命题和一阶逻辑推理（内容+适用条件+证明（见文末参考文献））

命题逻辑推理理论

置换规则
A=B⇒(A⇒B)A=B\Rightarrow (A\Rightarrow B) A=B⇒(A⇒B)
假言推理规则
p,p→q⇒qp,p\rightarrow q\Rightarrow q p,p→q⇒q
附加规则
p⇒p∨qp\Rightarrow p\vee q p⇒p∨q
化简规则
p∧q⇒pp\wedge q\Rightarrow p p∧q⇒p
拒取式规则
¬q,p→q⇒¬p\neg q,p\rightarrow q\Rightarrow \neg p ¬q,p→q⇒¬p

利用222及逆否命题可证
假言三段论规则
p→q,q→r⇒p→rp\rightarrow q, q\rightarrow r\Rightarrow p\rightarrow r p→q,q→r⇒p→r
析取三段论规则
¬q,p∨q⇒p\neg q,p\vee q\Rightarrow p ¬q,p∨q⇒p
构造性二难推理
p∨s,p→q,s→t⇒q∨tp\vee s,p\rightarrow q,s\rightarrow t\Rightarrow q\vee t p∨s,p→q,s→t⇒q∨t
破坏性二难推理
¬q∨¬t,p→q,s→t⇒¬p∨¬s\neg q\vee \neg t,p\rightarrow q,s\rightarrow t\Rightarrow\neg p\vee \neg s ¬q∨¬t,p→q,s→t⇒¬p∨¬s

语义理解可参考这篇博客
合取引入规则
p,q⇒p∧qp,q\Rightarrow p\wedge q p,q⇒p∧q

一阶逻辑推理补充

全称量词消去规则（US\rm USUS规则）

∀xA(x)⇒A(y)\forall xA(x)\Rightarrow A(y) ∀xA(x)⇒A(y)

yyy不在A(x)A(x)A(x)中出现

全称量词引入规则（UG\rm UGUG规则）

B,B→A(x)⇒∀xA(x)B,B\rightarrow A(x)\Rightarrow \forall xA(x) B,B→A(x)⇒∀xA(x)
A(y)⇒∀xA(x)A(y)\Rightarrow \forall xA(x) A(y)⇒∀xA(x)
- A(y)≡1A(y)\equiv1A(y)≡1
- xxx不在A(y)A(y)A(y)中约束出现

存在量词消去规则（ES\rm ESES规则）

∃xA(x)⇒A(e)\exist xA(x)\Rightarrow A(e) ∃xA(x)⇒A(e)

A(e)=1A(e)=1A(e)=1
eee不在A(x)A(x)A(x)中出现
A(x)A(x)A(x)中没有其他自由出现的个体变量

存在量词引入规则（EG\rm EGEG规则）

A(c)⇒∃xA(x)A(c)\Rightarrow \exist xA(x) A(c)⇒∃xA(x)

xxx不在A(c)A(c)A(c)中出现，ccc为个体变量或个体常量

参考
[1]王文龙 & 张博锋.(2017).一阶逻辑推理系统中有关量词推理规则的研究. 湖南师范大学自然科学学报(03),89-94. doi:CNKI:SUN:HNSZ.0.2017-03-015.

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