2022 Aug 18 刷题log

CF 811D Color with Occurrences

问：给一个string s，和 n个substring ai，求最少数量的substring覆盖s

转换字符串覆盖问题 -> 区间覆盖问题

区间覆盖：

1. 按左边界升序排

2. 在左边界小于/等于/等于+1 当前右边界里，选右边界最远的

当s的长度短，可以使用 数组做区间覆盖：

ri 代表从 si开始可以覆盖到的最远右边界

规定左右边界协议和下标：

左闭右开 or 左闭右闭，0-index or 1-index

‘学习：

1. s.substr(开始， substr长度）

2. s.length() 要 cast 到 int，不然会 RE

3. max_element() 左闭右开

总结：

1. 转换字符串覆盖问题 -> 区间覆盖问题

2. pair区间覆盖和数组区间覆盖

3. 规定左右边界和下标协议

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <map>
#include <vector>
#include <utility>
using namespace std;/*
1
bababa
2
ba
aba
*/
void solve(){string s; cin>>s;int n; cin>>n;//0 index, 左闭右开int r[105]; int id[105];memset(r, 0, sizeof(r));for(int i=0;i<n;i++){string sb; cin>>sb;//应该是 小于等于for(int j=0;j<=(int)s.length()-(int)sb.length();j++){//substr(开始， substr的长度)if(s.substr(j, sb.length())==sb){//开始 + 长度 超 1//r[j] in//左闭右闭 [l, r]if(j+sb.length() > r[j]){r[j]=j+sb.length();id[j]=i;}}}}// for(int i=0;i<s.length();i++){//  cout<<r[i]<<" ";// }int end=0;vector<pair<int, int> > ans;while(end<s.length()) {//max_element 左闭右开 [r, l)int next_end=max_element(r, r+end+1)-r;if(r[next_end] <= end){ cout<<-1<<endl;return;}ans.push_back({id[next_end], next_end});end=r[next_end];} cout<<ans.size()<<endl;for(int i=0;i<ans.size();i++){cout<<ans[i].first+1<<" "<<ans[i].second+1<<endl;}
}
int main(){int t; cin>>t;while(t--){solve();}
}

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

CF1637D Yet Another Minimization Problem

给两个数组a和b，定义一个数组的cost为

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(a_i+a_j)^2$

每次操作可以选一个下标 k，交换 ak 和 bk

求两个数组的最小cost和

遇到一个公式，尝试分解到线性:

1. 展开式子

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(a_i+a_j)^2 =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(a_i^2+2a_ia_j+a_j^2)$ 2. 分离常数（constant）

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(a_i^2+2a_ia_j+a_j^2) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}a_i^2 + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}2a_ia_j+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}a_j^2$

这里把sigma 分配，发现第一项和第三项是常数（不论怎么换，a和b的都会计算）

3. 转换成线性

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}a_i^2 = \sum_{i=1}^{n}(n-i)a_i^2$

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}a_j^2 = \sum_{j=1}^{n}(j-1)a_j^2 \rightarrow \sum_{i=1}^{n}(i-1)a_i^2$

！！！这里注意 j 可以转成 i

4. 找到不能被分解的式子，要优化（设有多个未知数）

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}2a_ia_j$

5. 分类合并，简化式子

线性合并一起，平方合并一起

$\sum_{i=1}^{n}(n-i)a_i^2+\sum_{i=1}^{n}(i-1)a_i^2= (n-1)\sum_{i=1}^{n}a_i^2$

以下为完整公式：

$(n-1)(\sum_{i=1}^{n}a_i^2+\sum_{i=1}^{n}b_i^2)+2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(a_ia_j+b_ib_j)$

找一个值对cost的贡献

对于aj, 它会与 a1 .. aj-1 的结合并产生贡献, (a1 * aj) + (a2 * aj) +....(aj-1 *aj)

目前的决策（01, 换或不换）依赖于过去的线性和与结果 --> dp

由于ai 和 bi 最大100，n最大100，于是和最大 20000

不论怎么换ai和bi，前i个a和b的线性和都是常数

跑 01背包-恰好装满j的最小值，

让S[i] 等于a和b的前i个值的和，

让 dp[i][j] 等于 a的前i个值和为j 的最小cost：

if (j >= a[i]) :

$dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i-1][j-a[i]]+(j-a[i])*a[i]+(S[i]-j-b[i])*b[i])$

if (j >= b[i]) :

$dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i-1][j-b[i]]+(j-b[i])*b[i]+(S[i]-j-a[i])*a[i])$

总结：

1. 遇到一个公式，尝试分解到线性:

1. 展开式子

2. 分离常数（constant）

3. 分类合并，简化式子

4. 找到不能被分解的式子，要优化（设有多个未知数）

2. 一个下标的贡献？

动态规划？-> 决策

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;int MAX=0x7f7f7f7f;
/*
1
4
3 6 6 6
2 7 4 1
*/
int dp[105][20005];
void solve(){int n, a[105], b[105];cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];int fConst=0, S[105];S[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){fConst += a[i]*a[i]+b[i]*b[i];S[i]=S[i-1]+a[i]+b[i];}fConst *= (n-1);//memset(arr, (int)#, size)memset(dp, MAX, sizeof(dp));dp[0][0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){// j 不能！！！从 a[i] 开始for(int j=0;j<=S[n];j++){if(j>=a[i]){dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i-1][j-a[i]]+(j-a[i])*a[i]+(S[i]-j-b[i])*b[i]);}if(j>=b[i]){dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i-1][j-b[i]]+(j-b[i])*b[i]+(S[i]-j-a[i])*a[i]);}}}int ans=1e9;for(int j=0;j<=S[n];j++){ans=min(ans, dp[n][j]);}cout<<2*ans + fConst<<endl;
}int main(){int t; cin>>t;while(t--){solve();}
}

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CF 811E Add Modulo 10:

给一个数组a，每次操作可以选 i，把a[i] 变成 a[i] + (a[i] mod 10)，求能否把所有 ai 变成一样。

通过举例观察到规律（性质）：

个位会一直在2， 4， 6， 8 循环，之后证明了有于odd+odd=even，even+even=even（除了5），于是每个同阶数的个位都是独特的，比如说 96，十位是9的只有96

一开始的想法：把所有的数的个位变成2，然后打擂台，每次轮回+20 （+4+8+6+2)

正确做法：直接每个数 % 20 就行，会等于 2 or 12，如果有 2 和 12 则不可能变一样

打擂台 -> 比较数的性质不同 -> 每个数的性质不同

总结：

ps：已经非常接近答案了，需更耐心的举例和细致的观察性质

通过举例观察到规律（性质）

打擂台 -> 比较数的性质不同 -> 每个数的性质不同

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;/*
1
3
2 18 22
*/
void solve(){int n; cin>>n;int ar[n+5];for(int i=0;i<n;i++) cin>>ar[i];for(int i=0;i<n;i++){while(ar[i]%10!=0 && ar[i]%10!=2) ar[i]+=ar[i]%10;} sort(ar, ar+n);if(ar[n-1]%10==0){for(int i=0;i<n-1;i++){if(ar[i]!=ar[n-1]){cout<<"NO"<<endl;return;}}cout<<"YES"<<endl;return;}for(int i=1;i<n;i++){if(ar[i]%20!=ar[i-1]%20){cout<<"NO"<<endl; return;}}cout<<"YES"<<endl;
}int main(){int t; cin>>t;while(t--){solve();}
}

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