读在线广告智能出价相关的论文时，论文中基于 PID 算法设计了多变量的控制算法，既然遇到了 PID 算法相关的内容，便想着借此契机，简单总结一下 PID 算法，该算法在网上已有较多科普文章，但依旧打算整理一下，加深自己的理解。

PID 算法因为其实现简单且效果拔群的特性，而被广泛使用，比如温度控制元件、无人机飞行姿势、机器人控制等。

在控制系统理论体系中，会根据系统是否有反馈将系统分为开环系统与闭环系统，而 PID 算法是闭环系统中常用的算法，为了方便理解，这里举个具体的例子来解释开环系统与闭环系统：

我开发了一个机器人，在一开始，机器人身上没有安装任何传感器，此时你给机器人一个目标，让它跑到距离它当前位置 10 米远的前方，因为机器人没有环境传感器，即缺乏反馈信息，它在前进时，很可能就会偏离当前目标，如图 1 所示：

将开环系统的整体结构抽象一下，如图 2 所示：

结合机器人的例子，其中：

• Input：机器人接收到一个指令，该指令让机器人前进 10 米

• Controller：控制器通过计算得出要前进的方向与距离

• Process：机器人执行控制器的计算结果，前进相应的距离

从图 2 可以看出，整个系统是没有反馈的，此时机器人在前进的过程中，很可能就出现图 1 的情况。

我们为机器人添加环境传感器，它现在可以判断自己与目标的方向与距离的，此时，我们将开环系统转变成了闭环系统，其抽象结构为：

在闭环系统中，机器人的例子是这样的：

• Input：机器人接收到一个指令，该指令让机器人前进 10 米

• Controller：控制器通过计算得出要前进的方向与距离

• Process：机器人执行控制器的计算结果，前进相应的距离

• Feedback：传感器收集环境信息，比如当前是否偏离了目标，如果偏离了，就将偏离的距离作为 error ，然后再作为 Controller 输入的一部分

在闭环系统下，机器人可以比较好的到达目标位置了，但如果要求机器人尽可能快的到达目标位置呢？

尽可能快背后的要求是，完成任务的时间尽可能短且要准确的到达目的地，不能有偏差，此时我们可以利用 PID 算法去实现这个目标。在闭环系统中，主要就是利用 PID 算法来实现了 Controller 这块，如图 4 所示：

理解 PID 算法思想

举一个经典的例子。

我有一个水缸，希望让水缸中的水位保持在 1 米。

假设现在水缸中，其水位为 0.2 米，此时误差（error）为 0.8 米（1-0.2）。

我知道误差为 0.8 后，开始往水缸里加水，目标是让水缸中的水保持在 1 米。

回到 PID 算法，其中的 P（Proportion）表示比例控制，我们将 PID 算法简化成 P 算法（其不考虑 ID 部分的算法逻辑），其公式为：，其中 表示 时刻下当前的水位， 表示 时刻下当前的误差，而 是个超参数，是需要人通过试验效果来设置的，即我对 K_p 取不同的值，选择一个效果好的，这里设 ，那么在 时，，即这一次操作，我向水缸里添加了 0.4 米的水，现在水缸里的水位是 0.6 米（0.2+0.4），此时误差是 0.4 米（1-0.6），当 时，我再次加水，计算过程为 ，我向水缸里，添加 0.2 米的水，水缸总水量为 0.8 米（0.6+0.2），一直重复这个过程，就可以让水缸里的水保持在 1 米。

整个过程，只有 是我们按经验设置的，其中 的值越大，水缸到达 1 米的过程就越快，比如设 ，那么 ，此时在 的时刻，水缸里的水就加到 1 米了，反之 的越小，到达目标的速度就越慢。

