BZOJ1096[ZJOI2007] 仓库建设

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096

仓库建设

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

题解

很容易想到朴素的状态转移方程，我们用dp[i]dp[i]dp[i]表示前iii个点的最优费用，接下来我们只需要枚举j(j<i)" role="presentation" style="position: relative;">j(j<i)j(j<i)j(j，设len[k]len[k]len[k]为工厂kkk与工厂i" role="presentation" style="position: relative;">iii的距离，val[k]val[k]val[k]为工厂kkk的货物数，方程如下：

dp[i]=min(dp[j]+c[i]+∑k=j+1i−1(len[k]×val[k]))" role="presentation">dp[i]=min(dp[j]+c[i]+∑k=j+1i−1(len[k]×val[k]))dp[i]=min(dp[j]+c[i]+∑k=j+1i−1(len[k]×val[k]))

dp[i]=min(dp[j]+c[i]+\sum_{k=j+1}^{i-1}(len[k]\times val[k]))

显然非常爆炸，所以我们先考虑如何快速解决∑∑\sum求和的部分：
我们用sum[i]sum[i]sum[i]，表示从iii把货物全部运到n" role="presentation" style="position: relative;">nnn的费用的后缀和（他要往nnn运我也很绝望呀），val[i]" role="presentation" style="position: relative;">val[i]val[i]val[i]表示iii到n" role="presentation" style="position: relative;">nnn的工厂的货物数量的后缀和，len[i]len[i]len[i]表示路程的后缀和，那么∑∑\sum部分就可以这么表示：

sum[k+1]−sum[i]−len[i](val[k+1]−val[i])sum[k+1]−sum[i]−len[i](val[k+1]−val[i])

sum[k+1]-sum[i]-len[i] (val[k+1]-val[i])

那么我们就可以将状态转移方程改写：

dp[i]=dp[j]+c[i]+sum[k+1]−sum[i]−(val[k+1]−val[i])len[i]dp[i]=dp[j]+c[i]+sum[k+1]−sum[i]−(val[k+1]−val[i])len[i]

dp[i]=dp[j]+c[i]+sum[k+1]-sum[i]-(val[k+1]-val[i])len[i]

此时我们再考虑上用斜率优化：

dp[k]+sum[k+1]−sum[i]−(val[k+1]−val[i])len[i]<dp[j]+sum[j+1]−sum[i]−(val[j+1]−val[i])len[i]dp[k]+sum[k+1]−sum[i]−(val[k+1]−val[i])len[i]<dp[j]+sum[j+1]−sum[i]−(val[j+1]−val[i])len[i]dp[k]+sum[k+1]-sum[i]-(val[k+1]-val[i])len[i]
dp[k]+sum[k+1]−dp[j]−sum[j+1]<len[i](val[k+1]−val[j+1])dp[k]+sum[k+1]−dp[j]−sum[j+1]<len[i](val[k+1]−val[j+1])dp[k]+sum[k+1]-dp[j]-sum[j+1]
dp[k]+sum[k+1]−dp[j]−sum[j+1]val[k+1]−val[j+1]<len[i]dp[k]+sum[k+1]−dp[j]−sum[j+1]val[k+1]−val[j+1]<len[i]\frac{dp[k]+sum[k+1]-dp[j]-sum[j+1]}{val[k+1]-val[j+1]}

然后len[i]len[i]len[i]单减，妙妙~~~

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1e6+5;
int n,que[M];
ll len[M],val[M],sum[M],c[M],dp[M],tot;
void in()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d%d",&len[i],&val[i],&c[i]);tot=len[n];for(int i=n;i>=0;--i){len[i]=tot-len[i];sum[i]=sum[i+1]+val[i]*len[i];val[i]+=val[i+1];}
}
double slop(int k,int j)
{return 1.0*(dp[k]+sum[k+1]-dp[j]-sum[j+1])/(val[k+1]-val[j+1]);}
void ac()
{int le=0,ri=0;for(int i=1;i<=n;++i){while(le<ri&&slop(que[le],que[le+1])>len[i])le++;int k=que[le];dp[i]=dp[k]+c[i]+sum[k+1]-sum[i]-(val[k+1]-val[i])*len[i];while(le<ri&&slop(que[ri],i)>slop(que[ri-1],que[ri]))ri--;que[++ri]=i;}printf("%lld\n",dp[n]);
}
int main()
{in();ac();return 0;
}