【多目标优化求解】基于matlab遗传优化萤火虫算法求解多目标优化问题【含Matlab源码 1484期】

一、遗传算法简介

1 引言

2 遗传算法理论
2.1 遗传算法的生物学基础

2.2 遗传算法的理论基础

2.3 遗传算法的基本概念

2.4 标准的遗传算法

2.5 遗传算法的特点

2.6 遗传算法的改进方向

3 遗传算法流程

4 关键参数说明

二、萤火虫优化算法（FA）简介

1 介绍
萤火虫（firefly）种类繁多，主要分布在热带地区。大多数萤火虫在短时间内产生有节奏的闪光。这种闪光是由于生物发光的一种化学反应，萤火虫的闪光模式因种类而异。萤火虫算法(FA)是基于萤火虫的闪光行为，它是一种用于全局优化问题的智能随机算法，由Yang Xin-She（2009）[1]提出。萤火虫通过下腹的一种化学反应-生物发（bioluminescence）发光。这种生物发光是萤火虫求偶仪式的重要组成部分，也是雄性萤火虫和雌性萤火虫交流的主要媒介，发出光也可用来引诱配偶或猎物，同时这种闪光也有助于保护萤火虫的领地，并警告捕食者远离栖息地。在FA中，认为所有的萤火虫都是雌雄同体的，无论性别如何，它们都互相吸引。该算法的建立基于两个关键的概念：发出的光的强度和两个萤火虫之间产生的吸引力的程度。

2 天然萤火虫的行为
天然萤火虫在寻找猎物、吸引配偶和保护领地时表现出惊人的闪光行为，萤火虫大多生活在热带环境中。一般来说，它们产生冷光，如绿色、黄色或淡红色。萤火虫的吸引力取决于它的光照强度，对于任何一对萤火虫来说，较亮的萤火虫会吸引另一只萤火虫。所以，亮度较低的个体移向较亮的个体，同时光的亮度随着距离的增加而降低。萤火虫的闪光模式可能因物种而异，在一些萤火虫物种中，雌性会利用这种现象猎食其他物种；有些萤火虫在一大群萤火虫中表现出同步闪光的行为来吸引猎物，雌萤火虫从静止的位置观察雄萤火虫发出的闪光，在发现一个感兴趣趣的闪光后，雌性萤火虫会做出反应，发出闪光，求偶仪式就这样开始了。一些雌性萤火虫会产生其他种类萤火虫的闪光模式，来诱捕雄性萤火虫并吃掉它们。

3 萤火虫算法
萤火虫算法模拟了萤火虫的自然现象。真实的萤火虫自然地呈现出一种离散的闪烁模式，而萤火虫算法假设它们总是在发光。为了模拟萤火虫的这种闪烁行为，Yang Xin-She提出了了三条规则（Yang，2009）：
（1）假设所有萤火虫都是雌雄同体的，因此一只萤火虫可能会被其他任何萤火虫吸引。
（2）萤火虫的亮度决定其吸引力的大小，较亮的萤火虫吸引较暗的萤火虫。如果没有萤火虫比被考虑的萤火虫更亮，它就会随机移动。
（3）函数的最优值与萤火虫的亮度成正比。
光强(I)与光源距离（r）服从平方反比定律，因此由于空气的吸收，光的强度(I)随着与光源距离的增加而减小，这种现象将萤火虫的可见性限定在了非常有限的半径内：

萤火虫算法的主要实现步骤如下：

其中I0为距离r=0时的光强（最亮），即自身亮度，与目标函数值有关，目标值越优，亮度越亮；γ为吸收系数，因为荧光会随着距离的增加和传播媒介的吸收逐渐减弱，所以设置光强吸收系数以体现此特性，可设置为常数；r表示两个萤火虫之间的距离。有时也使用单调递减函数，如下式所示。

第二步为种群初始化：

其中t表示代数，xt表示个体的当前位置，β0exp(-γr2)是吸引度，αε是随机项。下一步将会计算萤火虫之间的吸引度：

其中β0表示r=0时的最大吸引度。
下一步，低亮度萤火虫向较亮萤火虫运动：

最后一个阶段，更新光照强度，并对所有萤火虫进行排序，以确定当前的最佳解决方案。萤火虫算法的主要步骤如下所示。

Begin初始化算法基本参数：设置萤火虫数目n，最大吸引度β0，光强吸收系数γ，步长因子α，最大迭代次数MaxGeneration或搜索精度ε；初始化：随机初始化萤火虫的位置，计算萤火虫的目标函数值作为各自最大荧光亮度I0；t=1while(t<=MaxGeneration || 精度>ε)计算群体中萤火虫的相对亮度I(式2)和吸引度β（式5），根据相对亮度决定萤火虫的移动方向；更新萤火虫的空间位置，对处在最佳位置的萤火虫进行随机移动（式6）；根据更新后萤火虫的位置，重新计算萤火虫的亮度I0；t=t+1end while输出全局极值点和最优个体值。
end