PID 算法，似乎只有 P 算法就可以完成的很好，为啥还要 ID 部分的算法呢？

这是因为现实情况中，这个水缸是会漏水的，接着看这个例子。

依旧假设 ，当水缸里的水有 0.8 米时，计算过程为 ，即我要向水缸里加 0.1 米的水，但水缸每 t 时间段下会漏下 0.1 米的水，即我添加完 0.1 米的水后，因为又漏掉了，此时误差还是 0.2 米，然后因为 P 方法，我还会继续往里加 0.1 米的水，这个过程一直反复，但水缸里的水位将固定在 0.8 米，不再变化。

这种情况便是：稳态误差，顾名思义，误差不会在变小。

在实际生活中，漏水的水缸是存在的，比如通过控制汽车时，会有摩擦阻力（漏水），控制无人机时，会有空气阻力（漏水），各种阻力，都是水缸中漏水的那个口子。

PID 中 I（Integration ）算法部分就是为了解决稳态误差的问题，原本的 P 算法加上 I 算法后，其公式为：。

依旧回到水缸的例子，当水位维持 0.8 米时，I 算法会计算出 0 到 t 时刻下误差的积分，误差积分再乘以 这个超参数（也是需要人按具体试验结果进行设置），I 算法获得的值添加到 P 算法中，此时水缸漏水是 0.1 米，而 PI 算法共同计算出的值会大于 0.1 米，水缸水位会慢慢上升到 1 米。

现在还剩 PID 算法中的 D（Differentiation）算法，在实际使用时，D 算法确实是按需使用的，即不用 D 算法，也是常规操作。

D 算法主要的作用就是减少系统在到达目标过程中产生的大量震动，依旧以水缸为例，通过 D 算法，可以防止给水缸加水时，超过 1 米的高度，然后减少水位，又低于1米，然后又加水，又超过1米，这种反复震荡的情况，需要注意，震荡通常都会存在，而D算法目标是减少震荡次数，而不是完全消除震荡。

PID 算法公式拆解

个人认为，深入理解 PID 算法的公式，才是掌握 PID 算法的不二法门，虽然前面通过简单的比喻理解了 PID 算法的思想，但还是有必要讨论一下其公式。

先摘抄一下 PID 算法公式：

公式

上述公式中：

• ：某个时刻

• ：某个时刻下的误差

• ：比例增益

• ：积分增益

• ：微分增益

我们以文章一开始提及的，机器人移动到 10 米前的位置为例子，基于 P 算法，机器人从初始位置移动到目标位置时，其距离变化图 5 所示：

可以发现，机器人为了实现尽快到达目标的目的，在一开始距离比较远时，速度在快速加快，从图 5 来看，就是斜率较大的部分，此时机器人快速到达 10M 处，但是因为速度问题，冲过了 10 米，冲过后，基于 Feedback 的误差，机器人将会往回走，经过几次波动后，到达 10 米的目标位置。

我们将机器人移动过程中，误差变化所对应的函数 也绘制出来，如下图 6 所示：

从图 6 可以看出，P 算法 会基于误差控制机器人移动速度，在第一个虚线处，error 较大且是正数，P 算法会让机器人快速移动，第二虚线处，error 是负数，P 算法会让机器人往回移动。

I 算法（）表示误差在一定时间内的积分，通过图画出来，积分就是 函数曲线与 Time 轴之间的面积，如图 7 所示：

I 算法通过积分算法，不断积累误差（面积一直在变大），最终乘以 ，便是 I 算法的部分。

D 算法（）是误差的微分处理，它表示 函数在某一点的斜率，如图 8 所示：

从图 8 可知，当斜率变化过快时，D 算法便会获得较大的负数，以抑制输出的上升速度，从而避免机器人在到达目标时，多次震荡。

PID 算法中3 个不同部分相互配合，其直观形式如下 gif 图：

离散化处理

在数字系统中使用 PID 算法时，因为数字系统是离散的（只有 0 和 1），所以我们需要对 PID 算法进行离散化处理，这里的公式变化需要微积分相关的知识。

设系统采样的时间段为 ，将系统获得的误差 序列化为 ，即 时间段下，可以获得 n 个独立的误差，输出也需要由 变化成 .

