Bob 的生存概率问题
Bob 的生存概率问题
作者:Grey
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博客园:Bob 的生存概率问题
CSDN:Bob 的生存概率问题
题目描述
给定五个参数 n , m , i , j , k,表示在一个 n*m
的区域,Bob 处在 (i,j) 点,每次 Bob 等概率的向上、 下、左、右四个方向移动一步,Bob 必须走 k 步。如果走完之后,Bob 还停留在这个区域上, 就算 Bob 存活,否则就算 Bob 死亡。请求解 Bob 的生存概率,返回字符串表示分数的方式。
题目链接:牛客-Bob的生存概率
暴力解法
由于 Bob 可以向四个方向任意一个方向走 k 步,所以,Bob 可以选择走的路线总数是:4^k
,即:4 的 k 次方。
接下来就是要求在 4 ^ k
总数中,哪些是存活下来的路线,定义如下递归函数
long process(int i, int j, int k, int n, int m)
递归含义表示:目前在 (i,j) 位置,还有 k 步要走,走完了如果还在棋盘中就获得1个生存点,返回总的生存点数。
接下来是 base case,如果越界了,直接返回 0,
if (i < 0 || i == n || j < 0 || j == m) {return 0;}
表示没有生存机会,
如果没有越界,但是此时正好 k == 0
,说明已经有一种存活路线了,返回 1,表示一种有效路线。
if (i < 0 || i == n || j < 0 || j == m) {return 0;}// 没有越界,说明还在棋盘中,没有步数了,直接返回一种有效路线。if (k == 0) {return 1;}
接下来是普遍情况, Bob 在棋盘中,可以往四面八方走,即
long up = process(i - 1, j, k - 1, n, m);long down = process(i + 1, j, k - 1, n, m);long left = process(i, j - 1, k - 1, n, m);long right = process(i, j + 1, k - 1, n, m);
上述表示四面八方走返回的有效路线,四个方向的有效路线之和,就是答案,即
return up + down + left + right;
递归函数的完整代码如下
public static long process(int i, int j, int k, int n, int m) {if (i < 0 || i == n || j < 0 || j == m) {return 0;}// 还在棋盘中!if (k == 0) {return 1;}// 还在棋盘中!还有步数要走long up = process(i - 1, j, k - 1, n, m);long down = process(i + 1, j, k - 1, n, m);long left = process(i, j - 1, k - 1, n, m);long right = process(i, j + 1, k - 1, n, m);return up + down + left + right;}
由于最后的结果要返回最简的分数形式,所以假设有效路线是 X 种,所有可能的走法是 Y 种,那么返回的字符串是如下形式
return (X/gcd(X,Y)) + "/" + (Y/gcd(X,Y))
其中 gcd(X,Y)
就是利用辗转相除法得到 X,Y 的最大公约数
public static long gcd(long m, long n) {return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);}
暴力解法的完整代码如下
import java.util.Scanner;public class Main {public static String livePossibility1(int i, int j, int k, int n, int m) {return buildExp(process(i, j, k, n, m), (long) Math.pow(4, k));}// 目前在i,j位置,还有k步要走,走完了如果还在棋盘中就获得1个生存点,返回总的生存点数public static long process(int i, int j, int k, int n, int m) {if (i < 0 || i == n || j < 0 || j == m) {return 0;}// 还在棋盘中!if (k == 0) {return 1;}// 还在棋盘中!还有步数要走long up = process(i - 1, j, k - 1, n, m);long down = process(i + 1, j, k - 1, n, m);long left = process(i, j - 1, k - 1, n, m);long right = process(i, j + 1, k - 1, n, m);return up + down + left + right;}public static String buildExp(long m, long n) {return m / gcd(m, n) + "/" + n / gcd(m, n);}public static long gcd(long m, long n) {return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();int i = sc.nextInt();int j = sc.nextInt();int k = sc.nextInt();System.out.println(livePossibility1(i, j, k, n, m)); sc.close();}
}
超时
动态规划解 (可 AC)
根据上述暴力递归过程可知,递归函数有三个可变参数:i,j,k;所以,定义一个三维数组 dp,就可以把所有递归过程的中间值存下,根据 i,j,k 的可变范围,定义如下三维数组:
long[][][] dp = new long[n][m][k + 1];
根据暴力递归过程的 base case,可以初始化 dp 的某些位置的值
long[][][] dp = new long[n][m][k + 1];for (int row = 0; row < n; row++) {for (int col = 0; col < m; col++) {dp[row][col][0] = 1;}}
接下来是普遍情况,通过暴力递归过程可知,dp[i][j][k]
依赖以下四个位置的值
dp[i-1][j][k-1]
dp[i+1][j][k-1]
dp[i][j-1][k-1]
dp[i][j+1][k-1]
即:三维数组的每一层只依赖上一层的数据结果,而第一层的值已经初始化好了,所以可以根据第一层求第二层,依次求到最后一层,这个动态规划的思路类似:象棋中的马跳步问题
,不赘述。
动态规划的解完整代码如下
import java.util.Scanner;public class Main {public static String livePossibility2(int i, int j, int k, int n, int m) {long[][][] dp = new long[n][m][k + 1];for (int row = 0; row < n; row++) {for (int col = 0; col < m; col++) {dp[row][col][0] = 1;}}for (int rest = 1; rest <= k; rest++) {for (int r = 0; r < n; r++) {for (int c = 0; c < m; c++) {dp[r][c][rest] = pick(dp, n, m, r - 1, c, rest - 1);dp[r][c][rest] += pick(dp, n, m, r + 1, c, rest - 1);dp[r][c][rest] += pick(dp, n, m, r, c - 1, rest - 1);dp[r][c][rest] += pick(dp, n, m, r, c + 1, rest - 1);}}}return buildExp(dp[i][j][k], (long) Math.pow(4, k));}public static String buildExp(long m, long n) {return m / gcd(m, n) + "/" + n / gcd(m, n);}public static long gcd(long m, long n) {return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);}public static long pick(long[][][] dp, int n, int m, int r, int c, int rest) {if (r < 0 || r == n || c < 0 || c == m) {return 0;}return dp[r][c][rest];}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();int i = sc.nextInt();int j = sc.nextInt();int k = sc.nextInt(); System.out.println(livePossibility2(i, j, k, n, m));sc.close();}
}
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