求当前编码的工作空间cd[n-1]='\0';  //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符for(i=1; i<=n; i++)  //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码{a[i]=0;start=n-1;  //起始指针位置在最右边for(c=i,p=(*ht)[i].parent; p!=0; c=p,p=(*ht)[p].parent)  //从叶子到根结点求编码{if( (*ht)[p].LChild==c){cd[--start]='1';  //左分支标1a[i]++;}else {cd[--start]='0';  //右分支标0a[i]++;}}hc[i]=(char *)malloc((n-start)*sizeof(char));  //为第i个编码分配空间strcpy(hc[i],&cd[start]);    //将cd复制编码到hc}free(cd);for(i=1; i<=n; i++)printf(" 权值为%d的哈夫曼编码为：%s\n",(*ht)[i].weight,hc[i]);for(i=1; i<=n; i++)w+=(*ht)[i].weight*a[i];printf(" 带权路径为：%d\n",w);
}
int main()
{HuffmanTree HT;HuffmanCode HC;int *w,i,n,wei;printf("**哈夫曼编码**\n" );printf("请输数据组数：" );scanf("%d",&n);w=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int)); printf("\n输入这%d个元素的权值:\n",n); for(i=1; i<=n; i++){ printf("%d: ",i); fflush(stdin);//当输入数据过多时，缓存数据 scanf("%d",&wei);//wei[]用来存放输入的权值 w[i]=wei;}CrtHuffmanTree(&HT,w,n);CrtHuffmanCode(&HT,&HC,n);system("pause");return 0;
}

测试结果为：

**哈夫曼编码**
请输数据组数：8输入这8个元素的权值:
1: 27
2: 4
3: 87
4: 21
5: 2
6: 21
7: 1
8: 25
哈夫曼树为:
3 (1, 2)
7 (3, 4)
28 (7, 21)
46 (21, 25)
55 (27, 28)
101 (46, 55)
188 (87, 101)权值为27的哈夫曼编码为：001权值为4的哈夫曼编码为：00010权值为87的哈夫曼编码为：1权值为21的哈夫曼编码为：0000权值为2的哈夫曼编码为：000110权值为21的哈夫曼编码为：011权值为1的哈夫曼编码为：000111权值为25的哈夫曼编码为：010带权路径为：428

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