对于其中第 k 个 () 输出，其公式如下：

公式

（如果不理解，可以尝试从几何角度画图理解一下。）

Python 实现

利用 Python，基于 PID 离散化公式形式，实现 PID 算法，代码如下（代码中给出了关键注释）：

import timeclass PID:"""PID算法实现"""def __init__(self, P=0.2, I=0.0, D=0.0, current_time=None):""":param P: P算法超参数:param I: I算法超参数:param D: D算法超参数:param current_time: 当前时刻"""self.Kp = Pself.Ki = Iself.Kd = D# 采样时间段self.sample_time = 0.00self.current_time = current_time if current_time is not None else time.time()self.last_time = self.current_timeself.clear()def clear(self):"""清理系数"""self.SetPoint = 0.0self.PTerm = 0.0self.ITerm = 0.0self.DTerm = 0.0self.last_error = 0.0self.int_error = 0.0# 最大的波动值self.I_max_modify = 20.0self.output = 0.0def update(self, feedback_value, current_time=None):"""math::u(k) = K_pe_k + K_i\sum_{j=0}^ke(j)\Delta t + K_d\frac{e(k) - e(k-1)}{\Delta t}"""# 误差error = self.SetPoint - feedback_valueself.current_time = current_time if current_time is not None else time.time()# 间隔时间delta_time = self.current_time - self.last_timeif(delta_time >= self.sample_time):self.ITerm += error * delta_time# 限制积分项ITerm最大与最小值if(self.ITerm < -self.I_max_modify):self.ITerm = -self.I_max_modifyelif(self.ITerm > self.I_max_modify):self.ITerm = self.I_max_modifyself.DTerm = 0.0if delta_time > 0:self.DTerm = (error - self.last_error) / delta_time# 更新时间self.last_time = self.current_timeself.last_error = error# PID结果self.output = (self.Kp * error) + (self.Ki * self.ITerm) + (self.Kd * self.DTerm)

为了判断写的代码是否正确，这里再写一个简单的测试代码，如下：

from pid import PIDimport time
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import BSpline, make_interp_spline def test_pid():# PID中的超参数P = 1.2I = 1D = 0.001# 循环次数L = 50pid = PID(P, I, D)pid.SetPoint = 0.0pid.sample_time = 0.01feedback = 0feedback_list = []time_list = []setpoint_list = []for i in range(1, L):pid.update(feedback)output = pid.outputif pid.SetPoint > 0:# 更新feedbackfeedback += (output - (1/i)) # 目前只是为了观察if i > 9:pid.SetPoint = 1if i > 30:pid.SetPoint = 1.2time.sleep(0.02)# 为了绘制曲线，记录相应的数值feedback_list.append(feedback)setpoint_list.append(pid.SetPoint)time_list.append(i)time_sm = np.array(time_list)# 在指定的间隔内返回均匀间隔的数字time_smooth = np.linspace(time_sm.min(), time_sm.max(), 300)# 拟合一条曲线 - 拟合后，曲线才能绘制出来feedback_smooth = make_interp_spline(time_list, feedback_list)(time_smooth)plt.plot(time_smooth, feedback_smooth, color='r')# 拟合目标变化句plt.plot(time_list, setpoint_list, color='b')plt.xlim((0, L))plt.ylim((min(feedback_list)-0.5, max(feedback_list)+0.5))plt.xlabel('time (s)')plt.ylabel('PID')plt.title('TEST PID')plt.ylim((1-0.5, 1+0.5))plt.grid(True)plt.show()if __name__ == "__main__":test_pid()

为了方便观察，循环 i>9 时，才将目标设置为 1，然后当 i>30 时，将目标修改为 1.2，然后将 PID 算法的结果通过曲线图绘制出来，从而直观的看出，我们实现的 PID 算法，其效果如何，最终效果如下：

从上图可以看出，效果还不错 o (>_<) o

那么关于 PID 算法，就简单讨论到这里，我是二两，我们下篇文章见。