一、Interval Scheduling

初学算法设计与分析，老师就讲到了这个比较难的问题，听的时候就似懂非懂。现在搞清楚记录如下。

本问题涉及到的算法：贪心算法（Greedy Algorithm）

1.1 问题描述：

假设我们有多个任务，图中给出了，每个任务的开始时间和终止时间。不同任务不重叠的情况下，求任务的最大组合数。

input:具有起始时间(Si)和终止时间(Fi)的任务集合
goal：不同任务的最大组合数

1.2 问题分析：

分析一个问题，我们首先分析出一个可行的算法，然后再对算法进行优化，尽可能降低复杂度，达到最优的情况。

备选方案：

1、任务按开始时间排序(Si)；
2、任务按终止时间排序(Fi)；
3、任务按照所用时间长短(Fi - Si)排序;
4、对于每一个任务，计算与它冲突的任务个数Ci，然后对Ci排序。

由于本问题比较简单，我们不过多讨论。容易发现，使用贪心算法，我们按照终止时间排序，可以成功的求解问题。

1.3 问题求解：

首先我们按照终止时间，对任务进行排序，然后依次选择，不重叠的任务，即可求出，最大的任务组合数。

伪代码：

Sort jobs by finish times so that f1 <= f2 <= ... <= fn.
select a task ——>A
for j = 1 to n {if (job j compatible with A)A and {j} ——> A
}
return A

算法复杂度：O(n logn)
其实这个问题是有别的算法的，我们课上同学讨论出一个，老师都惊呆了。老师本来想推翻同学的算法，结果发现，同学的算法非常正确。

二、Weighted Interval Scheduling

在问题一的基础上，稍加修改，问题变难很多，成为带权值的任务调度问题。上课睡觉的后果就是，课上成功听不懂，课下自己想办法。

本问题涉及到的算法：动态规划（Dynamic Programming）

讲真提到动态规划，比较头大，尤其是对于没有算法的基础新手。在此贴上知乎大佬的解释：https://www.zhihu.com/question/23995189

2.1 问题描述：

在问题1的基础上，我们对每个任务增加权值。实际情况下，我们可以认为，我们的任务优先级不同，重要性不同。即使有些任务，用到的时间短，重要性却很高。在这种情况下，我们求解，固定时间内，求完成任务权值和的最大值。

input:具有起始时间(Si)，终止时间(Fi)和权值(Wi)的任务集合
goal：任务组合的权值最大值

2.2 问题分析：

首先我们考虑贪心算法，能否用于本问题。容易发现，问题1其实是问题2的权值为1的特例，在权值为1的情况下，贪心算法是可以求解的。若权值是任意值，算法便会失效。从图中我们可以看出，任务b的权值很大，却不会被选出，明显权值和，不是最大。

这里直接说算法，求解吧，毕竟我也不知道到底是怎么想出来的。前人的经验，我们看懂，理解，也算成功了。

2.2 问题求解：

当然，本问题，是可以暴力求解的，也就是枚举(遍历)，但这必然复杂度，爆炸，如果都用枚举，我们还学算法有毛用。
这里还需要说下，有两种算法，一种是使用回归算法，另一种Bottom to Up
直接上算法，稍后再解释。
###2.2.1回归算法：

sort：首先我们按照结束时间对任务进行排序；
define：定义一个函数P(i)，是指与任务i不重叠的索引最大值，该索引小于i；
OPT(j)=max(Wj+OPT(p(j)),OPT(j−1))

算法伪代码：

首先我们对任务按结束时间排序，这里就不多说了。然后我们定义了一个函数P(i)，是指与任务i不重叠的索引最大值，该索引小于i。比如说下图：

当i=8，P(8)也就是，与任务8不重叠的任务索引的最大值，从图中看出是5，所以P(8)=5。
然后我们定义OPT(i)也就是，对于i个任务，该问题的最优解的值。对于j个任务的最优解，我们按照是否选择任务j，可以划分为两种情况。**情况一：**选择任务j，取它的权值Wj，然后往前找与任务j不重叠的任务索引最大值，求OPT(P(j))，然后将二者相加；**情况二：**不选择任务j，选择任务j-1。然后我们比较这两种情况的大小，作为j个任务的最优解。

算法缺陷：
当我们有大量的子问题的时，回归算法需要大量的计算，成为指数问题，算法便会失效。
其实我们这个算法，是从任务的最后一个，依次向前求，需要不停地回归，用到前面的值，同时我们需要不停地存储最优解。
###2.2.2 ：Bottom-up dynamic programming

从公式我们可以看出每一个OPT值依赖于前一个值，OPT(p(j))或者是OPT(j-1)。因此，我们能否倒过来，将n的顺序，也就是从第一个开始开始，计算OPT(j)的值呢。实际是我们是可以的，也就是按照下图给出的伪代码。
伪代码：

强烈建议看下这个网站：https://farazdagi.com/2013/weighted-interval-scheduling/
除了详细的解释，还有python的代码实现，而且详细的解释了，具体每一步的复杂度。

参考资料：

1.http://www.tceic.com/3l9850lg1711ii7930h71614.html
2.https://www.daniweb.com/programming/software-development/threads/449426/weighted-interval-scheduling
3.https://en.wikipedia.org/wiki/Interval_scheduling
4.https://farazdagi.com/2013/weighted-interval-scheduling/

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