萤火虫算法与粒子群算法(PSO)和细菌觅食算法(BFA)有相似之处。在位置更新方程中，FA和PSO都有两个主要分量：一个是确定性的，另一个是随机性的。在FA中，吸引力由两个组成部分决定：目标函数和距离，而在BFA中，细菌之间的吸引力也有两个组成部分：适应度和距离。萤火虫算法实现时，整个种群(如n)需要两个内循环，特定迭代需要一个外循环(如I)，因此最坏情况下FA的计算复杂度为O(n2I)。

三、部分源代码

clc
clear
%% 设定算法参数
para=[20 500 0.5 0.2 1];
%参数向量
%种群规模n=20
%迭代次数MaxGeneration=500
%alpha=0.5 α：为常数
%betamin=0.2 β0：最大吸引力
%gamma=1 γ：光吸收系数popsize=para(1);%n为种群规模
fprintf('种群规模:');
disp(num2str(popsize));MaxGeneration=para(2);%迭代次数MaxGeneration
fprintf('迭代次数:');
disp(num2str(MaxGeneration));alpha=para(3);%α为常数
fprintf('alpha:');
disp(num2str(alpha));betamin=para(4);%不是β0：初始吸引力
fprintf('初始最大吸引力:');
disp(num2str(betamin));gamma=para(5);%γ：光吸收系数
fprintf('光吸收系数:');
disp(num2str(gamma));NumEval=popsize*MaxGeneration;
fprintf('函数运行总次数:');
disp(num2str(NumEval));x_dim=1;%d为每个解的维度
Varmin=-10^5*ones(1,x_dim);%下界
Varmax=10^5*ones(1,x_dim);%上界
Var0=Varmin+(Varmax-Varmin).*rand(1,x_dim);
%  “.*”：矩阵元素对应相乘，不是矩阵相乘%检查上界向量与下界向量长度是否相同
if length(Varmin)~=length(Varmax),disp('上下界不匹配!')return %在函数中遇见return；则直接从此函数中跳出
end
%% 开始
tic;%tic用来保存当前时间
%    toc来记录程序完成时间FA.position=[];%萤火虫全部位置信息
FA.light=[];%萤火虫对应的亮度
FA.cost=[];%目标函数
FA.Rank=[];%非劣解集对应等级
FA.CrowdingDistance=[];%拥挤距离（虚拟适应度）
FA.DominatedCount=[];%支配计数  %临时存在，方便分级
FA.DominationSet=[];%对应解的所支配的解集位置（行号）
pop=repmat(FA,popsize,1);%% 初始化萤火虫位置和亮度
for i=1:popsize%popsize：种群规模if ~isempty(Varmin) %如果存在上下界pop(i).position=Varmin+(Varmax-Varmin).*rand(1,x_dim);elsepop(i).position =Var0+randn(1,x_dim);endpop(i).cost=mycost(pop(i).position);%调用了目标函数：mycost%输入：pop(i).position，萤火虫i全部信息%输出：pop(i).cost，i萤火虫对应的目标函数值 pop(i).light=pop(i).cost;%生成亮度
end%% 初始化非支配排序
[pop,F]=NonDominatedSorting(pop);
%调用了非支配排序子函数：NonDominatedSorting
%输入：pop:本解以及本解对应的全部信息
%输出：pop:分级完成后的本解以及本解对应的全部信息
%      F：对解集分级完成后存储的矩阵pop=CalcCrowdingDistance(pop,F);%计算拥挤距离
%调用计算虚拟适应度的函数：CalcCrowdingDistance
%输入：种群所有信息的结构数组：pop
%      分好等级的解的位置：F
%同一等级下，依据拥挤度可以删除一部分非劣解，用以维护最优解集%% 循环开始
for k=1:MaxGeneration,alpha=alpha_new(alpha,MaxGeneration);%更新alpha增加收敛性%% 根据Pareto支配关系，更新萤火虫位置scale=abs(Varmax-Varmin);%参数取值范围绝对值pop_=pop;%保护数据num_pop=length(pop);%==========================目标函数===========================%
%
% ======================约束=========================
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%子函数
%目标函数，输入为包含3个元素的x数组，
%          得到包含[z1 z2]两个值的目标函数值得数组z
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function y=mycost(x)%目标函数%目标函数为多目标函数n=numel(x);%numel(x)：数组x中元素个数y1=x.^2;y2=(x-2).^2;y=[y1;y2];%列表示end

四、运行结果

五、matlab版本及参考文献

1 matlab版本
2014a

2 参考文献
[1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016.
[2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.